Методичка Смирнова camb. Учебнометодическое пособие Ижевск Издательство Ижгту 2008 удк 51(075. 8)(076) з15

• Название: Учебнометодическое пособие Ижевск Издательство Ижгту 2008 удк 51(075. 8)(076) з15
• Анкор: Методичка Смирнова camb.docx
• Дата: 12.07.2018
• Размер: 299.74 Kb.
• Имя файла: Методичка Смирнова camb.docx
• Тип: Учебно-методическое пособие; #21387
• страница: 3 из 3

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. 
   Найти производную функции у:
   

а) у = (1 + 4x²)³;

б) у = sin²x;

в) у = x arcsin(ln x) ;

г) у = x² e^−2x;

д) у = ;

е) у = ln (x + ;

ж) у = x^sinx;

з) у = x^lnx;

и) y = ;

к)

л)

м) _x³ _{+ y}³ ₌ sin(x−2y);

н) =1.

2. Установить правильное соответствие:

a)	1)
б)	2) ;
в)	3) – sin x;
г)	4) ex;
д)	5) ;
е)	6) m xm-1;
ж)	7) cos x;
з)	8)
и)	9) −
к)	10)

3. Выбрать правильный ответ.

Уравнение касательной к параболе y² = 4x в точке M(1;2) имеет вид:
а) y = − x + 3;

б) y = x + 1;

в) y = 2x + 1;

г) y = x +1.
4. Выбрать правильный ответ.

Уравнение нормали к кривой x² + 2x y² + 3y⁴ = 6 в точке В(1; −1) имеет вид:

а) 4x + y – 3 = 0;

б) x – 4y – 5 = 0;

в) 4x – y – 3 = 0;

г) –x – 4y – 5 = 0.

5. Найти дифференциал функции:

а) y = arctg x;

б) y = .
6. Вычислить приближенно, используя дифференциал:

a) ;

б) ln 1,02.
7. Найти дифференциал второго порядка для функций:

а) y =

б) y = .
8. Найти точки, в которых касательная к гиперболе y = параллельна прямой y = − x + 3.
9. Вычислить с применением правила Лопиталя:

a)



б)


в)


г)



10. Найти производную n-го порядка функции y:
а) y = sin x;

б)

1. 
   Исследование функций и построение графиков
   

1.Установить правильное соответствие:

а) четная функция;	1) y = cos 8x;
б) периодическая функция;	2) y = x2 + 5x;
в) нечетная функция;	3) y = x2 + 2sinx;
г) функция не является ни четной, ни нечетной.	4) y = − 5.

2. Найти обратную функцию для y = .

3. Какие из следующих функций являются монотонными:

а) y = c;

б) y = arctg x;

в) y = sin² x;

г) y =

д) y = ;

ж) y = – x² + 2x.

4. Выбрать правильный ответ.

Вертикальная асимптота графика функции у = :

а) x = 2;

б) y = 2;

в) x = −;

г) x = – 2.

5. Выбрать правильный ответ.

Наклонная асимптота графика функции у = :

а) y = x + 2;

б) x = – 2;

в) y = x + 4;

г) y = x – 4.

6. В каких из перечисленных точек функция у = возрастает:

а) x = 3;

б) x = 1;

в) x = – 1;

г) x = 0,5.
7. Найти точки перегиба функции y = (x + 1)²(x − 2).

8. Исследовать на экстремум функцию y = (x – 5)e^x.

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 3x – x² на отрезке [−2;3].

10. Функция f(x) = представлена в виде многочлена пятой степени относительно двучлена x – 1:

= 1+ (x – 1) − ² + (x – 1)³ − (x – 1)⁴ +(x – 1)⁵+ R₅,

где R₅ = (x – 1)⁶, 1 < ξ < x. Найти А.

1. 
   Комплексные числа
   

1.Установить правильное соответствие:

а) z = x + iy;	1) тригонометрическая форма;
б) z = riφ;	2) алгебраическая форма;
в) z =(cos φ+isin φ).	3) показательная форма.

2. На комплексной плоскости число z = −1 + i расположено:

а) в I четверти;

б) во II четверти;

в) в III четверти;

г) в IV четверти.

3. Для чисел z₁ = − 1+2i и z₂ = 2− i вычислить:

а) сумму;

б) произведение;

в) частное.
4. Вычислить по формуле Муавра ()¹⁵.

2. 
   Интегральное исчисление функций одной переменной
   

1.Установить правильное соответствие:

а) ;	1) arcsin + C;
б) ;	2) − cos x + C;
в) ;	3) sin x+ C;
г) ;	4) ex + C;
д) ;	5) + С;
е) ;	6) ln + C;
ж) ;	7) – ln +C;
з) ;	8) ln + C;
и);	9) arctg + C;
к) ;	10) + C;
л) ;	11) + C;
м) ;	12) − ctg x+ C;
н) .	13) ln + C.

2. Вычислить:

а) ;	и) ;
б) x dx;	к) ;
в) dx;	л)
г) ;	м) dx;
д) ;	н) ;
е) ;	о) ;
ж) dx;	п) ;
з) dx;	р) .

3. Почему, не вычисляя интеграла dx, можно сказать, что он равен нулю?

4. Выбрать все правильные ответы.

Определенный интеграл применяется для нахождения:

а) объeма тела вращения;

б) площади плоской фигуры;

в) ускорения тела;

г) длины дуги кривой;

д) площади поверхности вращения;

е) работы переменной силы.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у =sin x, у =cos x, x = 0.

6. Исследовать сходимость интегралов, сходящиеся вычислить:
а) ;

б) ;

в) ;

г)
7. Вычислить среднее значение y = + на отрезке [1;4].

8. Вычислить длину дуги кривой от t = 0 до t = .

9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями y² = x и x² = y.
10. Оценить интеграл .

9. 
   Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
   

1. Найти область определения функций:

а) u = ;

б) u = arcsin (x + y);

в) u = y + .
2. Найти частные производные для функций:

а) u = x² + 2y² – 3xy;

б) u = ;

в) z = ;

г) u = + ;

д) z = arctg .

3. Найти полный дифференциал функции z = arctg .

4. Найти , если z = , x = a cos t, y = a sin t.
5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

z = x² – 2xy+ y²− x + 2y в точке М (1; 1; 1).
6. Вычислить приближенно с помощью дифференциала .
7. Выбрать правильный ответ.

Градиент функции z = x² + 3y² в точке А(1;1) равен:

а) {1;6};

б) 9;

в) {1;8};

г) {−1;8}.

8. Найти экстремум функции z = x²+ xy+ y²3x 6y.
9. Выбрать правильный ответ.

Наибольшее и наименьшее значения функции z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3:

а) z_наим = 5; z_наиб = 11;

б) z_наим = 3; z_наиб = 5;

в) z_наим =5; z_наиб = 13;

г) z_наим = −3; z_наиб = 4.
Ответы

1. 
   Элементы векторной алгебры
   

1. −42.

2. {

3. в).

4. б); в); г).

5. а); б).

6. а).

7. .

8.

9. .

10..

11. 4.

12. в).

13. в).

14. в).

15. с = − 6а + 4b.

16. а).

2. 
   Элементы линейной алгебры
   

1. в).

2. б).

3. а), б), в), г).

4. б).

5. г).

6. 12.

7. а6; б3; в2; г5; д8; е1; з4.

8. а3; б2; в1.

9. Cистема совместна.

10. АС; ВС; СД; ДВ; СВ.
11. .
12. .

13. 2.

14. .

15.

16. г).

3. 
   Аналитическая геометрия
   

1. а3; б4; в2; г1.

2. а) перпендикулярны; б) пересекаются; в) пересекаются; г) пер-пендикулярны; д) параллельны.

3. {− 4;

4. а) общее; б) канонические; в) параметрические; г) с угловым коэффициентом; д) нормальное; е) в отрезках.

5. 49.

6. {4; 2; −11}.

7. 16x – 6y – z = 0.

8. .

9. .

10. .

11. а) параболоид эллиптический; б) гиперболоид однополостный;

в) эллипсоид; г) цилиндр эллиптический; д) параболоид гиперболи-ческий; е) цилиндр параболический; ж) гиперболоид двуполостный.

12. а) правая ветвь параболы; б) нижняя ветвь гиперболы;

в) нижняя ветвь параболы; г) левая половина эллипса.

13. y² = 4x.

14. а) 3; 4; F₁(− 5; 0); F₂(5; 0); ε = ; б) 5; 3; F₁(− 4; 0); F₂(4; 0); ε = .

15. а) эллипс; б) парабола; в) гипербола; г) прямая.

4. 
   Введение в анализ
   

1. а1; б3; в4; г2.

2. а) [2;0) (0;2]; б) [0;4]; в) (−∞;0) г) (;).

3. а) 2; б); г) ; в) 0; д) ; е) 8; ж) 2; з) e⁸.

4. а); в).

5. а) функция непрерывна; б) х = –2; х = –3 − точки разрыва II рода;

в) x = 4 – точка разрыва II рода.

6. а); г).

7. а1; б1; в1; г4; д2; е1; ж5; з1; и6; к1; л3.

8. а) ; б) 3; в) ; г).

5. 
   Дифференциальное исчисление функций одной переменной
   

1. а) 24x; б) sin 2x; в) arcsin (ln x) + ;

г) 2x e^−2x(1x); д) ln3 2^x ln2 ;

е) ; ж) x^{sin x}; з) 2x^lnx−1lnx;

и) ; к) 1,5 ctg t; л) ;

м) ; н) ;

2. а7; б5; в9; г8; д10; е1; ж3; з6; и2; к4.

3. б).

4. а).

5. а) ; б) dx.

6. а) 4,9; б) 0,02.

7. а) y = 4e^2x dx²; б ) dy² = − dx².

8. ; .

9. а) 1; б) 9; в) ; г) 2.

10. а) sin ; б) .

5. 
   Исследование функций и построение графиков
   

1. а4; б1; в3; г2.

2. y = .

3. а); б); д).

4. а).

5. г).

6. а); в).

7. (0; 2).

8. в точке х = 4, y_min = − e⁴.

9. Наименьшее y = −18, наибольшее y = 2.

10. .

5. 
   Комплексные числа
   

1. а2; б3; в1.

2. б).

3. а) 3+ i; б) 4 + 3i; в) i.

4. 2¹⁵.

8. 
   Интегральное исчисление функций одной переменной
   

1. а6; б5; в9; г7; д3; е1; ж10; з2; и12; к8; л4; м11; н13.

2.

а) arctg + C;	и) C;
б) + C;	к) + C;
в) + C;	л) x - sin 4x + C;
г) − + C;	м) 2 ln + + C;
д) – 3cos + C;	н) ;
е) – x cos x +sin x + C;	о) ;
ж) + C;	п) 0;
з) − 3 + 13 arcsin (x 3) + C;	р) −1.

3. Подынтегральная функция – нечетная.

4. а); б); г); д); е).

5. .

6. а) сходится, 1; б) сходится, ; в) расходится ; г) сходится , .

7. .

8. (2

9. 0,3 (куб.ед.)

10. 0 ≤ .

8. 
   Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
   

1. а) x² + y² ≥ 1 – часть плоскости вне единичного круга:

б) полоса между параллельными прямыми x + y ≤ 1 и x + y≥ − 1;

в) полуплоскость x ≥ 0.

2. а) = 2x – 3y − 4; = 4y − 3x + 2.

б) = − = .

в) = 3x²y + y³; = (x³+ 3xy²).

г) = ; = − + ; = − .

д) = ; = .

3. dz = .

4. 0.

5. Касательная плоскость x − 2y + z = 0; нормаль .

6. 3,02.

7. в).

8. z_min = − 9.

9. а).

Список литературы

1. 
   Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – CПб.: Профессия, 2006.
   
2. 
   Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике. – М. : Наука, 1977.
   
3. 
   Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. – В 2 ч. Ч. 1 : учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. – 6-е изд. – М. : Мир и образование, 2007.
   
4. 
   Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие для втузов. – 17-е изд. – СПб. : Профессия, 2005.
   
5. 
   Сборник задач по высшей математике. 1–й курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 3-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2003.
   
6. 
   Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : полный курс. – 2-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2004.
   
7. 
   Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1 / под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. – М. : Наука, 1986.
   

Задания по математике

в тестовой форме

для организации самостоятельной работы
Учебно-методическое пособие

Часть 1
Составитель Смирнова Наталья Анатольевна
В редакции составителя

Корректор Н. К. Швиндт