чЯч. Учебнометодическое пособие по курсу Методы вычислений для студентов ivv курсов всех форм обучения
Скачать 0.92 Mb.
|
Министерство образования Российской ФедерацииВоронежский государственный университетМатематический факультетКафедра математического моделированияЧисленноеинтегрирование и дифференцированиеУчебно-методическое пособиепо курсу «Методы вычислений» для студентов IV-V курсов всех форм обучения Составитель В.П.Трофимов Воронеж2002 г. Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для выполнения лабораторных работ «Численное интегрирование» и «Численное дифференцирование» по курсу «Методы вычислений» студентами IV-V курсов дневного и вечернего отделений математического факультета. Разработка может быть использована для самостоятельной работы студентов и при подготовке к экзамену. Разработка представляет собой существенно переработанный и дополненный вариант методических указаний [6]. Литература 1. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие / Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков; Под ред. В.А.Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000. – 190 с. 2. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов / А.И.Плис, Н.А.Сливина. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1994. – 416 с. 3. Крылов В.И. Справочная книга по численному интегрированию/ В.И.Крылов, Л.Т.Шульгина. – М.: Наука, 1966. – 372 с. 4. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. – М.: Высшая школа, 1982. – 328 с. 5. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов / Г.М.Вайникко. – Тарту.: Тартусский гос. ун-т, 1976. – 162 с. 6. Методические указания по методам вычислений и вычислительной практике. Часть II / Сост. Г.С.Аброськина, В.П.Трофимов. - Воронеж.: Воронеж. гос. ун-т, 1988. – 19 с. Обозначения R - множество вещественных чисел; N – множество натуральных чисел; С – множество комплексных чисел; - банахово пространство функций непрерывных на R; - пространство функций, имеющих на непрерывные производные до порядка включительно; - пространство алгебраических многочленов; - пространство алгебраических многочленов степени не выше . I. Численное интегрирование 1.1. Постановка задачи Пусть функция определена и непрерывна на отрезке R , и требуется вычислить определенный интеграл (интеграл Римана) Задачу вычисления интеграла (1) принято называть квадратурой. Если интеграл является табличным или приводится к табличному (например, с помощью замены переменного), то он вычисляется с помощью формулы Ньютона-Лейбница , где - первообразная для на . На практике в редких случаях можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Через элементарные функции выражаются первообразные только для специальных классов функций. Например, в элементарных функциях не выражаются интегралы и . Кроме того, функция может быть задана таблично. В этом случае формула Ньютона-Лейбница вообще не применима. Поэтому приходится интеграл вычислять приближенно, используя формулы численного интегрирования. 1.2. Квадратурная формула. Квадратурный процесс Выберем на отрезке точки . Формула численного интегрирования называется квадратурной. Величины R, называются коэффициентами (весовыми коэффициентами) квадратурной формулы; - узлами квадратурной формулы. Обычно требуют, чтобы Разность называется погрешностью (функционалом погрешности) квадратурной формулы (2). Важно знать, для каких классов функций погрешность обращается в нуль. Равенство (3) означает, что квадратурная формула (2) точна на константах , если для . Будем говорить, что квадратурная формула точна на многочленах степени , если для любой функции , где - пространство многочленов степени не выше . Квадратурная формула (2) содержит параметров: и . Если для каждого N выбрать свои узлы и коэффициенты , то получим квадратурный процесс: Квадратурный процесс (5) называется сходящимся, если для любой функции погрешность квадратурной формулы при . Это означает, что последовательность функционалов погрешности сходится к нулю на каждом элементе (см. [4], стр. 165). Замечание 1. , , являются линейными непрерывными (ограниченными) функционалами на : , , . Из последнего равенства следует, что последовательность функционалов погрешности не может равномерно сходиться к нулю при . Из теоремы Банаха-Штейнгауса (см. [4], с. 134, с. 166) немедленно получаем условие сходимости квадратурного процесса: Теорема 1. Для того чтобы квадратурный процесс (5) сходился, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий: 1) при для любой функции , где - множество, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в ; 2) существует константа такая, что для всех N. 1.3. Интерполяционная квадратурная формула Пусть заданы узлы квадратурной формулы (2). По подинтегральной функции и узлам построим интерполяционный многочлен Лагранжа где , . Положив получим интерполяционную квадратурную формулу где Таким образом, квадратурная формула (2) является интерполяционной, если её коэффициенты вычисляются по формуле (8). Замечание 2. Коэффициенты интерполяционной квадратурной формулы зависят только от узлов и не зависят от подинтегральной функции . Интерполяционная квадратурная формула (7)–(8) точна на многочленах степени , если . Очевидно, что если квадратурная формула (2) с узлами имеет алгебраический порядок точности не ниже , то она является интерполяционной. Погрешность интерполяционной квадратурной формулы (7)–(8) имеет вид где - погрешность интерполяции. Если , то и, следовательно, Часто оценку (9) заменяют более грубой Теорема 2. Для сходимости квадратурного процесса (5), порожденного интерполяционной квадратурной формулой (7)-(8) с таблицей узлов : , необходимо и достаточно, чтобы для любого N. Действительно, для всякого многочлена степени имеем при и, следовательно, при для любой функции , где - пространство многочленов, всюду плотное в . Утверждение теоремы 2 теперь немедленно следует из теоремы 1. Для любой таблицы узлов : , используя формулу (8), получаем где - константа Лебега. Замечание 3. При любом выборе узлов интерполяции имеет место (см. [4], стр. 118) неравенство С.Н.Бернштейна Введем оператор , преобразующий функцию в интерполяционный многочлен Лагранжа . Оператор - линейный и ограниченный. Нетрудно показать, что . Из неравенства С.Н.Бернштейна и теоремы Банаха-Штейнгауса немедленно следует, что для любой таблицы узлов интерполяции : найдется такая функция , для которой последовательность интерполяционных многочленов неограниченно расходится. Замечание 4. Расходимость интерполяционного процесса может вызвать осложнения в задаче вычисления интеграла. При неудачном выборе узлов квадратурный процесс (5), порожденный квадратурной формулой (7)–(8), будет расходящимся (сумма может неограниченно расти). 1.4. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса Возьмем на отрезке равноотстоящие узлы и построим интерполяционную квадратурную формулу (см. (7)-(8)) где Сделав в интеграле замену переменного , получим Здесь коэффициенты не зависят от промежутка интегрирования и могут быть вычислены заранее. Интерполяционная квадратурная формула с равноотстоящими узлами и коэффициентами , вычисленными по формуле (12), называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса. Коэффициенты для вычислены и содержатся в справочниках по численному интегрированию (см. [3], стр. 16-19). Приведем значения для малых : Квадратурная формула Ньютона-Котеса точна на константах: . Для все коэффициенты положительны. При встречаются три отрицательных коэффициента, а при все коэффициенты положительны. Для среди будут отрицательные. Причем имеет место, как показал Д.Пойа, соотношение Более того, абсолютные величины будут довольно быстро расти при для любого фиксированного . Это означает, что квадратурный процесс, порожденный квадратурными формулами Ньютона-Котеса (13), является расходящимся (не выполняется условие 2) теоремы 2). Поэтому в приложениях применяются формулы Ньютона-Котеса при небольших значениях ( ). Если число узлов в формуле Ньютона-Котеса (13) нечетное, то алгебраический порядок точности формулы равен и для погрешность представима в виде где , и множитель отрицателен. Если же число узлов в формуле Ньютона-Котеса (13) четное, то алгебраический порядок точности формулы равен и для погрешность представима в виде здесь , и множитель отрицателен. Приведем наиболее распространенные формулы Ньютона-Котеса: Формула трапеций Если , то . Формула Симпсона (парабол) Если , то Формула трех восьмых Если , то 1.5. Квадратурные формулы Гаусса Пусть требуется построить квадратурную формулу с узлами, имеющую максимально возможный алгебраический порядок точности. Нужно определить параметра квадратурной формулы: узлы и коэффициенты . Ясно, что наивысший алгебраический порядок точности квадратурной формулы с узлами не может быть выше, чем . Действительно, возьмем многочлен степени . Тогда но и, следовательно, погрешность квадратурной формулы . Теперь мы можем попытаться построить квадратурную формулу с алгебраическим порядком точности . Теорема 3. Для того чтобы квадратурная формула (2) с узлами имела алгебраический порядок точности , необходимо и достаточно, чтобы многочлен степени был ортогонален на любому многочлену степени меньшей или равной , то есть для любого многочлена Квадратурная формула с узлами, имеющая алгебраический порядок точности , называется квадратурной формулой Гаусса или квадратурной формулой наивысшего алгебраического порядка точности. Очевидно, что квадратурная формула Гаусса является интерполяционной. Для любого N многочлен степени , удовлетворяющий условию ортогональности (14), имеющий вещественные и различные корни , существует и единственен. Поэтому квадратурная формула Гаусса может быть построена. Для коэффициентов квадратурной формулы Гаусса верно следующее равенство Следовательно, все и Отсюда и из теоремы 2 вытекает сходимость квадратурного процесса, порожденного квадратурной формулой Гаусса. Квадратурная формула Гаусса дает высокую точность в том случае, когда подинтегральная функция в окрестности отрезка интегрирования обладает высоким порядком гладкости. Погрешность квадратурной формулы Гаусса для имеет вид Исторически первым примером квадратурной формулы, имеющей наивысший алгебраический порядок точности, была формула Гаусса для отрезка . Для построения квадратурной формулы использовалась система ортогональных многочленов Лежандра. Многочлены вида называются многочленами Лежандра. Из (16) следует, что является многочленом степени . Многочлены Лежандра обладают следующими свойствами: 1. Многочлен ортогонален на отрезке любому многочлену степени меньше : для любого . 2. Все корни многочлена вещественные, различные и расположены на интервале . 3. Многочлены образуют ортогональную систему на : при и при . 4. Имеет место рекуррентная формула: Формула (17) позволяет, используя равенства и , найти многочлен Лежандра любой степени. Если известны корни многочлена Лежандра , то, используя (15), получаем квадратурную формулу Гаусса где Таблицы узлов и коэффициентов формулы (18) приведены в [3]. Отметим, что корни многочленов Лежандра и коэффициенты квадратурной формулы (18) обладают симметрией на относительно точки . Пересчет узлов и коэффициентов квадратурной формулы на произвольный отрезок осуществляется с помощью замены переменной : Таким образом, из (18) получаем квадратурную формулу Гаусса для произвольного отрезка где корни многочлена Лежандра . 1.6. Квадратурные формулы с весом Часто удобно исходный интеграл (1) записывать в виде где - некоторая заданная функция, называемая весом. Обычно требуют, чтобы интеграл абсолютно сходился и В разложении на множители функции функцию выбирают так, чтобы она обладала достаточно высоким порядком гладкости на , при этом весовая функция должна содержать все «особенности» подинтегральной функции и быть по возможности наиболее простой. В этом случае интерполяционная квадратурная формула (7)-(8) принимает вид где Приведем пример квадратурной формулы Гаусса с весовой функцией Якоби , позволяющей учитывать степенные особенности интегрируемой функции на концах отрезка. Отрезок приведем к отрезку и построим интерполяционную квадратурную формулу где - корни многочлена Якоби . |