УМП к лабораторным и СРО КИР. Учебнометодическое пособие по выполнению лабораторных работ и самостоятельной работе обучающихся Стерлитамак 2018
 Скачать 2.62 Mb.
|
|
Лабораторная работа № 3 Определение критических скоростей вращения вала с одним диском ЦЕЛЬ РАБОТЫ Определение критической частоты вращения вала с одним диском теоретическим и экспериментальным путем, сравнение результатов. 3.1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Понятие о критическом числе оборотов вала. Определение первой критической скорости вращения вала. Критические скорости вращения валов были обнаружены в середине XIX века в связи с увеличением быстроходности различных машин, содержащих роторы, состоящие из вала с насаженными на него дисками или другими массивными телами. Такие роторы имеются в турбинах, турбокомпрессорах, центрифугах, редукторах. Достигнув определенной скорости вращения, вал с дисками начинает колебаться, давая значительные, постепенно нарастающие прогибы. При этом сильно возрастают дисбалансы вращающихся масс, вследствие чего машина в целом испытывает сильные вибрации. Значительно возрастают нагрузки на подшипники, станину и фундамент. При дальнейшем повышении частоты вращения колебания ротора прекращаются и возобновляются, когда скорость достигает некоторого нового значения. Скорости вращения, при которых возникают опасные для работы машин колебания валов, называются критическими. При критических скоростях амплитуды колебаний становится весьма большой; вал испытывает значительные динамические прогибы и соответственно большие напряжения. Длительная работа вала с дисками при критической скорости недопустима, так как прогибы и напряжения возрастают до такой степени, что вал разрушается (получает остаточные деформации). Однако постепенность нарастания амплитуды колебаний (прогиба) дает возможность кратковременно работать при критической скорости вращения. В связи с этим в период разгона машины, при достаточно быстром росте скорости, можно миновать критическую скорость и работать в сверхкритической области. Критические явления носит резонансный характер: критическая частота вращения вала совпадает с частотой собственных изгибных колебаний того же вала. Вал совершает эти колебания даже при отсутствии вращения, если действием каких-либо сил его изогнуть, а затем предоставить самому себе. В связи с опасностью разрушения вала при критической частоте вращения, задача ее определения является весьма важной. Хотя при обработке вала и дисков стремятся добиться, возможно, более точной их балансировки, однако точного совпадения центра тяжести ротора с геометрической осью вала можно достигнуть лишь случайно. Обычно центр тяжести имеет некоторый эксцентриситет, который, как бы мал он не был, вызывает центробежную силу, тем большую, чем выше частота вращения вала. Рассмотрим действие этой силы на вал с одним диском. Ось вала выберем вертикальной, чтобы не учитывать влияние собственной массы вала. Допустим, что вал абсолютно упругий и при определенной скорости может получить неограниченный прогиб (рисунок 4). Определим прогиб вала под действием центробежной силы вращающейся массы диска. Пусть т - масса диска, е - эксцентриситет его центра тяжести относительно оси вала. На вал действует центробежная сила  (3.1)
Первоначально r= е, но после того, как вал получит упругий прогиб у, радиус вращения станет равным r = е + у и центробежная сила  (3.2)Центробежная сила Fцб’ стремится переместить точку по радиусу от оси вращения; этому движению препятствует сила упругости, действующая на точку со стороны вала и пропорциональная его прогибу: Fупр = k·y, (3.3)  Рисунок 4 - Расчетная схема вала Коэффициент пропорциональности к представляет собой силу, вызывающую единичный (т.е. равный 1 см) прогиб, и характеризует изгибную жесткость вала. Размерность коэффициента пропорциональности - Н/м. Других сил, действующих на массу, нет; поэтому уравнение равновесия сил, действующих на нее, имеет вид  или m(e+y)w2=ky, (3.4) Из этого уравнения легко найти зависимость прогиба от скорости вращения wи начального эксцентриситета е:  (3.5)При определенном значении угловой скорости выражение k - m·w2, стоящее в знаменателе, обращается в нуль. При этом прогиб становится бесконечным. Это значение угловой скорости и является критическим:  (3.6) (3.7)Более удобный вариант формулы (3.7) содержит так называемый "статический прогиб" f. Приложим мысленно к валу в направлении, перпендикулярном его оси, силу, равную весу диска G = mg. Аналогично уравнению (3.7) будем иметь G = m·g =k·f,(3.8)
Определив из уравнения (3.8) величину kи подставив её в уравнение (3.7), получим  . (3.9)На основании уравнения (3.9) можно заключить, что критическая угловая скорость зависит от ускорения силы тяжести g. В действительности это не так. Дело в том, что пропорционально ускорениюсилы тяжести изменяется fи отношение g/fостается постоянным. Реально при критической скорости вращения прогиб вала не становится бесконечно большим, но может достичь опасной величины. Здесь играет роль неабсолютная упругость материала вала, сопротивление среды и другие причины, приводящие к рассеиванию энергии при изгибе или колебаниях и объединяемых обычно понятием "затухание". Анализ влияния величины начального эксцентриситета е на прогиб при вращении позволяет обнаружить вероятностный или неустойчивый характер явления. Для того чтобы критическое явление имело место, наличие начального эксцентриситета не обязательно. Существенно то, что при критической скорости вращения прогиб неограниченно возрастает. При е = 0, согласно уравнению (3.5), прогибу = 0 при любой скорости вращения. Однако достаточно, чтобы под влиянием случайных причин вал получил весьма малый прогиб, и при w=wk прогиб становится бесконечно большим. В случае вала с одним диском можно обнаружить явление самоцентрирования. Для этого найдем предел, к которому стремится прогиб вала при неограниченном возрастании скорости вращения. Разделив числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (3.5) на w - w2, получим  ,при  ;  и  Физически это означает: вал изгибается таким образом, что центр тяжести приближается к оси вращения. При этом радиус вращения центра тяжести r = е + у, а с ним и центробежная сила, возбуждающая колебания вала, значительно уменьшается. Полного самоцентрирования (т.е. равенства у = -е) практически достичь невозможно, так как нельзя достичь бесконечной скорости вращения. Определение критической частоты вращения вала с помощью энергетического метода Рэлея. В большинстве случаев валы имеют переменный по длине диаметр и нагружены дисками. Для определения первой критической частоты вращения такого вала можно пользоваться методом Рэлея. Частоту собственных колебаний по энергетическому методу находят из условий равенства потенциальной и кинетической энергии ротора за период колебания. В любой момент времени колеблющаяся балка обладает как кинетической, так и потенциальной энергией; при этом в процессе колебания происходит непрерывное превращение одного вида энергии в другой. Кинетическая энергия представляет собой энергию движения имеющихся на балке масс. Потенциальная энергия связана с изгибом балки и обусловлена силами упругости, стремящимися вернуть её в положение равновесия. Если потери при колебаниях отсутствуют, то согласно принципу сохранения энергии, полная энергия остается постоянной T + V = const, (3.10)
Вполне удовлетворительный по точности результат получается, если за кривую прогиба вала принять его упругую линию, обусловленную действием статической нагрузки. Пусть сила тяжести дисков составляет G1, G2, G3; прогибы под дисками Y1, Y2, Y3. Потенциальная энергия деформации вала, накапливаемая за время максимального отклонения его от положения равновесия:  (3.11)Расстояние центров тяжести дисков от положения равновесия в любой момент во времени колебания равны: y1 = sin wt; y2=sin wt; у3=sin wt,
Когда диски проходят через положение равновесия, скорости их достигают наибольшего значения:    Кинетическая энергия ротора в этот момент максимальна, а потенциальная энергия равна нулю:  (3.12)где m, m1 , m2, m3 - массы вала и его частей. Формулы (3.11) и (3.12) определяют максимальные (за время колебания) значения потенциальной и кинетической энергии. Приравнивая их друг к другу, определяем круговую частоту колебаний, т.е. критическую угловую скорость:  (3.13)а критическая частота вращения:  (3.14)Если балка нагружена непрерывно распределенной нагрузкой на единицу длины q - q(x), уравнение (3.13) имеет вид  , (3.15)где у = у(х) - уравнение упругой линии балки. Если одновременно действуют сосредоточенные и распределенные нагрузки, уравнение Рэлея имеет вид:  . (3.16)Графоаналитический способ определения первой критической скорости вала переменного сечения Валы ряда машин, на пример, турбокомпрессоров, имеют переменное сечение и снабжены большим числом дисков. В этом случае аналитические методы определения критических скоростей вращения мало пригодны ввиду громоздкости и трудоемкости. Более удобен графоаналитический способ, состоящий в применении формулы (3.13) энергетического метода, причем прогибы у определяются графически. Распределенная масса вала разбивается на участки; масса каждого участка заменяется равновеликой сосредоточенной массой. Задача сводится к определению прогибов вала, нагруженного собственным весом и весами дисков. Пример расчета приведем для случая подобного данной лабораторной установке. Для упрощения расчета считаем вал невесомым. Вал вычерчивается в определенном масштабе, причем размеры удобнее указывать в сантиметрах, как это принято при прочностных расчетах. Масштабом условимся называть коэффициент, умножив на который длину отрезка чертежа, получим истинную величину (длину, силу, момент и т.д.). После определения веса участков вала необходимо построить эпюру изгибающихся моментов, что можно выполнить различными способами аналитически или графически. Проведя горизонтальную ось вала и вертикальные линии действия имеющихся сил, аналитически определяем реакцию опоры А из уравнения моментов всех сил относительно точки В (правая опора):  (3.17) Рисунок 5 - Пример расчета графоаналитическим методом Затем, начиная от произвольной точки O1,строим многоугольник сил, откладывая последовательно A, Gв направлении их действий, выбрав предварительно масштаб сил тQ. Многоугольник замыкается реакцией опоры В. От точки O1влево проводим горизонтальную линию и откладываем на ней выбранное непосредственно в сантиметрах чертежа полюсное расстояние G. О1 = h1. Полюс О1 соединяем прямыми линиями с концами всех сил на многоугольнике. Соответствующее построение выполнено на рисунке 5 в правом верхнем углу. Построив многоугольник сил, приступаем к построению эпюры моментов. Из точки А на оси вала проводим прямую параллельную лучу О; А на многоугольнике до пересечения с линией действия силы G. Из точки пересечения проводим линию1 параллельную лучу OG. Конец последнего отрезка должен совпадать со вторым концом вала (с точкой В); возможные несовпадения обусловлены графическим ошибками. Масштаб полученной эпюры моментов:  (3.18)Далее площадь эпюры моментов принимаем за новую «фиктивную» нагрузку и строим эпюру изгибающих моментов от этой нагрузки, которая является одновременно эпюрой прогибов вала. Построение может быть произведено тем же способом, что и эпюра изгибающихся моментов от массы вала. Распределенная фиктивная нагрузка заменяется рядом сосредоточенных фиктивных сил. каждая из которых равна произведению площади соответствующего участка эпюры моментов на коэффициент фиктивных сил, равный  (3.19)Деление эпюры на участки может быть произвольным: фиктивные силы Должны быть приложены в центрах тяжести участков. Для каждого участка необходимо найти координату центра тяжести и величину его площади. В рассматриваемом примере эпюра моментов разделена на 2 участка, площади которых F, и F2 измеряются по чертежу. Соответственно величины фиктивных сил: P1=F1x mF; P2=F2x mF. Определив фиктивные силы и фиктивную реакцию опоры А, равную  Строим многоугольник фиктивных сил. Для этого предварительно выбираем произвольный масштаб фиктивных сил mFи полюсное расстояние h2. Построение многоугольника и эпюры фиктивных моментов совершено аналогично соответствующим построениям для действительных сил, выполненным ранее. Эпюра фиктивных моментов представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых, проведенных между линиями действия сил Pjи Pj+1, параллельно лучу, соединяющему полюс О2с точкой j на многоугольнике, представляющей собой конец силы Pjи начало силыPj+1. Эта эпюра является одновременно приближенной эпюрой прогибов (упругой линией) в масштабе  Для определения wнеобходимо определить по эпюре прогиб у в месте приложения силы Gдля подстановки в формулу (3.13):  ,где  - длина отрезка измерения по чертежу.  Критическая частота вращения  Побочные факторы, влияющие на критическую скорость Кроме основных факторов (массы, размера и прочего), определяющих критическую скорость вала, существует ряд побочных факторов, влияние которых обычно невелико, но все же иногда должно учитываться, хотя бы качественно. Это влияние от постоянно продольной осевой силы Rи крутящего момента Мкпередаваемого валом. Пусть wкр - критическая скорость вала, вычисленная без учета действия Rи Мк; Wкp- скорость, вычисленная с учетом Rи Мк. Тогда 
Если сила Rрастягивающая, коэффициент с, в формуле меняет знак на плюс. Условием применения формулы является то, чтобы Rбыло невелико по сравнению с Эйлеровой критической силой:  и Мкневелико по сравнению с критическим крутящим моментом:  ,при которых линейная скорость вала теряет свою устойчивость. 3.2 ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Схема установки представлена на рисунке 6. Установка состоит из горизонтального вала, на котором закреплен стальной диск 2. Вал при помощи жесткой муфты 4 соединен с валом электродвигателя переменного тока 5, при помощи которого он и приводится во вращение. Вал установлен в одном длинном подшипнике 6 (2 подшипника) и одном коротком 7. Правый конец вала закреплен с помощью разрезной втулки в подвижной опоре 8. Подвижную опору с помощью винта 9 можно перемещать вдоль оси вала, вызывая растяжение вала, на котором насажан диск. На винте, создающем растягивающие усилия, закреплен тензометрический датчик 10, который соединен с тензометрическим мостом. Изменение частоты вращения вала установки производится лабораторным автотранспортом 11, включенным в цепь обмотки электродвигателя. Замер прогиба вала при достижении критической скорости производится шкалой 12. Вся установка ограждена колпаком из органического стекла. Замер частоты вращения производить тахометром 13. 3.3 МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Ознакомиться с принципом работы установки. Установить указатель трансформатора на ограничитель 50 В. Проверить отсутствие усилий на валу по тензостанции. Включить установку в сеть. Повернуть ручку трансформатора до отметки 70  90 В для того, чтобы добиться начального вращения вала. При достижении критической скорости вращения необходимо зафиксировать частоту вращения и перевести ручку трансформатора на 2 3 деления (20/30 вольт) вперед или назад.Вывести ручку трансформатора на ограничитель 50. При исследовании влияния осевых усилий на критическую частоту вращения вала: а) создать осевое усилие поворотом гайки по часовой стрелке, одновременно фиксируя создаваемое усилие на тензостанции в пределах расчетного, но не более 500 кг; б) выполнить последовательно пункты «4, 5, 6». Отключить установку от сети. Привести в порядок рабочее место и сдать установку преподавателю.  1 – вал; 2 – диск; 3 – шайба; 4 – муфта; 5 – электродвигатель; 6 – длинный подшипник; 7 – короткий подшипник; 8 – подвижная опора; 9 – винт; 10 - тензометрический датчик; 11 – автотранспортом; 12 – шкала для измерения прогиба вала; 13 - тахометр Рисунок 6 - Принципиальная схема установки 3.4 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА 3.4.1 Расчет осевого усилия на валу Пусть начальным показанием прибора ИД-70 будет число 12464, в повторное показание (при нагружении) число 12478. Число 12464 - условный ноль. Тогда абсолютное значение относительно деформации будет  Для вычисления осевого усилия воспользуемся законом Гука:  ,тогда  ,
3.4.2 Экспериментальное определение критического числа оборотов вала В момент достижения вращающимся валом критической скорости с помощью электронного тахометра замеряется число оборотов вала. Эксперимент повторяется несколько раз. Результаты заносятся в таблицу. Сравниваются с теоретически подсчитанным значением пкри вычисляется ошибка:  , ,где а - число опытов. Точно так же проводятся экспериментальное определение критического числа оборотов при растягивающей нагрузке на валу. На основании полученных результатов составляется таблица испытаний
После окончания экспериментов, данные наблюдений показать преподавателю. По окончанию проведения опытов установку выключить. По выполненной работе составляется отчет, содержащий: 1) номер и наименование работы; 2) краткое описание работы; 3) схему установки; 4) расчет теоретического значения критического числа оборотов вала и таблицу испытаний; 5) выводы. Студент должен уметь объяснить полученные результаты. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
