Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для чайников
 Скачать 386.72 Kb.
|
|
Единичный тензор Полезным понятием является единичный тензор, обозначаемый символом Кронекера k i d . Он определяется так: k i k i x x = d (1.8) 13 – для любого вектора х. Единичный тензор как бы выделяет желаемую (k-ю) компо- ненту вектора. Слева записана сумма – раскроем ее: k k k k i k i x x x x x = + + = 3 3 2 2 1 1 d d d d Для выполнения равенства нужно, чтобы равнялась единице только та компонента k i d , для которого k i = . А остальные должны быть нулевыми. Значит, единичный тензор вы- глядит точно как (1.7)! Перейдем к другой системе координат, компоненты вектора изменятся. И единичного тензора тоже… Но то, что мы разъяснили относительно (1.8), остается, тем не менее, в силе! Получается, что тензор k i d обладает редким свойством: его компоненты одинаковы в любой системе координат, не изменяются. Физические векторы Мы рассматривали вектор перемещения – он имеет чисто геометрическую природу. А теперь рассмотрим в качестве примера вектор скорости. Чтобы получить компонен- ты, надо представить его в виде линейной комбинации ортов пространства… но вот беда: орты имеют у нас другую размерность – размерность расстояния, а не скорости! Впрочем, ведь мы имеем выражения, связывающие различные физические величины с перемещением. Так, скорость определяется: ) , , ( , , 2 2 1 3 2 1 v v v dt dx dt dx dt dx dt dx v i i = ÷÷ ø ö çç è æ = = Скорость это вектор потому, что дифференцирование – линейная операция. А время t в нерелятивистской механике рассматривается как скаляр: оно инвариантно. Компоненты вектора скорости в принятом базисе, разумеется, контравариантны. Аналогично вводится контравариантный вектор ускорения: ) , , ( , , 3 2 1 3 2 1 a a a dt dv dt dv dt dv a i = ÷÷ ø ö çç è æ = Рассмотрим вектор силы. Из формулы, связывающей ее с ускорением, имеем: ( ) 3 2 1 , , ma ma ma ma f i i = = Здесь вектор силы оказывается в контравариантных компонентах, поскольку индекс i справа контравариантный. Однако запишем формулу для силы в потенциальном поле: j grad k = f (коэффициент k зависит от природы поля). А теперь вспомним, что вектор градиента 3 2 1 , , x x x ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ j j j ковариантен в базисе, в кото- ром задано поле! Это видно и формально – из того, что контравариантные компоненты стоят в знаменателе. Значит, и вектор силы получается здесь в ковариантных компонентах: ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ = 3 2 1 , , x k x k x k x k f i i j j j j Приравнять его к i ma будет формально неправильным. Придется свернуть с метриче- ским тензором пространства, получив корректное соотношение: 14 k ik i ma g x k = ¶ ¶ j Разумеется, в декартовых координатах такое усложнение излишне. 15 2. Тензоры в релятивистской механике В физике, в отличие от геометрии, существенно присутствует время, движение. В час- ти перехода между системами координат – интерес представляют не столько системы с вза- имно повернутыми осями, сколько системы, взаимно движущиеся. Тензорный стиль формулировки специальной теории относительности вызван некото- рой причиной: пространственная длина (в понимании, имеющем физический смысл) ока- залась неинвариантной – при переходе к другой, движущейся системе координат. Это след- ствие опытов. И в то же время опыты показывают, что физические законы действуют в указанных системах одинаково. Значит, законы должны допускать формулировку в тензорной форме, из которой, как положено, вытекают некоторые инварианты – относительно переходов между движущимися системами координат. Пространство СТО Выяснилось, что инвариантом является интервал. Он (точнее, его квадрат) опреде- ляется следующим образом: 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( r - = - - - = ct z y x ct s (2.1) Система координат z y x , , здесь декартова, а с – фундаментальная константа, имею- щая размерность скорости. И, соответственно, являющаяся инвариантом. Трехмерный вектор r по-прежнему выражает пространственную дистанцию, а вели- чина ct – временнýю. В целом скаляр s выражает «расстояние» – но не между пространст- венными точками, как ранее, а между пространственно-временными. То есть между собы- тиями. Эти краткие сведения приведены здесь с целью напомнить, а вообще-то предполага- ются известными. Метрика 4-пространства Форма (2.1) содержит, как видно, четыре квадратичных члена. Удобно приписать ее четырехмерному пространству событий – пространству Минковского с координатами: z y x ct , , , . Применим обозначение: 3 2 1 0 , , , x x x x , и тогда: 2 3 2 2 2 1 2 0 2 ) ( ) ( ) ( ) ( x x x x s - - - = (2.1б) Но ведь в общем виде квадрат длины записывается: 2 3 33 2 2 22 2 1 11 0 00 2 ) ( ) ( ) ( ) ( x g x g x g x g s + + + = (члены со смешанными индексами у нас от- сутствуют). Сравнивая с (2.1б), где фигурируют минусы, получаем для 4-мерного метриче- ского тензора: 1 00 = g , 1 33 22 11 - = = = g g g (остальные компоненты нулевые). В матричной форме: ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ik g . Перед вами метрический тензор 4-пространства. Если бы все элементы главной диагонали метрического тензора равнялись 1, разницы между ковариантным и контравариантным представлением не было бы. В наших же коорди- 16 натах (их называют галилеевыми) это совсем не так. Потому и приходится брать в соображе- ние тензорные примочки. Выразим интервал через координаты 4-вектора: 3 3 2 2 1 1 0 0 2 3 2 2 2 1 2 0 2 ) ( ) ( ) ( ) ( x x x x x x x x x x x x s - - - = - - - = Приведем это к стандартной форме для длины: 3 3 2 2 1 1 0 0 2 x x x x x x x x x x s i i + + + = = (2.2) Как всегда, квадрат длины это скалярное произведение вектора на ковектор. Дифференциал интервала Нам будет полезно выражение для дифференциала интервала. Из (2.2) очевидно: 3 3 2 2 1 1 0 0 2 dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx ds i i + + + = = (2.2а) Простыми преобразованиями получаем: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 1 c v cdt v v v c dt dt dz dt dy dt dx c dt ds z y x - = - - - = - - - = (2.3) Формула (2.3) не раз потребуется. Использованные обозначения, кажется, понятны без пояснений. Следует лишь оговорить, что v – не есть скорость какого-то конкретного объ- екта. Это просто отношение приращения линейного промежутка между событиями (беско- нечно близкими) к временному промежутку, имеющее размерность скорости. Поэтому впол- не возможно, что c v > . Просто это будет соответствовать мнимому интервалу – как говорят, пространственноподобному. Четырехвекторы Итак, контравариантный геометрический вектор i x от события А к событию В имеет компоненты: 3 2 1 0 , , , x x x x . Здесь первую (точнее, нулевую) компоненту ct x = 0 называют временнóй, остальные – пространственными. i x это вектор в четырехмерном пространстве (правда, не эвклидовом, а псевдоэвклидовом), как говорят – 4-вектор. Вообще у любого 4-вектора СТО, какое бы физическое содержание он ни имел, нуле- вую компоненту называют временной. Три остальные компоненты называют про- странственными. В совокупности последние образуют трехмерный вектор. Что принято ус- ловно изображать так: ) , ( 0 x x x i Конечно, трехмерный вектор х уже не имеет тензорных свойств относительно перехо- да между движущимися системами координат (не инвариантен). Подчеркну: трехмерный вектор не сохраняет свои компоненты при переходе меж- ду системами координат (если только это не трехмерный поворот). Изменяется временная компонента 4-вектора – значит, обязана измениться хотя бы одна пространственная. Сопоставляя 3 3 2 2 1 1 0 0 2 x x x x x x x x s - - - = и 3 3 2 2 1 1 0 0 2 x x x x x x x x s + + + = , выводим 4- вектор в ковариантных компонентах: ) , , , ( 3 2 1 0 x x x x x i , где 0 0 x x = , 1 1 x x - = , 2 2 x x - = , 3 3 x x - = Как видим, для преобразования к ковариантным компонентам и обратно надо лишь поменять знаки перед всеми компонентами, кроме нулевой. Проверьте, что со- блюдается классическое: k ik i x g x = Между прочим, это позволяет установить, как выглядит в СТО дуальный базис (тот самый, в котором векторы приобретают свои ковариантные компоненты). Он отличается от 17 главного базиса просто сменой направлений пространственных осей на противоположные (а временная ось не меняется). Преобразования координат Компоненты 4-вектора при переходе к другой (движущейся со скоростью v) системе координат обязаны изменяться таким образом, чтобы квадрат вектора (квадрат интервала) оставался неизменным. Для простоты примем 1 = c , и тогда данное требование запишется: 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 ' ' ' z y x t z y x t - - - = - - - Легко проверить (простой подстановкой), что этому условию удовлетворяют преобра- зования: 2 1 ' v t v x x x - - = , 2 1 ' v t v y y y - - = , 2 1 ' v t v z z z - - = , 2 1 ' v t t - - = vr (2.4) Они называются преобразованиями Лоренца. Запишем преобразования в более привычном виде: 2 2 / 1 ' c v vt x x - - = , y y = ' , z z = ' , 2 2 2 / 1 / ' c v c vx t t - - = (2.5) Подобная запись допустима: всегда можно повернуть оси координат таким образом, что относительная скорость систем координат будет направлена вдоль оси Х. Внимание: в точности по этим же формулам преобразуются компоненты вообще любого 4-вектора СТО i x (примеры их мы рассмотрим далее). Только, с учетом того, что ct x = 0 , формулы записывают в общем виде так: 2 2 0 1 1 / 1 ' c v x c v x x - - = , 2 2 ' x x = , 3 3 ' x x = , 2 2 1 0 0 / 1 ' c v x c v x x - - = (2.5а) Четырехскорость Перейдя к четырехмерным формулировкам, мы отказались рассматривать чисто про- странственное перемещение. Тогда и обычная скорость нас тоже не устраивает! В самом де- ле, в ÷ ø ö ç è æ = dt dz dt dy dt dx dt d , , r v время уже не является инвариантной переменной, одинаковой в любой системе координат. Теперь время это просто одна из координат 4-вектора перемеще- ния. То есть не скаляр! Чтобы получить 4-векторную величину, аналогичную скорости, следует дифференци- ровать по некоторой другой переменной, инвариантной в 4-пространстве – скаляру. Такой величиной является интервал. Из указанных соображений вектор 4-скорости определяют так: ds dx u i i = (2.6) Из соотношения (2.2а) 3 3 2 2 1 1 0 0 2 dx dx dx dx dx dx dx dx ds + + + = выводим (поделив на 2 ds ): 1 3 3 2 2 1 1 0 0 = + + + ds dx ds dx ds dx ds dx ds dx ds dx ds dx ds dx Учитывая (2.6), имеем: 18 1 3 3 2 2 1 1 0 0 = + + + u u u u u u u u То есть длина вектора 4-скорости всегда равна единице. Странно? Ничуть, так и долж- но быть, длина любого 4-вектора это скаляр, инвариант. Кстати, 4-скорость – величина без- размерная (ведь интервал имеет размерность пространственного расстояния). Можно выразить компоненты 4-скорости через привычные трехмерные величины: 2 2 0 / 1 1 ) ( c v ds ct d u - = = – тут просто использовано (2.3). Теперь v уже реальная ско- рость, ведь мы рассматриваем пространственный и временной промежутки, характеризую- щие движение заданного тела. Столь же легко получаем: 2 2 1 / 1 c v c v u x - = , 2 2 2 / 1 c v c v u y - = , 2 2 3 / 1 c v c v u z - = Три пространственные компоненты можно объединить в трехмерный вектор: ÷÷ ø ö çç è æ - - = = 2 2 2 2 0 / 1 , / 1 1 ) , ( c v c c v u u i v u (2.6а) 4-вектор энергии-импульса Известное из школы выражение для импульса тела: v p m = (m – масса) является трех- мерным, и, следовательно, неивариантным: абсолютная величина импульса при переходе к движущейся системе координат не сохраняется. Чтобы получить четырехмерную конструк- цию, на место скорости ставим 4-скорость. Ну а с массой все в порядке: это скаляр. Впрочем, возможно, вы читали, что масса движущегося тела возрастает? Это архаич- ный взгляд, о котором пора забыть… 4-скорость имеет другую размерность, чем просто скорость. Поэтому для преемствен- ности домножают еще на с. В итоге для импульса имеем: i i mcu p = Так как 1 = i i u u , то: 2 2 c m p p i i = (инвариантный квадрат 4-вектора i p ). Подставив компоненты 4-скорости, легко расписываем компоненты 4-импульса: 2 2 0 / 1 c v mc p - = , 2 2 1 / 1 c v mv p x - = , 2 2 2 / 1 c v mv p y - = , 2 2 3 / 1 c v mv p z - = Ну и, как всегда, пространственные компоненты можно объединить под эгидой трех- мерного вектора: ÷÷ ø ö çç è æ - - = = 2 2 2 2 0 / 1 , / 1 ) , ( c v m c v mc p p i |