Главная страница
Навигация по странице:

  • 1.2. Квадратурная формула. Квадратурный процесс

  • Замечание 3.

  • 1.4. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

  • Формула Симпсона (парабол)

  • 1.5. Квадратурные формулы Гаусса

  • 1.6. Квадратурные формулы с весом

  • чЯч. Учебнометодическое пособие по курсу Методы вычислений для студентов ivv курсов всех форм обучения


    Скачать 0.92 Mb.
    НазваниеУчебнометодическое пособие по курсу Методы вычислений для студентов ivv курсов всех форм обучения
    Дата11.05.2022
    Размер0.92 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаmet_uk4.doc
    ТипУчебно-методическое пособие
    #523486
    страница1 из 3
      1   2   3

    Министерство образования Российской Федерации




    Воронежский государственный университет




    Математический факультет




    Кафедра математического моделирования


    Численное
    интегрирование и дифференцирование
    Учебно-методическое пособие

    по курсу «Методы вычислений»

    для студентов IV-V курсов

    всех форм обучения

    Составитель В.П.Трофимов


    Воронеж



    2002 г.
    Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для выполнения лабораторных работ «Численное интегрирование» и «Численное дифференцирование» по курсу «Методы вычислений» студентами IV-V курсов дневного и вечернего отделений математического факультета. Разработка может быть использована для самостоятельной работы студентов и при подготовке к экзамену.

    Разработка представляет собой существенно переработанный и дополненный вариант методических указаний [6].

    Литература
    1. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие / Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков; Под ред. В.А.Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000. – 190 с.

    2. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов / А.И.Плис, Н.А.Сливина. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1994. – 416 с.

    3. Крылов В.И. Справочная книга по численному интегрированию/ В.И.Крылов, Л.Т.Шульгина. – М.: Наука, 1966. – 372 с.

    4. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. – М.: Высшая школа, 1982. – 328 с.

    5. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов / Г.М.Вайникко. – Тарту.: Тартусский гос. ун-т, 1976. – 162 с.

    6. Методические указания по методам вычислений и вычислительной практике. Часть II / Сост. Г.С.Аброськина, В.П.Трофимов. - Воронеж.: Воронеж. гос. ун-т, 1988. – 19 с.
    Обозначения
    R - множество вещественных чисел;

    N – множество натуральных чисел;

    С – множество комплексных чисел;

    - банахово пространство функций непрерывных на R;

    - пространство функций, имеющих на непрерывные производные до порядка включительно;

    - пространство алгебраических многочленов;

    - пространство алгебраических многочленов степени не выше .

    I. Численное интегрирование
    1.1. Постановка задачи

    Пусть функция определена и непрерывна на отрезке R , и требуется вычислить определенный интеграл (интеграл Римана)



    Задачу вычисления интеграла (1) принято называть квадратурой.

    Если интеграл является табличным или приводится к табличному (например, с помощью замены переменного), то он вычисляется с помощью формулы Ньютона-Лейбница

    ,

    где - первообразная для на .

    На практике в редких случаях можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Через элементарные функции выражаются первообразные только для специальных классов функций. Например, в элементарных функциях не выражаются интегралы и . Кроме того, функция может быть задана таблично. В этом случае формула Ньютона-Лейбница вообще не применима. Поэтому приходится интеграл вычислять приближенно, используя формулы численного интегрирования.
    1.2. Квадратурная формула. Квадратурный процесс

    Выберем на отрезке точки . Формула численного интегрирования



    называется квадратурной. Величины R, называются коэффициентами (весовыми коэффициентами) квадратурной формулы; - узлами квадратурной формулы. Обычно требуют, чтобы



    Разность



    называется погрешностью (функционалом погрешности) квадратурной формулы (2).

    Важно знать, для каких классов функций погрешность обращается в нуль. Равенство (3) означает, что квадратурная формула (2) точна на константах , если для . Будем говорить, что квадратурная формула точна на многочленах степени , если для любой функции , где - пространство многочленов степени не выше .

    Квадратурная формула (2) содержит параметров: и . Если для каждого N выбрать свои узлы и коэффициенты , то получим квадратурный процесс:



    Квадратурный процесс (5) называется сходящимся, если для любой функции погрешность квадратурной формулы при . Это означает, что последовательность функционалов погрешности сходится к нулю на каждом элементе (см. [4], стр. 165).

    Замечание 1. , , являются линейными непрерывными (ограниченными) функционалами на :

    , , .
    Из последнего равенства следует, что последовательность функционалов погрешности не может равномерно сходиться к нулю при .
    Из теоремы Банаха-Штейнгауса (см. [4], с. 134, с. 166) немедленно получаем условие сходимости квадратурного процесса:

    Теорема 1. Для того чтобы квадратурный процесс (5) сходился, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

    1) при для любой функции , где - множество, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в ;

    2) существует константа такая, что для всех N.
    1.3. Интерполяционная квадратурная формула

    Пусть заданы узлы квадратурной формулы (2). По подинтегральной функции и узлам построим интерполяционный многочлен Лагранжа



    где , .

    Положив



    получим интерполяционную квадратурную формулу



    где



    Таким образом, квадратурная формула (2) является интерполяционной, если её коэффициенты вычисляются по формуле (8).

    Замечание 2. Коэффициенты интерполяционной квадратурной формулы зависят только от узлов и не зависят от подинтегральной функции .

    Интерполяционная квадратурная формула (7)–(8) точна на многочленах степени , если . Очевидно, что если квадратурная формула (2) с узлами имеет алгебраический порядок точности не ниже , то она является интерполяционной.

    Погрешность интерполяционной квадратурной формулы (7)–(8) имеет вид



    где - погрешность интерполяции.

    Если , то



    и, следовательно,



    Часто оценку (9) заменяют более грубой



    Теорема 2. Для сходимости квадратурного процесса (5), порожденного интерполяционной квадратурной формулой (7)-(8) с таблицей узлов : , необходимо и достаточно, чтобы для любого N.

    Действительно, для всякого многочлена степени имеем при и, следовательно, при для любой функции , где - пространство многочленов, всюду плотное в . Утверждение теоремы 2 теперь немедленно следует из теоремы 1.
    Для любой таблицы узлов : , используя формулу (8), получаем


    где - константа Лебега.

    Замечание 3. При любом выборе узлов интерполяции имеет место (см. [4], стр. 118) неравенство С.Н.Бернштейна Введем оператор , преобразующий функцию в интерполяционный многочлен Лагранжа . Оператор - линейный и ограниченный. Нетрудно показать, что . Из неравенства С.Н.Бернштейна и теоремы Банаха-Штейнгауса немедленно следует, что для любой таблицы узлов интерполяции : найдется такая функция , для которой последовательность интерполяционных многочленов неограниченно расходится.

    Замечание 4. Расходимость интерполяционного процесса может вызвать осложнения в задаче вычисления интеграла. При неудачном выборе узлов квадратурный процесс (5), порожденный квадратурной формулой (7)–(8), будет расходящимся (сумма может неограниченно расти).
    1.4. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

    Возьмем на отрезке равноотстоящие узлы и построим интерполяционную квадратурную формулу (см. (7)-(8))



    где



    Сделав в интеграле замену переменного , получим



    Здесь коэффициенты



    не зависят от промежутка интегрирования и могут быть вычислены заранее.

    Интерполяционная квадратурная формула с равноотстоящими узлами и коэффициентами , вычисленными по формуле (12),



    называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса.

    Коэффициенты для вычислены и содержатся в справочниках по численному интегрированию (см. [3], стр. 16-19). Приведем значения для малых :











    Квадратурная формула Ньютона-Котеса точна на константах: . Для все коэффициенты положительны. При встречаются три отрицательных коэффициента, а при все коэффициенты положительны. Для среди будут отрицательные. Причем имеет место, как показал Д.Пойа, соотношение



    Более того, абсолютные величины будут довольно быстро расти при для любого фиксированного . Это означает, что квадратурный процесс, порожденный квадратурными формулами Ньютона-Котеса (13), является расходящимся (не выполняется условие 2) теоремы 2). Поэтому в приложениях применяются формулы Ньютона-Котеса при небольших значениях ( ).

    Если число узлов в формуле Ньютона-Котеса (13) нечетное, то алгебраический порядок точности формулы равен и для погрешность представима в виде



    где , и множитель отрицателен.

    Если же число узлов в формуле Ньютона-Котеса (13) четное, то алгебраический порядок точности формулы равен и для погрешность представима в виде


    здесь , и множитель отрицателен.

    Приведем наиболее распространенные формулы Ньютона-Котеса:
    Формула трапеций



    Если , то .

    Формула Симпсона (парабол)



    Если , то

    Формула трех восьмых



    Если , то
    1.5. Квадратурные формулы Гаусса

    Пусть требуется построить квадратурную формулу с узлами, имеющую максимально возможный алгебраический порядок точности. Нужно определить параметра квадратурной формулы: узлы и коэффициенты .

    Ясно, что наивысший алгебраический порядок точности квадратурной формулы с узлами не может быть выше, чем . Действительно, возьмем многочлен степени . Тогда но и, следовательно, погрешность квадратурной формулы .

    Теперь мы можем попытаться построить квадратурную формулу с алгебраическим порядком точности .

    Теорема 3. Для того чтобы квадратурная формула (2) с узлами имела алгебраический порядок точности , необходимо и достаточно, чтобы многочлен степени был ортогонален на любому многочлену степени меньшей или равной , то есть для любого многочлена



    Квадратурная формула с узлами, имеющая алгебраический порядок точности , называется квадратурной формулой Гаусса или квадратурной формулой наивысшего алгебраического порядка точности. Очевидно, что квадратурная формула Гаусса является интерполяционной.

    Для любого N многочлен степени , удовлетворяющий условию ортогональности (14), имеющий вещественные и различные корни , существует и единственен. Поэтому квадратурная формула Гаусса может быть построена.

    Для коэффициентов квадратурной формулы Гаусса верно следующее равенство



    Следовательно, все и Отсюда и из теоремы 2 вытекает сходимость квадратурного процесса, порожденного квадратурной формулой Гаусса.

    Квадратурная формула Гаусса дает высокую точность в том случае, когда подинтегральная функция в окрестности отрезка интегрирования обладает высоким порядком гладкости.

    Погрешность квадратурной формулы Гаусса для имеет вид



    Исторически первым примером квадратурной формулы, имеющей наивысший алгебраический порядок точности, была формула Гаусса для отрезка . Для построения квадратурной формулы использовалась система ортогональных многочленов Лежандра.

    Многочлены вида



    называются многочленами Лежандра. Из (16) следует, что является многочленом степени .

    Многочлены Лежандра обладают следующими свойствами:

    1. Многочлен ортогонален на отрезке любому многочлену степени меньше : для любого .

    2. Все корни многочлена вещественные, различные и расположены на интервале .

    3. Многочлены образуют ортогональную систему на : при и при .

    4. Имеет место рекуррентная формула:



    Формула (17) позволяет, используя равенства и , найти многочлен Лежандра любой степени.

    Если известны корни многочлена Лежандра , то, используя (15), получаем квадратурную формулу Гаусса



    где



    Таблицы узлов и коэффициентов формулы (18) приведены в [3]. Отметим, что корни многочленов Лежандра и коэффициенты квадратурной формулы (18) обладают симметрией на относительно точки .

    Пересчет узлов и коэффициентов квадратурной формулы на произвольный отрезок осуществляется с помощью замены переменной :



    Таким образом, из (18) получаем квадратурную формулу Гаусса для произвольного отрезка



    где корни многочлена Лежандра .

    1.6. Квадратурные формулы с весом

    Часто удобно исходный интеграл (1) записывать в виде



    где - некоторая заданная функция, называемая весом. Обычно требуют, чтобы интеграл абсолютно сходился и В разложении на множители функции функцию выбирают так, чтобы она обладала достаточно высоким порядком гладкости на , при этом весовая функция должна содержать все «особенности» подинтегральной функции и быть по возможности наиболее простой.

    В этом случае интерполяционная квадратурная формула (7)-(8) принимает вид



    где



    Приведем пример квадратурной формулы Гаусса с весовой функцией Якоби , позволяющей учитывать степенные особенности интегрируемой функции на концах отрезка. Отрезок приведем к отрезку и построим интерполяционную квадратурную формулу



    где - корни многочлена Якоби .
      1   2   3


    написать администратору сайта