Учебнометодическое пособие Рекомендовано методической комиссией радиофизического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлениям подготовки
 Скачать 212 Kb.
|
|
41. Последовательность { } n a задана рекуррентным соотношением: 1 1 2 3 − + − = n n n a a a , 0 1 = a , 1 2 = a . Доказать, что 1 2 1 − = − n n a 42. Пусть первый член арифметической прогрессии равен 1 a , рекуррентная формула для арифметической прогрессии имеет вид: d a a n n + = + 1 ( d – разность прогрессии). Доказать аналитическую формулу для арифметической прогрессии ( ) 1 1 − + = n d a a n 43. Пусть первый член геометрической прогрессии равен 1 b ( 0 1 ≠ b ), рекуррентная формула для геометрической прогрессии имеет вид : q b b n n ⋅ = + 1 ( q – знаменатель прогрессии , 0 ≠ q ). Доказать аналитическую формулу для геометрической прогрессии 1 1 − ⋅ = n n q b b 44. Для рекуррентно заданной последовательности 2 1 = a , ( ) ( ) n n n n a a 2 1 2 2 1 ⋅ + + = + , доказать, что ее общий член может быть задан формулой n n n a 2 2 ⋅ = 45. Для рекуррентно заданной последовательности 1 1 = b , ⋅ + = + n n n b b 3 1 2 3 1 1 , доказать, что ее общий член может быть задан формулой n n n b 3 1 2 + = 46. Последовательность { } n a задана рекуррентно: b a b a a − − = 2 2 1 , b a b a a − − = 3 3 2 , ( ) n n n a ab a b a a ⋅ − ⋅ + = + + 1 2 ( b a ≠ ). Задать последовательность аналитически, т.е. получить формулу n -го члена этой последовательности. Доказать полученную формулу. 47. Для последовательности { } n a , заданной рекуррентно 2 1 = a , 3 2 = a , n n n a a a 1 2 + + = , найти 2010 a 48. Последовательность { } n a задана рекуррентным соотношением: 2 1 = a , 3 2 = a , 1 1 2 3 − + − = n n n a a a ( 2 ≥ n ). Доказать, что 1 2 1 + = − n n a 49. Доказать формулы для суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий. 50. Доказать тождество для всех N ∈ n α α = α ⋅ ⋅ α ⋅ α ⋅ α + + sin 2 2 sin 2 cos 4 cos 2 cos cos 1 1 n n n 51. Доказать, что квадрат суммы n чисел равен сумме квадратов этих чисел, сложенной со всевозможными их удвоенными попарными произведениями, т.е. доказать формулу ( ) n n n n a a a a a a a a a a a a 1 3 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 − + + + + + + + = + + + 52. Доказать тождество ( ) n n a a a a a a lg lg lg lg 2 1 2 1 + + + = ( ) 0 ,..., 0 , 0 2 1 > > > n a a a 53. Доказать, что при каждом натуральном n справедлива формула ( ) ( ) 1 2 2 1 − − − − + + + + − = − n n n n n n a ba a b b a b a b K 54. Доказать формулу бинома Ньютона ( N ∈ n ) ( ) n n n n n n n n n n b b a C b a C b a C a b a + + + + + = + − − − − 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ( R ∈ a , R ∈ b ). 55. Доказать тождество 1 2 cos 2 2 2 2 2 2 + π = + + + + + n радикалов n 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 56. Доказать , что при любом натуральном n ) ( ) ( ] ) ( [ 1 x f x nf x f n n ′ ⋅ = ′ − 57. Доказать, что производная суммы любого фиксированного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций. 58. Доказать, что при любом натуральном n верно неравенство n n x x x x x x + + + ≤ + + + 2 1 2 1 59. Доказать , что при любом натуральном n верно неравенство n n n n b a b a ) ( ) ( 2 1 + ≥ + − ( 0 > a , 0 > b ). 60. Доказать , что при любом натуральном n x n nx sin sin ≤ 61. Проверить справедливость неравенства 1 cos sin 2 2 ≤ α + α n n ( n – натуральное число). 62. Доказать, что n различных прямых, которые лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке, делят плоскость на n 2 частей. 63. В плоскости проведено n различных прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Доказать, что эти прямые разбивают плоскость на ( ) 1 2 1 + + n n частей. 64. В плоскости проведено n различных окружностей так, что каждые две из них пересекаются в двух точках и никакие три из них не имеют общей точки. Доказать, что окружности разбивают плоскость на 2 2 + − n n частей. 65. Доказать, что n плоскостей, проходящих через одну точку так, что никакие три из них не проходят через одну прямую, делят пространство на ( ) 2 1 + − n n частей. 66. Доказать, что число диагоналей выпуклого n -угольника равно ( ) 2 3 − = n n D n , где 3 ≥ n Доказать, что при любом N ∈ n выполняется равенство ( 67–85 ): 67. ( )( ) ( ) 30 1 3 3 1 2 1 3 2 1 2 4 4 4 4 − + + + = + + + + n n n n n n 68. ( ) ( ) 2 1 1 3 10 3 7 2 4 1 + = + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ n n n n 69. ( ) ( )( ) 3 2 1 1 4 3 3 2 2 1 + + = + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ n n n n n 70. ( )( ) ( )( )( ) 4 3 2 1 2 1 4 3 2 3 2 1 + + + = + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ n n n n n n n 71. ( )( ) 1 4 1 4 3 4 1 9 5 1 5 1 1 + = + − + + ⋅ + ⋅ n n n n 72. ( ) ( ) ( ) 12 2 3 1 1 3 2 2 1 2 2 2 2 + − = ⋅ − + + ⋅ + ⋅ n n n n n ( 1 > n ) 73. ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 7 5 3 5 3 2 3 1 1 2 2 2 2 + + = + − + + ⋅ + ⋅ + ⋅ n n n n n n 74. ( ) ( ) 6 1 9 2 1 2 14 7 2 2 2 + + = − + + + + + n n n n n 75. ( )( ) ( ) 4 4 4 3 1 7 6 1 6 5 1 5 4 1 + = + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ n n n n 76. ( ) ( ) 3 1 4 1 2 3 1 2 2 2 2 − = − + + + n n n 77. ( )( ) ( )( ) 2 1 2 5 2 4 5 2 1 3 5 4 3 6 4 3 2 5 3 2 1 4 + + + − = + + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ n n n n n n n 78. ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 4 3 2 1 1 2 1 2 2 2 + − = − + + − + − − − n n n n n 79. ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 1 sin 2 sin sin sin sin α α + α + = α + + + α + + n n x n x x x 80. ( ) 2 sin 2 1 sin 2 sin sin 2 sin sin x x n nx nx x x + ⋅ = + + + 81. ( ) 2 sin 2 2 1 2 sin cos 2 cos cos 2 1 x x n nx x x + = + + + + 82. ( ) ( ) [ ] 2 sin 4 1 sin sin 1 sin 3 sin 3 2 sin 2 sin 2 x x n n nx n nx n x x x + − + = + + + + 83. ( ) ( ) [ ] 2 sin 4 1 1 cos cos 1 cos 2 cos 2 cos 2 x x n n nx n nx n x x − + − + = + + + 84. x x x x x n n n n ctg 2 ctg 2 1 2 tg 2 1 2 tg 2 1 2 tg 2 1 2 2 − = + + + ( k x π ≠ , Z ∈ k ) 85. ( ) 1 arctg 1 arctg 2 3 arctg 2 arctg 1 2 arcctg 5 arcctg 3 arcctg n n n n − + + + + = = + + + + Доказать справедливость неравенства при любом N ∈ n ( 86–97 ): 86. n n n 2 2 5 ! 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 − < + + + + 87. n n 1 10 17 1 3 1 2 1 1 2 2 2 − < + + + + ( 2 > n ) 88. 1 3 1 2 1 2 6 5 4 3 2 1 + ≤ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n n n 89. ( ) ( ) [ ] n n n ! 1 ! 2 ! 4 ! 2 + > ⋅ ⋅ ⋅ ( 2 ≥ n ) 90. 24 13 2 1 2 1 1 1 > + + + + + n n n ( 1 > n ) 91. n n > + + + + 1 3 1 2 1 1 1 ( 1 > n ) 92. n n 2 1 3 1 2 1 1 1 < + + + + 93. 2 1 2 1 3 1 2 1 1 n n > − + + + + 94. n n ≤ − + + + + 1 2 1 3 1 2 1 1 95. 3 2 n n > ( 10 ≥ n ) 96. 1 2 2 + > n n ( 3 ≥ n ) 97. ( ) ( ) 2 ! ! 2 1 4 n n n n ≤ + Доказать, что для любого N ∈ n ( 98–109 ): 98. 1 3 3 11 5 + + + n n кратно 17 99. 1 2 2 12 11 + + + n n кратно 133 100. n n 2 2 4 7 − кратно 33 101. n n n 3 3 6 2 2 + + + кратно 11 102. 1 2 2 19 6 + − + n n n кратно 17 103. n n 6 12 5 7 2 ⋅ + ⋅ кратно 19 104. 1 2 1 2 2 3 5 − + + ⋅ + n n n кратно 19 105. 1 2 2 8 5 26 5 + + + ⋅ + n n n кратно 59 106. 28 18 10 − + n n кратно 27 107. ( ) 1 3 2 2 + − n n n делится без остатка на 6 108. 1 1 2 2 3 3 6 − + − + + n n n делится без остатка на 11 109. 14 21 9 2 2 1 2 − + − − n n n делится на 27 110. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9 111. Доказать , что при любом натуральном n число 1 2 3 + n делится на 1 3 + n и не делится на 2 3 + n 112. Доказать, что ( ) π + π = + 4 sin 4 cos 2 1 2 n i n i n n 113. Доказать, что ( ) π − π = − 6 sin 6 cos 2 3 n i n i n n 114. Доказать формулу Муавра для всех N ∈ n ( ) α + α = α + α n i n i n sin cos sin cos 115. Доказать, что ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 5 3 1 2 2 1 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅ + n n n n n n 116. Доказать , что при натуральном 1 > n и 1 < x справедливо неравенство ( ) ( ) n n n x x 2 1 1 < + + − 7. Список литературы 1. Галицкий М Л ., Гольдман А М ., Звавич Л И Сборник задач по алгебре : Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики – 7- е изд . – М .: Просвещение , 2001. – 269 с 2. Задачи по математике Алгебра Справочное пособие . / Вавилов В В ., Мельников И И ., Олехник С Н ., Пасиченко П И . – М .: Наука Гл ред физ .- мат лит ., 1987. – 432 с 3. Соминский И С Метод математической индукции . – М .: Наука Гл ред физ .- мат лит ., 1974. – 64 с 4. Супрун В П Математика для старшеклассников : задачи повышенной сложности . – М .: Издательство ЛКИ . – 2008. – 197 с 5. Шахно К У Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности . – 2- е изд ., стереотип . – Минск : Высшая школа , 1965. – 523 с Анна Викторовна Леонтьева СБОРНИК ЗАДАЧ (МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ) Учебно -методическое пособие Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского». 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 |