Главная страница
Навигация по странице:

  • 2. Тензоры в релятивистской механике

  • Пространство СТО Выяснилось, что инвариантом является интервал

  • Преобразования координат Компоненты 4-вектора при переходе к другой (движущейся со скоростью v

  • Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для чайников


    Скачать 386.72 Kb.
    НазваниеСергей Гаврилов Тензорное исчисление для чайников
    Дата19.05.2019
    Размер386.72 Kb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаtensor_dla_chainikov_2.1.pdf
    ТипДокументы
    #77815
    страница3 из 5
    1   2   3   4   5
    Единичный тензор
    Полезным понятием является единичный тензор, обозначаемый символом Кронекера
    k
    i
    d . Он определяется так:
    k
    i
    k
    i
    x
    x
    =
    d
    (1.8)

    13
    – для любого вектора х. Единичный тензор как бы выделяет желаемую (k-ю) компо- ненту вектора.
    Слева записана сумма – раскроем ее:
    k
    k
    k
    k
    i
    k
    i
    x
    x
    x
    x
    x
    =
    +
    +
    =
    3 3
    2 2
    1 1
    d
    d
    d
    d
    Для выполнения равенства нужно, чтобы равнялась единице только та компонента
    k
    i
    d , для которого
    k
    i
    = . А остальные должны быть нулевыми. Значит, единичный тензор вы- глядит точно как (1.7)!
    Перейдем к другой системе координат, компоненты вектора изменятся. И единичного тензора тоже… Но то, что мы разъяснили относительно (1.8), остается, тем не менее, в силе!
    Получается, что тензор
    k
    i
    d обладает редким свойством: его компоненты одинаковы
    в любой системе координат, не изменяются.
    Физические векторы
    Мы рассматривали вектор перемещения – он имеет чисто геометрическую природу.
    А теперь рассмотрим в качестве примера вектор скорости. Чтобы получить компонен- ты, надо представить его в виде линейной комбинации ортов пространства… но вот беда: орты имеют у нас другую размерность – размерность расстояния, а не скорости!
    Впрочем, ведь мы имеем выражения, связывающие различные физические величины с перемещением. Так, скорость определяется:
    )
    ,
    ,
    (
    ,
    ,
    2 2
    1 3
    2 1
    v
    v
    v
    dt
    dx
    dt
    dx
    dt
    dx
    dt
    dx
    v
    i
    i
    =
    ÷÷
    ø
    ö
    çç
    è
    æ
    =
    =
    Скорость это вектор потому, что дифференцирование – линейная операция. А время t в нерелятивистской механике рассматривается как скаляр: оно инвариантно.
    Компоненты вектора скорости в принятом базисе, разумеется, контравариантны.
    Аналогично вводится контравариантный вектор ускорения:
    )
    ,
    ,
    (
    ,
    ,
    3 2
    1 3
    2 1
    a
    a
    a
    dt
    dv
    dt
    dv
    dt
    dv
    a
    i
    =
    ÷÷
    ø
    ö
    çç
    è
    æ
    =
    Рассмотрим вектор силы. Из формулы, связывающей ее с ускорением, имеем:
    (
    )
    3 2
    1
    ,
    ,
    ma
    ma
    ma
    ma
    f
    i
    i
    =
    =
    Здесь вектор силы оказывается в контравариантных компонентах, поскольку индекс i справа контравариантный.
    Однако запишем формулу для силы в потенциальном поле:
    j
    grad
    k
    =
    f
    (коэффициент k зависит от природы поля).
    А теперь вспомним, что вектор градиента
    3 2
    1
    ,
    ,
    x
    x
    x






    j
    j
    j
    ковариантен в базисе, в кото- ром задано поле! Это видно и формально – из того, что контравариантные компоненты
    стоят в знаменателе. Значит, и вектор силы получается здесь в ковариантных компонентах:
    ÷
    ø
    ö
    ç
    è
    æ






    =


    =
    3 2
    1
    ,
    ,
    x
    k
    x
    k
    x
    k
    x
    k
    f
    i
    i
    j
    j
    j
    j
    Приравнять его к
    i
    ma будет формально неправильным. Придется свернуть с метриче- ским тензором пространства, получив корректное соотношение:

    14
    k
    ik
    i
    ma
    g
    x
    k
    =


    j
    Разумеется, в декартовых координатах такое усложнение излишне.

    15
    2. Тензоры в релятивистской механике
    В физике, в отличие от геометрии, существенно присутствует время, движение. В час- ти перехода между системами координат – интерес представляют не столько системы с вза- имно повернутыми осями, сколько системы, взаимно движущиеся.
    Тензорный стиль формулировки специальной теории относительности вызван некото- рой причиной: пространственная длина (в понимании, имеющем физический смысл) ока-
    залась неинвариантной – при переходе к другой, движущейся системе координат. Это след- ствие опытов.
    И в то же время опыты показывают, что физические законы действуют в указанных системах одинаково. Значит, законы должны допускать формулировку в тензорной форме, из которой, как положено, вытекают некоторые инварианты – относительно переходов между движущимися системами координат.
    Пространство СТО
    Выяснилось, что инвариантом является интервал. Он (точнее, его квадрат) опреде- ляется следующим образом:
    2 2
    2 2
    2 2
    2
    )
    (
    )
    (
    r
    -
    =
    -
    -
    -
    =
    ct
    z
    y
    x
    ct
    s
    (2.1)
    Система координат
    z
    y
    x ,
    ,
    здесь декартова, а с – фундаментальная константа, имею- щая размерность скорости. И, соответственно, являющаяся инвариантом.
    Трехмерный вектор r по-прежнему выражает пространственную дистанцию, а вели- чина ct – временнýю. В целом скаляр s выражает «расстояние» – но не между пространст- венными точками, как ранее, а между пространственно-временными. То есть между собы-
    тиями.
    Эти краткие сведения приведены здесь с целью напомнить, а вообще-то предполага- ются известными.
    Метрика 4-пространства
    Форма (2.1) содержит, как видно, четыре квадратичных члена. Удобно приписать ее четырехмерному пространству событий – пространству Минковского с координатами:
    z
    y
    x
    ct
    ,
    ,
    ,
    . Применим обозначение:
    3 2
    1 0
    ,
    ,
    ,
    x
    x
    x
    x
    , и тогда:
    2 3
    2 2
    2 1
    2 0
    2
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    x
    x
    x
    x
    s
    -
    -
    -
    =
    (2.1б)
    Но ведь в общем виде квадрат длины записывается:
    2 3
    33 2
    2 22 2
    1 11 0
    00 2
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    x
    g
    x
    g
    x
    g
    x
    g
    s
    +
    +
    +
    =
    (члены со смешанными индексами у нас от- сутствуют). Сравнивая с (2.1б), где фигурируют минусы, получаем для 4-мерного метриче- ского тензора:
    1 00
    =
    g
    ,
    1 33 22 11
    -
    =
    =
    =
    g
    g
    g
    (остальные компоненты нулевые). В матричной форме:
    ú
    ú
    ú
    ú
    û
    ù
    ê
    ê
    ê
    ê
    ë
    é
    -
    -
    -
    =
    1 0
    0 0
    0 1
    0 0
    0 0
    1 0
    0 0
    0 1
    ik
    g
    . Перед вами метрический тензор 4-пространства.
    Если бы все элементы главной диагонали метрического тензора равнялись 1, разницы между ковариантным и контравариантным представлением не было бы. В наших же коорди-

    16 натах (их называют галилеевыми) это совсем не так. Потому и приходится брать в соображе- ние тензорные примочки.
    Выразим интервал через координаты 4-вектора:
    3 3
    2 2
    1 1
    0 0
    2 3
    2 2
    2 1
    2 0
    2
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    s
    -
    -
    -
    =
    -
    -
    -
    =
    Приведем это к стандартной форме для длины:
    3 3
    2 2
    1 1
    0 0
    2
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    s
    i
    i
    +
    +
    +
    =
    =
    (2.2)
    Как всегда, квадрат длины это скалярное произведение вектора на ковектор.
    Дифференциал интервала
    Нам будет полезно выражение для дифференциала интервала. Из (2.2) очевидно:
    3 3
    2 2
    1 1
    0 0
    2
    dx
    dx
    dx
    dx
    dx
    dx
    dx
    dx
    dx
    dx
    ds
    i
    i
    +
    +
    +
    =
    =
    (2.2а)
    Простыми преобразованиями получаем:
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2
    /
    1
    c
    v
    cdt
    v
    v
    v
    c
    dt
    dt
    dz
    dt
    dy
    dt
    dx
    c
    dt
    ds
    z
    y
    x
    -
    =
    -
    -
    -
    =
    -
    -
    -
    =
    (2.3)
    Формула (2.3) не раз потребуется. Использованные обозначения, кажется, понятны без пояснений. Следует лишь оговорить, что v – не есть скорость какого-то конкретного объ- екта. Это просто отношение приращения линейного промежутка между событиями (беско- нечно близкими) к временному промежутку, имеющее размерность скорости. Поэтому впол- не возможно, что
    c
    v
    > . Просто это будет соответствовать мнимому интервалу – как говорят,
    пространственноподобному.
    Четырехвекторы
    Итак, контравариантный геометрический вектор
    i
    x от события А к событию В имеет компоненты:
    3 2
    1 0
    ,
    ,
    ,
    x
    x
    x
    x
    . Здесь первую (точнее, нулевую) компоненту
    ct
    x
    =
    0
    называют временнóй, остальные – пространственными.
    i
    x это вектор в четырехмерном пространстве
    (правда, не эвклидовом, а псевдоэвклидовом), как говорят – 4-вектор.
    Вообще у любого 4-вектора СТО, какое бы физическое содержание он ни имел, нуле-
    вую компоненту называют временной. Три остальные компоненты называют про-
    странственными. В совокупности последние образуют трехмерный вектор. Что принято ус- ловно изображать так:
    )
    ,
    (
    0
    x
    x
    x
    i
    Конечно, трехмерный вектор х уже не имеет тензорных свойств относительно перехо- да между движущимися системами координат (не инвариантен).
    Подчеркну: трехмерный вектор не сохраняет свои компоненты при переходе меж- ду системами координат (если только это не трехмерный поворот). Изменяется временная компонента 4-вектора – значит, обязана измениться хотя бы одна пространственная.
    Сопоставляя
    3 3
    2 2
    1 1
    0 0
    2
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    s
    -
    -
    -
    =
    и
    3 3
    2 2
    1 1
    0 0
    2
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    s
    +
    +
    +
    =
    , выводим 4- вектор в ковариантных компонентах:
    )
    ,
    ,
    ,
    (
    3 2
    1 0
    x
    x
    x
    x
    x
    i
    , где
    0 0
    x
    x
    =
    ,
    1 1
    x
    x
    -
    =
    ,
    2 2
    x
    x
    -
    =
    ,
    3 3
    x
    x
    -
    =
    Как видим, для преобразования к ковариантным компонентам и обратно надо
    лишь поменять знаки перед всеми компонентами, кроме нулевой. Проверьте, что со- блюдается классическое:
    k
    ik
    i
    x
    g
    x
    =
    Между прочим, это позволяет установить, как выглядит в СТО дуальный базис (тот самый, в котором векторы приобретают свои ковариантные компоненты). Он отличается от

    17 главного базиса просто сменой направлений пространственных осей на противоположные (а временная ось не меняется).
    Преобразования координат
    Компоненты 4-вектора при переходе к другой (движущейся со скоростью v) системе координат обязаны изменяться таким образом, чтобы квадрат вектора (квадрат интервала) оставался неизменным. Для простоты примем
    1
    =
    c
    , и тогда данное требование запишется:
    2 2
    2 2
    2
    '
    2 2
    2
    '
    '
    '
    z
    y
    x
    t
    z
    y
    x
    t
    -
    -
    -
    =
    -
    -
    -
    Легко проверить (простой подстановкой), что этому условию удовлетворяют преобра- зования:
    2 1
    '
    v
    t
    v
    x
    x
    x
    -
    -
    =
    ,
    2 1
    '
    v
    t
    v
    y
    y
    y
    -
    -
    =
    ,
    2 1
    '
    v
    t
    v
    z
    z
    z
    -
    -
    =
    ,
    2 1
    '
    v
    t
    t
    -
    -
    =
    vr
    (2.4)
    Они называются преобразованиями Лоренца.
    Запишем преобразования в более привычном виде:
    2 2
    /
    1
    '
    c
    v
    vt
    x
    x
    -
    -
    =
    ,
    y
    y
    =
    '
    ,
    z
    z
    =
    '
    ,
    2 2
    2
    /
    1
    /
    '
    c
    v
    c
    vx
    t
    t
    -
    -
    =
    (2.5)
    Подобная запись допустима: всегда можно повернуть оси координат таким образом, что относительная скорость систем координат будет направлена вдоль оси Х.
    Внимание: в точности по этим же формулам преобразуются компоненты вообще
    любого 4-вектора СТО
    i
    x (примеры их мы рассмотрим далее). Только, с учетом того, что
    ct
    x
    =
    0
    , формулы записывают в общем виде так:
    2 2
    0 1
    1
    /
    1
    '
    c
    v
    x
    c
    v
    x
    x
    -
    -
    =
    ,
    2 2
    '
    x
    x
    =
    ,
    3 3
    '
    x
    x
    = ,
    2 2
    1 0
    0
    /
    1
    '
    c
    v
    x
    c
    v
    x
    x
    -
    -
    =
    (2.5а)
    Четырехскорость
    Перейдя к четырехмерным формулировкам, мы отказались рассматривать чисто про- странственное перемещение. Тогда и обычная скорость нас тоже не устраивает! В самом де- ле, в
    ÷
    ø
    ö
    ç
    è
    æ
    =
    dt
    dz
    dt
    dy
    dt
    dx
    dt
    d
    ,
    ,
    r
    v
    время уже не является инвариантной переменной, одинаковой в любой системе координат. Теперь время это просто одна из координат 4-вектора перемеще- ния. То есть не скаляр!
    Чтобы получить 4-векторную величину, аналогичную скорости, следует дифференци- ровать по некоторой другой переменной, инвариантной в 4-пространстве – скаляру. Такой величиной является интервал.
    Из указанных соображений вектор 4-скорости определяют так:
    ds
    dx
    u
    i
    i
    =
    (2.6)
    Из соотношения (2.2а)
    3 3
    2 2
    1 1
    0 0
    2
    dx
    dx
    dx
    dx
    dx
    dx
    dx
    dx
    ds
    +
    +
    +
    =
    выводим (поделив на
    2
    ds ):
    1 3
    3 2
    2 1
    1 0
    0
    =
    +
    +
    +
    ds
    dx
    ds
    dx
    ds
    dx
    ds
    dx
    ds
    dx
    ds
    dx
    ds
    dx
    ds
    dx
    Учитывая (2.6), имеем:

    18 1
    3 3
    2 2
    1 1
    0 0
    =
    +
    +
    +
    u
    u
    u
    u
    u
    u
    u
    u
    То есть длина вектора 4-скорости всегда равна единице. Странно? Ничуть, так и долж- но быть, длина любого 4-вектора это скаляр, инвариант. Кстати, 4-скорость – величина без- размерная (ведь интервал имеет размерность пространственного расстояния).
    Можно выразить компоненты 4-скорости через привычные трехмерные величины:
    2 2
    0
    /
    1 1
    )
    (
    c
    v
    ds
    ct
    d
    u
    -
    =
    =
    – тут просто использовано (2.3). Теперь v уже реальная ско- рость, ведь мы рассматриваем пространственный и временной промежутки, характеризую- щие движение заданного тела.
    Столь же легко получаем:
    2 2
    1
    /
    1
    c
    v
    c
    v
    u
    x
    -
    =
    ,
    2 2
    2
    /
    1
    c
    v
    c
    v
    u
    y
    -
    =
    ,
    2 2
    3
    /
    1
    c
    v
    c
    v
    u
    z
    -
    =
    Три пространственные компоненты можно объединить в трехмерный вектор:
    ÷÷
    ø
    ö
    çç
    è
    æ
    -
    -
    =
    =
    2 2
    2 2
    0
    /
    1
    ,
    /
    1 1
    )
    ,
    (
    c
    v
    c
    c
    v
    u
    u
    i
    v
    u
    (2.6а)
    4-вектор энергии-импульса
    Известное из школы выражение для импульса тела:
    v
    p m
    =
    (m – масса) является трех- мерным, и, следовательно, неивариантным: абсолютная величина импульса при переходе к движущейся системе координат не сохраняется. Чтобы получить четырехмерную конструк- цию, на место скорости ставим 4-скорость. Ну а с массой все в порядке: это скаляр.
    Впрочем, возможно, вы читали, что масса движущегося тела возрастает? Это архаич- ный взгляд, о котором пора забыть…
    4-скорость имеет другую размерность, чем просто скорость. Поэтому для преемствен- ности домножают еще на с. В итоге для импульса имеем:
    i
    i
    mcu
    p
    =
    Так как
    1
    =
    i
    i
    u
    u
    , то:
    2 2
    c
    m
    p
    p
    i
    i
    =
    (инвариантный квадрат 4-вектора
    i
    p ).
    Подставив компоненты 4-скорости, легко расписываем компоненты 4-импульса:
    2 2
    0
    /
    1
    c
    v
    mc
    p
    -
    =
    ,
    2 2
    1
    /
    1
    c
    v
    mv
    p
    x
    -
    =
    ,
    2 2
    2
    /
    1
    c
    v
    mv
    p
    y
    -
    =
    ,
    2 2
    3
    /
    1
    c
    v
    mv
    p
    z
    -
    =
    Ну и, как всегда, пространственные компоненты можно объединить под эгидой трех- мерного вектора:
    ÷÷
    ø
    ö
    çç
    è
    æ
    -
    -
    =
    =
    2 2
    2 2
    0
    /
    1
    ,
    /
    1
    )
    ,
    (
    c
    v
    m
    c
    v
    mc
    p
    p
    i
    1   2   3   4   5


    написать администратору сайта