Учебнометодическое пособие Москва Берлин 2020 удк 330. 43(075) ббк 65в631я7 з рецензенты
 Скачать 1.43 Mb.
|
2.2. Функция распределения случайной величины Формами закона распределения случайной величины (x) являются функция и плотность распределения Плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин. Функция распределения случайной величины (x) представляет собой функцию х, выражающую для каждого значениях) вероятность того, что случайная величина (x) примет значение, меньше (х 1) Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, то есть при 2 х х ( ) ( ) 2 х х . 2) Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей ( ) 0 х) Вероятность попадания случайной величины (Х) в интервал х х равна приращению ее функции распределения на этом интервале, то есть ( ) ( ) 1 2 2 1 ( ) ≤ Р х Х х х х . Случайная величина (Х) называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. Плотностью вероятноcти ( ) ϕ x непрерывной случайной величины (Х) называется производная ее функции распределения ( ) ( ) ′ ϕ = x F x . (2.16) 2.3. Многомерные случайные величины Упорядоченный набор ( ) 1 2 , , = n x x случайных величин называется многомерной случайной величиной. Пример, показатель качество жизни россиян в определенный период времени может быть охарактеризован многомерной случайной величиной ( ) 1 2 , , , = n x x где 1 x — продолжительность жизни, 2 x — уровень потребления социально значимых благ и услуг, 3 x — уровень развития науки и т. д. Функцией распределения многомерной случайной величины ( ) 1 , , п Х Х называется функция ( ) 1 2 , , … п F х х х , выражающая 15 (n) неравенств 1 1 2 2 , , , ≤ ≤ ≤ п п Х х Х х Х х , то есть ( ) 1 2 1 1 2 2 , , , ( ) , , … = ≤ ≤ … ≤ п п п F х х х Р Х х Х х Х х . (2.17) Плотностью распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, Y) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, то есть ( ) ( ) , , , ′′ ϕ = x y x y F x y . (2.18) Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины (Х, Y) называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение. Условные плотности распределения двумерной случайной величины (Х, Y) определяются по формулам ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ; , , , +∞ −∞ ∞ −∞ ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ = ϕ ∫ ∫ y x x y x x y d x x y y x y d y (2.19) Условное математическое ожидание М х (Y) случайной величины) при Х = х есть функция от (х, называемая функцией регрессии (Y) по (Х. 2. 4. Закон больших чисел Рассмотрим некоторые результаты теории вероятностей, используемые в эконометрике. 4.1. Закон больших чисел Под законом больших чисел понимается принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при общих условиях) к результату, почти независящему от случая. 16 n Q ) параметра ( Q ) называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, то есть сходится по вероятности к оцениваемому параметру ( ) lim 1 − ≤ ε = n P Q Q (2.21) Несмещенная оценка ( n Q ) параметра ( Q ) называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра ( Q ), вычисленных по выборкам одного итого же объема (n). Полный набор данных, относящихся к исследуемому явлению, называется генеральной совокупностью. В реальности редко возможны ситуации, когда исследователю доступны все данные для исследования. Обычно приходится иметь дело с ограниченным их количеством — выборкой. Статистические показатели, полученные на основе выборок, называются выборочными показателями Для решения задач статистического оценивания рассчитывают показатели на основе некоторой совокупности выборок, в результате получается выборочное распределение выборочного показателя. Для нахождения оценок параметров генеральной совокупности поданным выборки используется метод максимального правдоподобия Основу этого метода составляет функция правдоподобия, которая выражает плотность вероятности совместного появления результатов выборки ( ) 1 2 , n x x x : ( ) ( ) 1 2 1 , , , = = ϕ ∏ n n i i L x x x Q x Q . (2.22) Согласно этого метода в качестве оценки неизвестного параметра) принимается такое значение ( n Q ) , которое максимизиру- ет функцию (L). Достоинством метода максимального правдоподобия является то, что получаемые им оценки состоятельны, эффективны и имеют нормальное распределение. Несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой математического ожидания ( ) α является выборочная средняя 18 ( ) 1 1 4 4 = + F х х . Найти вероятность попадания случайной величины (Х) в интервал (0, 2). Задача 2.3. Случайная величина (Х) задана функцией распределения при 0 при 0 1 при ≤ = ≤ ≤ ≥ х F х х х x Найти плотность распределения ( ) ϕ x Задача 2.4. Дан ряд распределения случайной величины Х 1 4 5 Р 0,4 0, 1 0,5 Найти и изобразить графически функцию ее распределения. 2. Линейная парная регрессия. 3. Коэффициент корреляции. 4. Основные положения регрессионного анализа. 5. Интервальная оценка функции регрессии и ее пара- метров. 6. Оценка значимости уравнения регрессии. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости Регрессионный анализ занимает центральное место в математическом аппарате эконометрики. Задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, прогноз значений зависимой переменной. Различают функциональную, статистическую и корреляционную зависимости. При функциональной зависимости каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой. При статистической зависимости каждому значению одной переменной соответствует определенное распределение другой переменной (например, зависимость производительности труда на заводе от его энерговооруженности. При корреляционной зависимости каждому значению одной переменной соответствует определенное математическое ожидание другой. Регрессионный анализ применим тогда, когда изучаемые зависимости имеют стохастическую вероятностную) природу; 2) выявляются на основании статистического наблюдения за анализируемыми событиями. 22 ( ) ( ) = ϕ x M Y x , (3.1) где (Y) — эндогенная переменная (результирующая, объясняемая Х — экзогенная переменная (объясняющая, регрессор). Эндогенная переменная характеризует некий результат функционирования анализируемой экономической системы. В регрессионном анализе эндогенная переменная выступает в роли функции, значения которой всегда стохастичны по своей природе. Экзогенная переменная описывает функционирование изучаемой экономической системы и задается как бы извне. В регрессионном анализе она играет роль аргумента той функции, в качестве которой рассматривается эндогенная переменная. По своей природе она может быть как случайной, таки неслучайной. Уравнение (3.1) называют уравнением регрессии, а ( ) ϕ x — функцией регрессии. С помощью уравнения регрессии (3.1) можно решить следующие практические задачи 1) установить факт наличия (отсутствия) связи между переменными, проверить статистическую значимость этой связи 2) осуществить прогноз неизвестных значений эндогенной переменной по заданным значениям экзогенных переменных выявить причинно-следственные связи между эндогенными и экзогенными переменными 4) осуществить регулирование значений экзогенных показателей с целью управления эндогенными показателями. Выбор вида функции регрессии — наиболее важная и наименее теоретически обоснованная часть регрессионного анализа. В практике регрессионного анализа сложились определенные традиции, которых обычно придерживаются при выборе вида искомой функции прежде всего, необходимо опираться на имеющуюся априорную информацию об изучаемом явлении исследователь проводит визуальный анализ данных, использует разные приемы математической статистики при обработке полученных данных главное правило при построении регрессионной модели это движение от простого к сложному. Поэтому анализ принято начинать с простейшего случая — линейной модели. 23 i i i u x b b y + + = 1 0 , (3.2) где i = 1, 2.., n — номер наблюдения y — эндогенная переменная х — экзогенная переменная u — регрессионный остаток 0 1 , b b — коэффициенты регрессии. Дело в том, что на (y), помимо (х ), влияет множество других факторов. Все их учесть невозможно, поэтому считают, что член (u) отражает влияние всех прочих факторов, влияющих на показатель (y). Оценкой модели парной регрессии по выборке является выборочное уравнение регрессии 0 1 ˆ = + i i y b b x , где 0 1 , b b — оценки коэффициентов регрессии. Алгоритм регрессионного анализа представлен в виде следующей последовательности действий 1. По фактическим данным оценивают 0 1 , b b — коэффициенты регрессии. Обозначим 0 1 , b b — оценки коэффициентов регрессии. 2. Рассчитывают ожидаемое значение ( i yˆ ) из выражения 0 1 ˆ = + i i y b b x . (3.3) То есть для каждого значения ( i x ) существует фактическое значение ( i y ), но появляется также оценочное значение ( ) ˆ i y . ˆ = − i i i u y y . (3.4) 3. Для статистической проверки взаимосвязи между зависимыми и независимыми переменными находят значения 0 1 , b b — коэффициентов регрессии, и ( ) i u . 24 0 и В 1 получают с помощью метода наименьших квадратов, о котором пойдет речь в теме. Коэффициент корреляции Для оценки тесноты корреляционной зависимости (y) их) служит коэффициент корреляции (r): 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 = = = = = = = − = − × − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n n n i i i i i i i n n n n i i i i i i i i n x y x y r n x x n y y (3.5) 25 2. При r = 1 корреляционная зависимость является функциональной. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. |