Методичка Смирнова camb. Учебнометодическое пособие Ижевск Издательство Ижгту 2008 удк 51(075. 8)(076) з15

• Название: Учебнометодическое пособие Ижевск Издательство Ижгту 2008 удк 51(075. 8)(076) з15
• Анкор: Методичка Смирнова camb.docx
• Дата: 12.07.2018
• Размер: 299.74 Kb.
• Имя файла: Методичка Смирнова camb.docx
• Тип: Учебно-методическое пособие; #21387
• страница: 2 из 3

З-15

Составитель Н. А. Смирнова, старший преподаватель кафедры «Высшая математика» Рецензент Н. В. Ракита, доцент кафедры «Высшая математика» Рекомендовано к изданию на заседании кафедры ВМ 11.11.2008 г. Задания по математике в тестовой форме для организации самостоятельной работы: учеб.-метод. пособие. Часть I. Ижевск : Изд-во ИжГТУ, 2008. − 28 с. Методическое пособие разработано для использования при самоподготовке студентов к экзамену по дисциплине «высшая математика». Приведены задания в различных формах: открытой, закрытой и на установление соответствия. В конце издания указаны ответы. Пособие предназначено для студентов первого курса очной и заочной форм обучения инженерно-технических направлений ИжГТУ. УДК 51(075.8)(076)

© Смирнова Н. А., составление, 2008

© Издательство ИжГТУ, 2008

1. 
   Элементы векторной алгебры
   

1. Найти скалярное произведение векторов a и b, а ={1;1;5}, b ={3;5;−8}.
2. Найти векторное произведение векторов а и b, а ={1;1;5}, b ={3;5;8}.
3. Выбрать пару коллинеарных векторов:
а) а ={1:}, b ={};

б) а ={2;}, b ={2;};

в) а ={4;6;}, b ={};

г) а ={0;1;1}, b ={1;0;0}.
4. Выбрать пару перпендикулярных векторов:
а) а = {1;}, b = {3;5;};

б) а = {1;}, b ={4;9;1};

в) а ={0;1;0}, b ={1;0;};

г) а ={2;7}, b ={}.
5. Выбрать тройки компланарных векторов:
а) а = {1;}, b = {3;5;}, с = {1;};

б) а ={1;}, b ={}, с ={1};

в) а ={1;2;3}, b ={4;5;6}, с ={7;8;11};

г) а ={1;0;0}, b ={0;1;0}, с ={0;0;1}.
6. Пусть m = 2а + 3b. Тогда, если а = {1;}; b = {2;} , то
а) =;

б) =2;

в) =;

г) 1,5.
7. Найти модуль вектора , если А(12;), В(16;0;.
8. Найти направляющие косинусы для вектора а ={1;2} .
9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b:

а ={1;}, b ={2;0;}.

10. Вычислить площадь треугольника АВС, где А(1;2;0), В(3;2;1), С(2;1;2).
11. Вычислить объем пирамиды АВСД, где А(5;1;4), В(1;2;1), С(3;3;4), Д(2;2;2).
12. Указать левую тройку векторов:
а) а ={}, b ={}, с ={1;};

б) а ={}, b ={}, с ={};

в) а ={0;3;0}, b ={4;0;0}, с ={0;0;5}.
13. Выбрать утверждение, не соответствующее определению векторного произведения:
а) векторным произведением векторов а и b является вектор с, перпендикулярный векторам а и b;

б) = ;

в) векторным произведением векторов а и b является вектор с, коллинеарный векторам а и b;

г) векторы а, b, с образуют правую тройку.
14. Орт вектора по определению:
а) проекция вектора на ось ОХ;

б) направление вектора;

в) единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным;

г) любой вектор единичной длины.
15. Заданы векторы: а ={1;1;3}, b ={2;2;1}, с ={2;2;14}.

Разложить вектор с по базису а, b.
16. Выбрать правильный ответ.

Вектор а ={2;5} повернули на 90° против часовой стрелки, его новые координаты:
а) {};

б) {};

в) {5;};

г) {}.
II. Элементы линейной алгебры

1. Выбрать правильный ответ. Обратная матрица существует:
а) для любой матрицы;

б) для любой квадратной матрицы;

в) для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю;

г) для квадратной матрицы, определитель которой неотрицателен.
2. Какое из нижеперечисленных свойств не является свойством определителя:
а) если две строки (два столбца) поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный;

б) чтобы умножить определитель на число, нужно умножить на это число каждый элемент определителя;

в) определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) и их алгебраических дополнений;

г) если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию других строк, то определитель не изменится?
3. Выбрать все правильные ответы.

Элементарным преобразованием матрицы является:
а) перемена местами двух строк или столбцов;

б) умножение элементов строки (столбца) на число;

в) транспонирование;

г) прибавление к элементам строки (столбца) линейной комбинации параллельных строк (столбцов).
4. Какой из определителей равен 7?

а) ; б); в); г).

5. Выбрать правильное.

(A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij определителя Δ).

а) Δ = а₂₁А₁₁ + а₂₂А₁₂ + а₂₃А₁₃;

б) Δ = а₁₁А₂₁ + а₁₂А₂₂ + а₁₃А₂₃;

в) Δ = а₁₁А₁₁ + а₂₁А₁₂ + а₃₁А₁₃;

г) Δ = а₂₁А₂₁ + а₂₂А₂₂ + а₂₃А₂₃.

6. Вычислить определитель: .
7. Установить правильное соответствие:

а) матрицу преобразовали так, что столбцы стали строками;		1) симметричная матрица;
б) в матрице все элементы равны нулю;		2) невырожденная матрица;
в) определитель матрицы не равен нулю;		3) нулевая матрица;
г) матрица составлена из алгебраических дополнений её элементов и транспонирована;		4) кососимметричная матрица;
д) в матрице элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, остальные - нули;		5) присоединенная матрица;
е) матрица равна транспонированной;		6) транспонированная матрица;
ж) все элементы матрицы равны единице;		7) обратная матрица;
з) матрица равна транспонированной со знаком «минус»;		8) единичная матрица.
и) при умножении на эту матрицу получается единичная.

8. Установить правильное соответствие:

а) система линейных уравнений имеет единственное решение, если	1) ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы и меньше числа неизвестных;
б) система линейных уравнений не имеет решений, если	2) ранг расширенной матрицы больше ранга основной матрицы системы;
в) система линейных уравнений имеет множество решений, если	3) ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы и равен числу неизвестных.

9. Исследовать систему на совместность


10. Укажите все пары матриц, которые можно перемножить между собой:

A = .

11. Найти произведение матриц А и В:

А = ; В = .

12. Найти обратную матрицу для А, если А =.

13. Найти ранг матрицы В =.

14. Решить матричное уравнение AXB=C, если

A = , B = , C =.

15. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:



16. Выбрать правильный ответ.

Собственные числа и собственные векторы матрицы А = :

а) λ = 1, r = ; б) λ = −2, r =

в) λ = 2, r =

3. 
   Аналитическая геометрия
   

1. Установить правильное соответствие:

а) y2 = 8x;	1) гипербола;
б) x2+ y2 + 8x − 4y + 29 = 0;	2) прямая;
в) x – y + 3 = 0;	3) парабола;
г) x2 – y2 =8.	4) эллипс.

2. Установить взаимное расположение прямых:
а) 3x + 5y – 9 = 0 и 10x − 6y + 4 = 0;

б) 2x + 5y – 2 = 0 и x + y + 4 = 0;

в) 2x + 3y = 8 и x+ y − 3 = 0;

г) 2/3 x – 3/4 y −1 = 0 и 3/4 x + 2/3y + 2 = 0;

д) x + 8 = 0 и 2x – 3 = 0.
3. Найти направляющий вектор прямой
4. Указать вид уравнений прямой:
а)
б) ;
в)
г) y = 3x +2;

д) = 0;
е) = 1.
5. Найти площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых

5x – 12y – 65 = 0 и 5x – 12y + 26 = 0.
6. Найти нормальный вектор плоскости 4x + 2y – 11z + 18 = 0.
7. Плоскость задана тремя точками А (1; 0; −1), В (2; 2; 3), С (0; −3; 1). Записать ее уравнение.
8. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М (0; −2; 0) перпендикулярно плоскости 2х − 3у + z + 6 = 0.
9. Найти расстояние от прямой 2x + y – 5 = 0 до начала координат.
10. На каком расстоянии от плоскости x + 2y – 2z − 9 = 0 находится точка М(3; 5; −2)?
11. Какая поверхность задана уравнением:
а) = z;

б) + =1;
в) + =1;
г) + =1;
д) = z;
е) _y² = 2px;
ж) + = 1.
12. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

а) x = ;

б) y = 3 ;

в) y = 2 ;

г) x =
13. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат. Парабола симметрична относительно оси ОХ и проходит через точку А (9; 6).
14. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет:

а) гиперболы 16 = 144;

б) эллипса 9 25 = 225.
15. Определить, какие линии даны следующими уравнениями в полярных координатах:

а) ρ = ;
б) ρ = ;
в) ρ = ;
г) ρ = .

3. 
   Введение в анализ
   

1. Установить правильное соответствие:

а)	1) ограниченная последовательность;
б)	2) неограниченная последовательность;
в) 1,2,3,4,…;	3) бесконечно малая;
г) 2, 4, 8, 16, … .	4) бесконечно большая.

2. Найти область определения функции:
а) y = + 1;

б) y = arccos ;

в) y = ;

г)y= lg ₍3x−1) + 2lg (x+1).

3. Вычислить пределы:

a)	д)
б)	е)
в)	ж)
г)	з)

4. Выбрать все верные утверждения. Для функции y = arctg :
а) точка x = 4 является точкой разрыва I рода;

б) точка x = 4 является точкой разрыва II рода;

в) скачок функции в точке х = 4 равен π;

г) в точке х = 4 функция непрерывна.
5. Найти точки разрыва функций:

а) у = ;

б) y = ;

в) y =
6. Выбрать правильный ответ.

Функция y = непрерывна на промежутке:

а) (2;5);

б) (4;10);

в) (0;7);

г) (−.
7. Установить правильное соответствие.

Бесконечно малые эквивалентны (при α→ 0, β→∞):

а) sin α;	1) α ;
б) tg α;	2) ;
в) − 1;	3) ;
г) ;	4) ;
д) 1− cos α;	5) ;
е)	6) α.
ж) ;
з) arcsin α;
и) −1;
к) arctg α.
л) .

8. Вычислить:

a)

б)

в)

г)