Раклов В.П. - Картография и ГИС - 2008. Учебное пособие для слушателей образовательной программы профессиональной переподготовки
 Скачать 2.99 Mb.
|
|
ГЛАВА 2. Математическая картография 2.1. Искажения на картах. Искажение длин, площадей и углов. При создании карт эллипсоид вращения должен быть развернут на плоскость. Однако ни эллипсоид вращения ни шар (в некоторых случаях) не могут быть развернуты на плоскости без складок или разрывов, поэтому при создании карт прибегают к помощи картографических проекций, в которых отображение поверхности земли или иного небесного тела происходит по строгим математическим законам. Эти законы выражают функциональную связь координат точек на поверхности эллипсоида вращения и плоскости (карте). В основу такого отображения положена система географических или геодезических координат, координатными линиями которой являются меридианы и параллели. Общее уравнение картографических проекций выглядит так ( ) λ ϕ , 1 f x = ( ) λ ϕ , 2 f y = , где λ ϕ , – широта и долгота некоторой точки на поверхности эллипсоида. y x, – прямоугольные координаты этой же точки в проекции на карте. 2 1 , f f – функции, определяющие свойства проекции. Поскольку таких функций может быть множество, то и картографические проекции могут быть разными по своим свойствам. Растяжение и сжатие отдельных частей изображения картографируемой поверхности в той или иной проекции неизбежно сопровождается искажениями длин, площадей и углов, причем эти искажения зависят от вида функций f . В одних проекциях можно избежать искажения углов, в других – площадей, но длины линий будут искажаться во всех проекциях, за исключением отдельных точек или некоторых линий на карте, о чем мы поговорим несколько позже. Каждая карта имеет главный масштаб, который показывает общую степень уменьшения картографируемой поверхности при ее отображении на плоскости. Этот масштаб подписывается на карте, но сохраняется, как мы уже сказали, только в отдельных точках или на некоторых линиях карты. Главный масштаб обозначается буквой 0 µ и при исследовании проекций принимается равным 1, так как он не влияет на свойства используемой картографической проекции. Поскольку масштаб – величина переменная, в практику вводится понятие частного масштаба длин и площадей в данной точке по данному направлению. 18 Частным масштабом длин µ называют отношение бесконечно малого обрезка ' dS на карте к соответствующему бесконечно малому отрезку dS на поверхности эллипсоида, т.е.: dS dS ' = µ Частный масштаб является функцией географических координат, определяющих положение точки на земной поверхности, и азимута направления, по которому частный масштаб определяется, т.е. ( ) α λ ϕ µ , , 1 F = Для простоты изложения частные масштабы µ называют масштабами вдоль каких-либо направлений, например: для меридиана 0 = α о или o 180 = α m = µ – масштаб по меридианам; для параллели 90 = α о или o 270 = α n = µ – масштаб по параллелям. На картах существуют точки, в которых по одному из направлений масштаб длин имеет максимальное (a) или минимальное (b) значение. Эти направления взаимно перпендикулярны и их называют главными направлениями. Частный масштаб может быть больше главного, например 1,95 , тогда говорят о растяжении изображения, или меньше, например 0,59. Тогда имеет место сжатие изображения. Частный масштаб не может быть отрицательным, в случае 0 = µ – изображение пропадает. Частный масштаб площадей P называют отношение бесконечно малой площади на карте ' dP к соответствующей бесконечно малой площади на поверхности эллипсоида. dP dP P ' = Как правило dP dP ≠ ' . Зависимость 1 ' = = dP dP верно только для тех точек карты, где сохраняется отношение площадей, т.е. искажение площадей отсутствует. Частный масштаб площади зависит только от географических координат изображаемой точки ( ) λ ϕ , 2 F P = Искажением длин µ V называется разность между частным масштабом длин и единицей, выраженная в процентах 24 , 1 = m ( ) % 24 100 1 + = × − = m V m 19 78 , 0 = n ( ) % 22 100 1 − = × − = n V n т.е. положение длин может быть положительным и отрицательным. Искажением площадей p V называется разность между частным масштабом площади и единицей, выраженная в процентах 42 , 2 = p ( ) % 142 100 1 + = × − = p V p Искажением углов n V называется разность между величиной угла в проекции ' U и величиной соответствующего угла на поверхности эллипсоида U U U V u − = ' Величина u V является функцией географических координат и азимута направлений, т.е. ( ) α λ ϕ , , = u V Поскольку величина искажения угла в данной точке зависит от направления сторон угла, то в качестве показателя искажения углов на карте применяют величину наибольшего искажения угла ( ) β α ω − = 2 , где β – изображение азимута α в проекции по указанному направлению. На любой карте имеются точки, угол в которой передаются без искажения. Этот угол между главными направлениями, который всегда равен o 90 . В пределах карты все виды искажений изменяются. В некоторых топографических проекциях имеются точки или линии, в которых искажения невелики, а с удалением от них вначале медленно, а затем быстро возрастают. На карте, как правило, имеется одна- две точки или линии, в которых искажение отдельных или всех видов отсутствует. Эти точки и линии так называемых нулевых искажений. Места на карте с максимальным искажением наиболее удалены от точек или линий нулевых искажений. Чтобы обеспечить возможно меньшую величину искажений проекцию подбирают так, чтобы картографируемую территорию по центру пересекла линия нулевых искажений. Когда таких линий две, их располагают так, чтобы удаления от них к середине и к краям карты были примерно одинаковыми (см. ниже случаи касательного или секущего конуса или цилиндра). Для того, чтобы показать как изменяются искажения при удалении о линий нулевых искажений удобно пользоваться изоколами. Изоколы – это линии, соединяющие точки с одинаковыми величинами того или иного показателя искажений. Изоколы показывают на макетах карт. 20 2.2. Классификация картографических проекций. Проекции классифицируются по следующим основным признакам: по характеру искажений по виду нормальной сетки параллелей и меридианов по ориентировке вспомогательной поверхности. По характеру искажений различают проекции: 1. Равновеликие, в которых на карте отсутствует искажение площадей 1 = = const p 2 2 ; 1 ; 1 ; n m tg m n n m n m p − = = = ⋅ = ω 2. Равноугольные, в которых на карте отсутствует искажения углов, вследствие этого в них не искажаются формы фигур, а масштаб длин в любой точке остается одинаковым по всем направлениям. Основные зависимости: 2 0 ; 0 ; a p b a n m = = = = = = ω µ В этих проекциях карты больших территорий отличаются значительным искажением площадей. 3. Произвольные, в которых искажаются углы, площади и длины линий. Однако среди них особое место занимают проекции равнопромежуточные, в которых масштаб длин по одному из главных направлений сохраняется постоянным, т.е. 1 = а или a p b = = ; 1 или b p = ; b a b a + − = 2 sin ω Если проекции рассчитываются под условием не искажения масштаба по меридианам, то i i n n n m n m p m + − = + − = = = 1 1 2 sin ; 1 ; 1 ω Нормальной сеткой называется сетка меридианов и параллелей, когда полюс используемой сетки координат совпадает с географическим полюсом. По виду нормальной сетки проекции подразделяются на: конические, когда поверхность эллипсоида переносится на боковую поверхность касательного к нему (рис.2.1,а) или секущего его конуса (рис.2.1,б), а затем последний разрезается по образующей его линии и развертывается в плоскость. 21 В конических проекциях параллели - это дуги одноцентренных окружностей, а меридианы – прямые линии, сходящиеся в одной точке (полюсе) под углами, пропорциональными разности долгот(рис.2.2.1, в ). Рис.2.2.1 Частные масштабы и искажения зависят только от широты, поэтому изоколы имеют вид дуг концентрических окружностей и совпадает с параллелями. цилиндрические, в которых поверхность эллипсоида переносится на боковую поверхность касательного (рис.2.2.2,а) или секущего (рис.22..2,б)цилиндра, после чего последний разрезается по образующей и развертывается в плоскость. В этих проекциях меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели также прямыми, перпендикулярными к меридианам . Рис.2.2.2 Частные масштабы зависят только от широты, поэтому изоколы совпадают с параллелями и имеют вид прямых. азимутальные, когда проектирование эллипсоида осуществляется на касательную или секущую его плоскость. В этих проекциях меридианы нормальной сетки изображаются прямыми, исходящими из одной точки под углами, пропорциональными разности долгот, а параллели – концентрическими окружностями с центром в точке пересечения меридианов (рис.2.2.3.). 22 Частные масштабы и искажения в азимутальных проекциях являются функциями широты, поэтому изоколы совпадают с параллелями. Общий вид азимутальной проекции приведен на рис.2.2.4. Рис.2.2.4. псевдоцилиндрические (рис.2.2.5,а), в которых параллели прямые линии, перпендикулярные к прямолинейному осевому меридиану, остальные меридианы – кривые (синусоиды, эллипсы), симметричные относительно осевого. псевдоконические (рис.2.2.5,б),когда нормальная сетка имеет низ: параллели – дуги концентрических окружностей, меридианы – кривые, симметричные относительно осевого прямолинейного. поликонические (рис.2.2.5,в), в которых параллели изображаются дугами эксцентрических окружностей, с радиусом тем большим, чем меньше широта, средний меридиан – прямая линия, на которой расположены центры всех параллелей. Остальные меридианы – кривые линии. псевдоазимутальные (рис.2.2.5,г), когда параллели – концентрические окружности, а меридианы – кривые, за исключением двух взаимно- перпендикулярных. а) б) в) г) Рис.2.2.5. Наиболее полно виды искажений можно представить с помощью эллипса искажений. В теории картографических проекций доказывается, что бесконечно малая Рис.2.2.3 23 окружность на поверхности эллипсоида в общем случае изобразится на плоскости эллипсом, называемым эллипсом искажения. а) б) в) Рис.2.2.6 В равноугольных проекциях окружность, взятая на поверхности эллипсоида, будет изображаться окружностью, но со значительным искажением площади (рис.2.2.6,а). В равновеликих, при сохранении площадей искажаются углы и длины линий (рис.2.2.6,б). В равнопромежуточных при 1 = m – сохраняются промежутки по меридиану (малая ось эллипса), а масштаб по параллелям увеличивается со значением широты (для 1 = n – наоборот)(рис.2.2.6,в). по ориентировке вспомогательной поверхности проекции могут быть нормальными, косыми и поперечными. У нормальных проекций ось вспомогательной поверхности совпадает с осью земного эллипсоида; у поперечных – ей перпендикулярна (рис.2.2.7,а); у косых азимут направления оси от o 0 до o 90 (рис.2.2.7 ,б). а) б) Рис.2.2.7. экватор 24 2.3. Проекция Гаусса-Крюгера При создании средне- и крупномасштабных тематических карт чаще всего используется равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера. Это объясняется тем, что основным источником при камеральном способе создании карт такого масштаба служат карты топографические, созданные, в свою очередь, именно в этой проекции. История применения проекции Гаусса-Крюгера в нашей стране началась в 1928 году на эллипсоиде Бесселя для составления топографических карт масштаба крупнее 1:500 000, а с 1939 – и для масштаба 1:500 000. В апреле 1946 г. Постановлением Правительства были утверждены новые исходные даты, характеризующие систему координат 1942 года, и в качестве математической поверхности Земли был принят эллипсоид Красовского со следующими параметрами: большая полуось (а) – 6 378 245 м. малая полуось (b) – 6 356 863 м сжатие ( α )- 1:298,3 С июля 2002 года в России в качестве Государственной принята система координат 1995 года (СК-95). Определение точных параметров эллипсоида вращения – задача очень сложная и на протяжении многих десятилетий эти параметры, полученные разными способами и различными инструментальными средствами, постоянно уточняются. Например, в 1984 году на основе спутниковых измерений специалистами нескольких стран были определены параметры так называемого международного эллипсоида WGS-84 (World Geodetic System) [ 1 ] : большая полуось (а) – 6 378 137 м; малая полуось (b) – 6 356 752 м; сжатие ( α ) – 1:298,257. Таким образом, чем точнее определены параметры эллипсоида, т.е. чем ближе математическая поверхность к поверхности геоида, тем, в конечном счете, меньше величины искажений в рассчитанных картографических проекциях. В1825 г. Гаусс решил задачу по изображению одной поверхности на другой с сохранением углов, а в 1912 г. Крюгер вывел и опубликовал рабочие формулы этой проекции. Проекция получила полное название: равноугольная поперечно- цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера. В проекции Гаусса-Крюгера поверхность эллипсоида на плоскости отображается по меридиальным зонам, ширина которых равна o 6 (рис.2.8). Меридианы и параллели изображаются кривыми линиями, симметричными относительно осевого меридиана 25 зоны (прямая линия) и экватора. Однако кривизна меридианов настолько мала, что западные и восточные рамки карты изображаются прямыми линиями. Параллели, совпадающие с южной и северной рамками карты, изображаются прямыми на картах масштаба 1:50 000; на картах более мелкого масштаба они изображаются кривыми линиями. Рис. 2.3.1. а) б) Рис.2.3.2 Каждая зона проектируется на поверхности своего цилиндра, касающегося эллипсоида по осевому меридиану зоны (рис.2.3.2,а). Развернув поверхность цилиндра на плоскость, получают изображение зоны (рис.2.3.2,б). В каждой зоне проекции Гаусса-Крюгера своя система координат: за ось Х принимают осевой меридиан зоны; за ось Y – экватор. Для территорий, лежащих к северу от экватора, абсциссы – положительны, ординаты – отрицательны к западу от осевого меридиана. Долгота осевого меридиана зоны Lо определяется по формуле: Lо = 6N - 3 o , где Ν – номер зоны, а номер зоны ЗО кол з − Ν = Ν , т.к. счет колонн идет с запада на восток против хода часовой стрелки от Гринвичского меридиана с долготой L = 0 о 26 Масштаб длин по меридиану в проекции Гаусса-Крюгера определяется из соотношения 2 2 R y m 2 1 + = , где R – радиус Земли; y – ордината в проекции Гаусса- Крюгера. Следовательно, из формулы видно, что на осевом меридиане, где 1 0 = ÷ = m y , т.е. осевой меридиан передается на плоскость без искажения, а величина искажения 2 2 R y m 2 1 = − зависит от значения ординаты, т.е. чем больше значение у , тем дальше от осевого меридиана зоны расположена картографируемая территория и тем больше величина искажения. Площади в проекции Гаусса-Крюгера всегда больше площади на поверхности эллипсоида и определяется по формуле + Ρ = Ρ 2 2 1 R y Г , следовательно, площади искажаются тем сильнее, чем дальше от осевого меридиана расположена картографируемая территория. 2.4. Выбор картографических проекций Выбор проекции осуществляется по факторам 3-х групп: К первой группе относятся факторы, характеризующие объект картографирования. Это: географическое положение территории, ее размеры, форма границ. Ко второй относятся факторы, которые характеризуют создаваемую карту, способы и условия ее использования. Сюда относятся: назначение, масштаб, содержание карты: задачи, которые будут решаться по карте и требования к точности. К третьей группе относятся факторы, характеризующие саму картографическую проекцию: характер искажений, величина максимальных искажений длин, площадей и углов, характер их распределения и т.д. Ниже приведена таблица, в которой для удобства использования приведены рекомендации по использованию наиболее часто применяемых проекций. 27 Таблица 1. Равноугольные Равновеликие Равнопромежуточные К он ич ес ки е Территории, вытянутые вдоль параллелей. Для карт СНГ, республик, областей, отдельных государств, распо- ложенных в средних широтах, а также для аэронавигационных карт. Только для карт мелкого масштаба, для территорий, вытянутых не более o 6 вдоль меридиана. Целесообразно приме- нять не эллипсод, а шар. Для карт мелкого и среднего масштаба, для сельскохозяйственных карт. Для карты на территорию СНГ в масштабе 1:2500000 – применяется проекция Каврайского с 2 главными параллелями o o 62 47 2 1 = = ϕ ϕ Ц ил ин др ич ес ки е Для создания морских навигацион- ных карт, а также для обзорных карт мира. Для обзорных карт на экваториаль- ную зону или узкую полосу, вытянутую вдоль параллелей. Эллипсоид принимают за шар. Удобны при создании карт по материалам космичес- кой съемки. Для карт, вытянутых вдоль параллелей и на экваториальную зону. При вытянутости по широте применяют поперечные цилиндри- ческие проекции Если территория близка к форме круга – косые проекции. А зи м ут ал ьн ы е Для карт звездного неба. Для изображения Арктики и Антарктики, южного и северного полушарий. Для восточного и западного полушарий – косые и поперечные Для мелкомасш- табных карт при изображении припо- лярных областей, полушарий и материков. Для карт Арктики и Антарктики Сельскохозяйственные карты всей территории России и стран СНГ, республик, составляемые в масштабах 1:1 000 000 – 1:10 000 000 имеют обзорно-справочный характер. С учетом географического положения и конфигурации территории России и стран СНГ для их построения применяют преимущественно нормальные конические равновеликие и равнопромежуточные проекции Каврайского, сохраняющие длины по всем меридианам ( 1 = m ) и двум параллелям ( o o 62 47 2 1 = = ϕ ϕ ). 28 Проекции для составления сельскохозяйственных карт более крупных масштабов территорий республик, краев, областей выбирают с учетом того, чтобы на них возможно было бы производить измерения, прежде всего площадей, затем длин, углов, объемов и других метрических характеристик. Кроме того, следует учитывать проекцию исходных картографических материалов, например карт топографических, составленных для масштабов от 1:5000 до 1:1000000 в поперечно-цилиндрической равноугольной проекции Гаусса-Крюгера. В соответствии с этим для указанных выше территорий широко используются: нормальные конические равнопромежуточные и равновеликие проекции; косые и поперечные цилиндрические проекции для территорий крупных республик, краев и областей; поперечно-цилиндрические равноугольные проекции Гаусса-Крюгера. |