УМП к лабораторным и СРО КИР. Учебнометодическое пособие по выполнению лабораторных работ и самостоятельной работе обучающихся Стерлитамак 2018

• Название: Учебнометодическое пособие по выполнению лабораторных работ и самостоятельной работе обучающихся Стерлитамак 2018
• Дата: 23.01.2023
• Размер: 2.62 Mb.
• Имя файла: УМП к лабораторным и СРО КИР.doc
• Тип: Учебно-методическое пособие; #899880
• страница: 4 из 6

Лабораторная работа № 4

Определение критических скоростей вращения вала с несколькими дисками
ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. 
   Используя приближенные методы Дункерлея и Рэлея, рассчитать первое критическое число оборотов консольного вала с 2-мя и 3-мя дисками.
   
2. 
   Экспериментально определить первое критическое число оборотов вала с 2-мя и 3-мя дисками и сравнить экспериментальные и расчетные значения.
   
3. 
   Проследить при помощи стробоскопа момент перехода вала через критическое число оборотов.
   

4.1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Вращающиеся валы машин, когда частота вращения их достигает опреде­ленной величины, становятся неустойчивыми, теряют свою прямолинейную форму, давая значительные прогибы. При дальнейшем повышении частоты вращения описанное явление прекращается, но возобновляется, когда частота вращения достигает некоторого нового значения. Частоты вращений, при кото­рых возникают эти явления, называются критическими частотами.

Рассмотрим вал с двумя дисками (рисунок 7). Пусть m₁ и m₂- массы дис­ков, e₁и e₂ - эксцентриситеты их масс, у₁и у₂ - упругие прогибы при угловой скорости w_pa6.

На вал действуют центробежные силы:
(4.1)
(4.2)

Используя коэффициенты влияния, прогибы у₁и у₂можно выразить как




Рисунок 7 - Расчетная схема вала
Обозначая


и группируя подобные члены, получим систему из двух линейных неоднород­ных уравнений с двумя неизвестными:

(4.3)
Значения неизвестных могут быть даны выражениями, в которых знаме­нателем является определитель однородной системы, а числителем - тот же оп­ределитель, в котором коэффициенты при искомом неизвестном заменены сво­бодными членами:

(4.4)
(4.5)
Запишем для сравнения уравнение частот для вала с двумя нагрузками:

Нетрудно видеть, что знаменателем значений у₁и у₂является уравнение частот для вала с двумя нагрузками, в котором вместо частоты свободных ко­лебаний вала wстоит w_paб будет равно одной из свободных частот колебаний вала w₁ или w₂, знаменатель обратится в нуль, и мы будем иметь у_} = у₂= , т.е. при скорости w_paб = w₁) или w₂прогибы вала будут стремиться к бесконечности, вал будет неустойчив.

Очевидно, приведенное выше рассуждение имеет вполне общий характер, и аналогичные результаты были бы получены и для валов с тремя, четырьмя и т.д. дисками.

Следует отметить вероятностный характер явления, так как для того, что­бы оно имело место, наличие начального эксцентриситета вовсе не обязатель­но. Представим себе принципиально возможный случай е₁ = е₂ = 0. Тогда y₁ =y₂=0. Однако достаточно, чтобы под влиянием случайных причин вал по­лучил сколь угодно малый прогиб, и уравнения (4.4) и (4.5) вступали в силу.

Таким образом, критическая частота вала, нагруженного массами, сосре­доточенными в точках, лежащих на оси вала, есть частота вращения, равная любой круговой частоте его собственных колебаний. Следовательно, задача определения критической частоты вала сводится к определению частоты его свободных колебаний.

Валы, вращающиеся со скоростью ниже первой критической, называются жесткими.

Если скорость вала превышает первую критическую, вал называется гиб­ким.

Как было отмечено выше, определение критической скорости валов, на­груженных сосредоточенными массами, приводит к решению уравнения час­тот, содержащего в любой части определитель, порядок которого выше числа степеней свободы системы. Если последнее невелико (не более 4-5), раскрытие определителя больших трудностей не представляет. Если же число нагрузок превышает 4-5, задача раскрытия определителя весьма осложняется.

В связи с этим на практике для определения критической скорости вра­щения валов часто используются приближенные методы расчета.

Рассмотрим два из этих методов; метод наложения и энергетический ме­тод Рэлея.

4.1.1 Метод наложения (метод Дункерлея)

Этот метод дает возможность определить наименьшее возможное значе­ние основной частоты. Формула Дункерлея может быть представлена в сле­дующем виде:

(4.6)

где w1

-

критическая угловая скорость ротора при наличии только одного диска.

В случае действия распределенной по какому-либо закону непрерывной нагрузки q(x) формула Дункерлея имеет вид
(4.7)

где axx

-

прогиб в точке x под действием единичной силы, приложенной в той же точке.

Интегрирование распространяется на весь интервал, на котором распре­делена нагрузка, и если таких интервалов несколько, то на все интервалы.

В общем случае действие сосредоточенных и распределенных масс будет
(4.8)
4.1.2 Энергетический метод Рэлея

Сущность этого метода сводится к определению частоты колебаний из равенства максимальных значений потенциальной и кинетической энергии сис­темы при заранее заданной форме упругой кривой основного вида колебаний.



Рисунок 8 - Схема колеблющейся балки
Применим к колеблющейся системе принцип сохранения энергии, пред­полагая колебания без потерь;

T + V = const(4.9)

где V	-	потенциальная энергия колеблющейся системы;
Т	-	кинетическая энергия колеблющейся системы.

Если y₁, у₂ ...у_i- прогибы балки в точках приложения нагрузок в момент t(рисунок 8), то ее потенциальная энергия будет:
(4.10)
а кинетическая

(4.11)
Рассмотрим случай колебания с наименьшей частотой, когда все массы одновременно достигают максимального удаления от положения покоя и еди­новременно через него проходят, накопляя в этих двух положениях максимум кинетической или потенциальной энергии. При прохождении через положение равновесия, которому соответствует недеформированное состояние вала, по­тенциальная энергия равна нулю. Так как в этом положении скорость макси­мальна, кинетическая энергия достигает значения Т_тах:
Т_тах + 0 = const(4.12)
Обратное происходит при максимальном удалении всех масс от состоя­ния покоя (линия ABC). В этот момент массы прекращают свое движение, что­бы начать обратное колебание. Скорость, а вместе с ней Т, равны нулю, а по­тенциальная энергия достигает значения V_max:
V_max+0=const=T_max (4.13)
Так как грузы совершают гармоническое колебание, то


,
Откуда







и окончательно

(4.14)
Очевидно, что , представляющие амплитуды колебания точек приложе­ния грузов, являются прогибами динамическими. Рэлей предложил заменить статическими прогибами балки, т.е. принять
(4.15)

где fi

-

статический прогиб вала под грузом Giпри нагружении ее всеми нагрузками.

Если одновременно действуют сосредоточенные и распределенные на­грузки, уравнение Рэлея примет вид
(4.16)
где у = у(х) - уравнение упругой линии балки.
Нужно иметь в виду, что в этом случае под f_iи у = у(х) следует понимать прогибы при одновременном действии всех сосредоточенных и распределен­ных нагрузок.

Отметим, что собственную массу вала можно учесть, не только рассмат­ривая ее как равномерно распределенную нагрузку, но и распределяя эту массу между сосредоточенными нагрузками, используя следующее правило: чтобы учесть влияние массы вала на частоту 3 (критическую скорость) вала, доста­точно к сосредоточенным, расположенным на валу, добавить 2/3 веса вала, рас­пределив этот вес пропорционально сосредоточенным нагрузкам, т.е. к нагруз­ке G_iдобавляется G_i .
(4.17)

где q	-	масса единицы длины вала;
l	-	длина вала.

Частота, получаемая по методу Рэлея, всегда выше действительной. Это объясняется тем, что, вводя в расчет вместо динамических прогибов статиче­ские, мы накладываем известные ограничения (связи) на форму упругой линии, что известно, приводит к увеличению частоты. Действительная частота лежит между частотой, определенной по формуле Дункерлея, и частотой, найденной по методу Рэлея:


4.2 ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Схема установки представлена на рисунке 9. Установка состоит из верти­кального вала 1, на котором с помощью разрезанных конических втулок 2 и за­тяжных гаек 3 закреплены стальные диски 4.

Вал при помощи жесткой муфты 6 соединен с валом вариатора 7, с по­мощью которого производится изменение чисел оборотов вала установки.

1 - верти­кальный вал; 2 - конические втулки; 3 - за­тяжные гайки; 4 - стальные диски; 5 – электродвигатель; 6 - муфта; 7 - вал вариатора; 8 – подшипники; 9 – измерительная шкала; 10 - ог­раждение; 11 – микровыключатель; 12 - упорные ручки; 13 - накидные крючки; 14 – смотровое окно

Рисунок 9 - Принципиальная схема установки
Вариатор муфтой соединен с электродвигателем 5. Замер частоты вращения ва­ла производится стробоскопическим тахометром.

Консольная часть вала установки вращается в подшипниках 8 и имеет ог­раждение 10, выполненное из стальной сетки. Ограждение состоит из двух по­луцилиндрических секторов, соединенных между собой шарнирно. Закрытие ограждения осуществляется двумя накидными крючками 13, которые для прочности соединения прижимаются упорными ручками 12. Для предотвра­щения пуска установки при открытом ограждении служит микровыключатель 11, соединенный непосредственно с пусковой кнопкой электродвигателя.

Для наблюдения за валом в момент перехода его через критическое число оборотов при помощи стробоскопа в ограждении сделано окно 14.

На пульте управления имеются кнопки «ПУСК», «СТОП», которыми осуществляется пуск и остановка электродвигателя.

Число оборотов плавно увеличивается перемещением ручки вариатора.

Максимальное отклонение от вертикали консольного конца вала изме­ряется по шкале 9 в момент перехода через критическое число оборотов.
4.3 МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. 
   Ознакомиться с инструкциями по проведению работы и получить у пре­подавателя конкретные указания по количеству дисков и расстоянию между ними.
   
2. 
   Расчетным путем по методам Дункерлея и Рэлея определить первую кри­тическую скорость вала для заданного расположения дисков.
   
3. 
   Установить диски на валу по заданной схеме.
   
4. 
   Включить электродвигатель и постепенно увеличивать скорость враще­ния. В момент перехода через резонанс с помощью строботахометра замерить число оборотов вала. Эксперимент повторить несколько раз.
   
5. 
   Результаты занести в таблицу и сравнить с теоретически подсчитанным значением.
   

Вычислить ошибки по формуле


где

а - число экспериментов.

6. 
   По окончании проведения опытов установку отключить, данные наблю­дения предъявить преподавателю.
   
7. 
   Отчет должен содержать номер и наименование работы, краткое описа­ние работы, схему установки, таблицу испытаний, выводы.
   

Студент должен уметь объяснить полученные результаты и знать тео­ретические предпосылки определения критического числа оборотов различными методами.
4.4 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ

4.4.1 Определение первой критической скорости по методу наложения (методу Дункерлея).

4.4.1.1 Вал с двумя дисками

Расчетная схема для данного вида нагружения вала приведена на рисунке 10. Для определения первой критической скорости вала с двумя дисками по ме­тоду Дункерлея, учитывая и собственный, вес вала, используем формулу
(4.18)

В нашем случае:





Модуль упругости вала E= 2·10⁵ МПа.


Рисунок 10 - Расчетная схема вала с двумя дисками
Момент инерции поперечного сечения


Вес единицы длины консольной части вала
(4.19)
где - плотность материала вала и дисков.

Определив все необходимые величины, находим первую критическую скорость w_кр и затем первое критическое число оборотов:
(4.20)
4.4.1.2 Вал стремя дисками

Расчетная схема для данного вида нагружения вала приведена на рисунке 11.

Для вала с 3-мя дисками с учетом собственного веса вала формулу Дункерлея можно записать в виде
(4.21)

Массы дисков


Значения Е, J, р, а_ххи qбудут такими же, как и для вала с двумя дисками. Определив w_кp, находим п_кр.


Рисунок 11 - Расчетная схема вала с тремя дисками
4.4.2 Определение первой критической скорости вала по энергетическому методу Рэлея

4.4.2.1 Вал с двумя дисками
(4.22)
Здесь





где q - вес единицы длина консольной части вала.
Статические прогибы вала

, .
Значения J, а₁₁, а₁₂, a₂₂, q, E, определялись ранее.
4.4.2.2 Вал с тремя дисками
(4.23)





где q - вес единицы длины консольной части вала.
Статические прогибы:






В данном случае:







Остальные значения а₁₁, а₁₂, a₁₃, q, E, Jдля рассматриваемого вала оп­ределялись ранее. После нахождения w_кррассчитываем п_кр.

Результаты замеров занести в таблицу

Испытания вала с двумя сосредоточенными массами	ΔP%			Испытания вала с тремя сосредоточенными массами	ΔP%
	ΔD%				ΔD%
	Энергетический метод Рейлея				Энергетический метод Рейлея
		f2				f3
		f1				f2
						f1
	Метод наложения
		axx
		a22			Метод наложения
		a11				axx
	J,м4					a33
	q,Н/м					a22
						a11
	m2, кг				J,м4
	m1, кг				q,Н/м
					m3, кг
	l2,м				m2, кг
					m1, кг
	l1,м				l3,м
					l2,м
	l,м				l1,м
					l,м