Учебнометодическое пособие Рекомендовано методической комиссией радиофизического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлениям подготовки
 Скачать 212 Kb.
|
|
N ∈ k ): ( ) kx x k + ≥ + 1 1 , и докажем, что тогда неравенство (6) верно при 1 + = k n : ( ) ( ) x k x k 1 1 1 1 + + ≥ + + Умножим верное, по допущению, неравенство на 0 1 > + x , получим ( ) ( ) ( )( ) x kx x x k + + ≥ + + 1 1 1 1 ( ) { ( ) x k kx x kx x k 1 1 1 1 0 2 1 + + ≥ + + + ≥ + ≥ + При любых k 0 2 ≥ kx , поэтому, отбрасывая в выражении 2 1 kx x kx + + + слагаемое 2 kx , получаем меньшее либо равное выражение. Следовательно, по свойству транзитивности ( ) ( ) x k x k 1 1 1 1 + + ≥ + + Так как выполнены оба условия принципа математической индукции, то неравенство (6) верно для всех натуральных n . Пример 7: Доказать, что при 6 > n справедливо неравенство 1 2 3 + ⋅ > n n n . (7) Доказательство: 1) при 7 = n имеем 8 7 2 7 3 ⋅ > или 1792 2187 > – верно; 2) предположим, что неравенство (7) верно при k n = ( N ∈ k , 7 > k ), т.е. верно неравенство 1 2 3 + ⋅ > k k k , докажем, что тогда верно неравенство при 1 + = k n : ( ) 2 1 2 1 3 + + ⋅ + > k k k Домножим верное , по допущению , неравенство на 3 1 2 3 3 3 + ⋅ ⋅ > ⋅ k k k или 1 1 2 3 3 + + ⋅ > k k k и рассмотрим разность ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 1 1 2 1 > − = + ⋅ − = ⋅ + − ⋅ + + + + k k k k k k k k k , т.к. разность положительная, то уменьшаемое больше вычитаемого, т.е. ( ) 2 1 2 1 2 3 + + ⋅ + > ⋅ k k k k С одной стороны из предположения известно , что верно неравенство 1 1 2 3 3 + + ⋅ > k k k , с другой стороны доказали, что ( ) 2 1 2 1 2 3 + + ⋅ + > ⋅ k k k k , записываем двойное неравенство ( ) 2 1 1 2 1 2 3 3 + + + ⋅ + > ⋅ > k k k k k , из которого по свойству транзитивности получаем, что ( ) 2 1 2 1 3 + + ⋅ + > k k k Оба условия обобщенного принципа математической индукции выполнены, следовательно, неравенство (7) верно для всех натуральных 6 > n Пример 8 : Доказать , что при N ∈ n справедливо неравенство ( ) 1 2 1 2 6 4 2 1 2 5 3 1 + < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n n n . (8) Доказательство : 1) проверим справедливость неравенства при 1 = n : 3 1 2 1 < – верно ; 2) предположим , что неравенство (8) верно при k n = , т е предположим , что верно неравенство ( ) 1 2 1 2 6 4 2 1 2 5 3 1 + < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ k k k , и докажем , что также верно неравенство при 1 + = k n , т е нужно доказать , что верно неравенство ( ) ( ) 3 2 1 2 2 6 4 2 1 2 5 3 1 + < + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ k k k Рассмотрим левую часть последнего неравенства и распишем в числителе и знаменателе дроби k -ые множители ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 4 2 1 2 1 2 5 3 1 2 2 6 4 2 1 2 5 3 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ k k k k k k Умножим левую и правую части верного, по допущению, неравенства на 0 2 2 1 2 > + + k k : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 6 4 2 1 2 1 2 5 3 1 + + = + + + < + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ k k k k k k k k k Теперь рассмотрим разность ( ) ( ) ( ) = + + + − + + = + − + + 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 1 2 k k k k k k k k домножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + + + + + + + − + + = 2 2 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 k k k k k k k k k k k знаменатель дроби больше нуля, поэтому знак дроби определяется знаком числителя, рассмотрим его отдельно, заметим, что в числителе получили разность квадратов ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = + − + + = + + + + + − + + 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 k k k k k k k k k 0 1 4 8 4 3 2 6 4 2 2 < − = − − − + + + = k k k k k Разность двух дробей отрицательная, следовательно, ( ) 3 2 1 2 2 1 2 + < + + k k k С одной стороны из предположения известно , что верно неравенство ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 6 4 2 1 2 1 2 5 3 1 + + < + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ k k k k k k , с другой стороны доказали , что ( ) 3 2 1 2 2 1 2 + < + + k k k , записываем двойное неравенство ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 2 1 2 2 2 2 6 4 2 1 2 1 2 5 3 1 + < + + < + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ k k k k k k k , из которого по свойству транзитивности получаем , что ( ) ( ) 3 2 1 2 2 6 4 2 1 2 5 3 1 + < + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ k k k Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, неравенство (8) верно для всех натуральных n 5. Доказательство формул n-ых членов числовых последовательностей, заданных рекуррентным способом Пример 9: Последовательность { } n a задана рекуррентно: 6 1 = a , 2 3 2 1 + − = + n a a n n Доказать , что 1 3 2 + + = n a n n . (9) Доказательство: 1) проверим справедливость формулы (9) при 1 = n : 6 1 3 2 1 1 = + + = a – верно ; 2) предположим , что формула (9) справедлива при k n = : 1 3 2 + + = k a k k – пусть верно ; и докажем , что формула (9) справедлива при 1 + = k n : ( ) 1 1 3 2 1 1 + + + = + + k a k k Распишем 1 + k a член последовательности по рекуррентной формуле = + − = + 2 3 2 1 k a a k k и подставим вместо k a верное по допущению равенство , затем упростим ( ) 4 3 2 2 3 2 6 2 2 2 3 1 3 2 2 1 + + = + − + + ⋅ = + − + + = + k k k k k k k k Условия принципа математической индукции выполнены , следовательно , формула (9) верна для данной последовательности для всех натуральных n Пример 10: Доказать, что если 3 1 = a , 5 2 = a и для всякого натурального n имеет место соотношение 1 1 2 3 − + − = n n n a a a , то 1 2 + = n n a . (10) Доказательство: 1) проверим справедливость формулы (10) при 1 = n и при 2 = n : 3 1 2 1 1 = + = a – верно , 5 1 2 2 2 = + = a – верно ; 2) предположим , что формула (10) справедлива при k n = и при 1 + = k n : 1 2 + = k k a – пусть верно , 1 2 1 1 + = + + k k a – пусть верно , докажем , что формула (10) справедлива при 2 + = k n : 1 2 2 2 + = + + k k a – доказать Член последовательности 2 + k a распишем по рекуррентной формуле = − = + + k k k a a a 2 3 1 2 и подставим верные , по допущению , выражения вместо k a и 1 + k a ( ) ( ) = + ⋅ − ⋅ = − ⋅ − + ⋅ = + − + = + + 1 2 2 2 6 2 2 2 3 2 3 1 2 2 1 2 3 1 1 k k k k k k 1 2 1 2 4 2 + = + ⋅ = + k k Оба условия принципа математической индукции выполнены , следовательно , формула (10) верна для данной последовательности для всех натуральных n 6. Задачи для самостоятельного решения 1. Доказать, что сумма первых n чисел натурального ряда равна ( ) 2 1 + n n 2. Доказать, что сумма первых n чисел вида 2 3 − = n a n равна ( ) 2 1 3 − n n 3. Доказать , что сумма квадратов n первых натуральных чисел равна ( )( ) 6 1 2 1 + + n n n Доказать , что при любом N ∈ n выполняется равенство ( 4–17): 4. ( ) 2 1 2 5 3 1 n n = − + + + + 5. ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) n a a n n a n a a a a a + = + − + + + + + + + 1 1 2 1 1 1 1 6. ( ) ( )( ) 6 5 4 1 1 2 5 2 3 1 + + = + + + ⋅ + ⋅ n n n n n 7. ( )( ) ( ) 2 1 5 2 1 3 1 5 3 2 2 2 + + = − + + + ⋅ + ⋅ n n n n n 8. ( ) 1 2 1 2 5 3 2 2 1 3 2 10 2 7 2 4 + − ⋅ = ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ n n n n 9. ( ) ( ) 3 2 2 3 2 1 2 20 6 1 1 − ⋅ + = ⋅ − + + + + − n n n n 10. n n n 2 1 1 1 9 1 1 4 1 1 2 + = − − − 11. ( ) n n n 2 1 2 1 1 2 4 1 25 4 1 9 4 1 1 4 1 2 − + = − − − − − 12. ( )( ) ( ) ( )( ) 3 2 1 2 3 5 4 3 2 1 2 1 7 3 1 5 1 1 + + + = + − + + ⋅ + ⋅ n n n n n n 13. ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 3 4 3 5 2 3 2 4 1 + + = + + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ n n n n n n n 14. 1 1 3 2 3 3 2 3 5 6 9 13 3 7 1 − − − − ⋅ = − + + + + n n n n n 15. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 5 3 2 3 1 1 + + = + − + + ⋅ + ⋅ n n n n n n 16. ( ) ( ) ! 2 2 1 ! 2 2 ! 5 2 3 ! 4 2 2 ! 3 2 1 1 3 2 1 + − = + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + n n n n n 17. 1 )! 1 ( 2 ! 2 ) 1 2 ( 168 20 3 1 − + ⋅ = ⋅ ⋅ + + + + + − n n n n n Методом математической индукции доказать, что при N ∈ n ( 18–29 ): 18. 24 26 9 2 3 + + + n n n кратно 6 19. 1 7 2 − n кратно 24 20. 6 15 + n кратно 7 21. 3 9 + n кратно 4 22. 1 3 7 − + n n кратно 9 23. 17 12 7 + + n n кратно 18 24. 5 3 2 5 + ⋅ + n n кратно 8 25. n n n 2 3 5 + − кратно 4 26. 1 3 2 3 3 2 5 − − + ⋅ n n кратно 19 27. 9 18 9 1 − − + n n кратно 18 28. n n 11 3 + делится на 6 29. 2 1 2 2 3 + + + n n делится на 7 Доказать неравенство ( 30–33 ): 30. 1 5 2 + > n n , если N ∈ n , 5 ≥ n 31. n n n − > − 2 1 2 3 , если N ∈ n , 5 ≥ n 32. n n n 3 4 2 + ≥ , если N ∈ n 33. 1 2 + ≥ n n , если N ∈ n Найти все N ∈ n , для которых справедливо неравенство (34–36): 34. 2 2 n n > 35. ( ) 2 1 2 3 + ≥ n n 36. 2 5 5 3 + ≥ n n Доказать формулы общего члена последовательности для любого N ∈ n ( 37–38 ): 37. Последовательность { } n b задана рекуррентно: 4 1 = b , 2 3 1 − = + n n b b Выразить n b через n . 38. Последовательность { } n a задана рекуррентно : 7 1 = a , 27 2 = a n n n a a a 5 6 1 2 − = + + Найти n a . 39. Последовательность { } n a задана рекуррентно : 1 1 = a , 5 4 1 + = − n n a a ( 1 > n ). Доказать , что ( ) 5 4 2 3 1 − ⋅ = n n a 40. Последовательность { } n a задана рекуррентно: 1 1 = a , 3 1 + = + n n a a Доказать, что 2 3 − = n a n |