Начертательная геометрия и инженерная графика. Учебное пособие ЙошкарОла Марийский государственный технический университет 2008
 Скачать 5.95 Mb.
|
|
l, проецируются на плоскость П в одну точку l 1 , являющуюся вырожденной проекцией прямой l. Очевидно также, что проекции всех точек плоскости треугольника на плоскость П будут находиться на отрезке A 1 C 1 , который является вырожденной проекцией треугольника на горизонтальной плоскости проекций (см. рис. 33). Проекции точек, лежащих на проецирующих поверхностях призмы и цилиндра, на плоскость Покажутся на их вырожденных проекциях (те. соответственно на треугольнике или на окружности) (см. рис. 34). Таким образом, можно сформулировать еще одно свойство проецирующих фигур проекции точек и линий, лежащих на поверхностях проецирующих фигур, на ту плоскость проекций, по отношению к которой фигура проецирующая, совпадают с вырожденной проекцией этих фигур Эти два свойства проецирующих фигур в дальнейшем будут очень часто использоваться, поэтому следует понять их смысли запомнить. Условимся первое из сформулированных выше свойств называть свойством вырождения, а второе – собирательным свойством проецирующих фигур. В зависимости оттого, по отношению к какой плоскости проекций прямые, плоскости или поверхности геометрических фигур перпендикулярны, их называют горизонтально проецирующими рис. 35); фронтально проецирующими рис. 36); профильно проецирующими рис. 37). Рис. 35 21 Рис. 36 Рис. 37 22 Напоминаем, что проекции точек, закрытых поверхностью фигуры (те. невидимые проекции точек, мы условились указывать в скобках. Примеры невидимых проекций точек А, L 2 (см. рис. 35); E 1 , N 1 (см. рис. 36); L 2 , L 1 , N 2 , см. рис. 37). 4. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В СЛУЧАЕ, КОГДА ХОТЯ БЫ ОДНА ИЗ НИХ ПРОЕЦИРУЮЩАЯ Решение задач в этом случае основано на использовании изученных ранее свойств проецирующих фигур вырождения и собирательного. Рассмотрим представленные на рис. 38 конус и фронтально проецирующий цилиндр (те. цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости П. Рис. 38 Очевидно, что фронтальной проекцией поверхности цилиндра и, соответственно, всех точек, лежащих на поверхности цилиндра, будет окружность (вырожденная проекция цилиндра. Так как линия пересечения заданных фигур находится на поверхности цилиндра, то по собирательному свойству проецирующих фигур ее проекция должна совпасть с вырожденной проекцией цилиндра (см. рис. 38). Очевидно, что подобное справедливо для любых пар геометрических фигур, при условии, что одна из них проецирующая. Поэтому можно сформулировать следующее правило если геометрическая фигура занимает проецирующее положение, то одна проекция линии ее пересечения с любой другой геометрической фигурой совпадет с вырожденной проекцией этой фигуры Так как обратимый чертеж выполняется не на одну плоскость проекций, то возникает необходимость нахождения проекций линии пересечения нате плоскости проекций, по отношению к которым фигура не проецирующая. Эти проекции можно построить исходя из условия принадлежности точек искомой линии поверхности второй из заданных геометрических фигур. Приведенные выше рассуждения позволяют определить последовательность действий при построении линии пересечения геометрических фигур в случае, когда одна из них занимает проецирующее положение Определяется вырожденная проекция проецирующей фигуры. Выделяется та часть вырожденной проекции фигуры, которая одновременно принадлежит обеим пересекающимся фигурам. (Она и будет являться одной из проекций искомой линии пересечения поверхностей геометрических фигур. Находится другая проекция линии пересечения из условия принадлежности точек этой линии поверхности второй из заданных фигур. Определяется видимость проекций линии пересечения и очерков заданных фигур. Используем приведенный алгоритм при решении ряда примеров. Пример 1. Построить линию пересечения конуса фронтально проецирующей плоскостью Σ (Σ 2 ) (рис. Рис. 39 Горизонтальные проекции остальных точек линии пересечения можно найти с помощью вспомогательных окружностей, проведенных на поверхности кону- Выполним необходимые для решения примера действия 1. Заданная плоскость – фронтально проецирующая, следовательно, на фронтальной плоскости проекций она изобразится прямой линией, которая совпадет с фронтальным следом плоскости Σ - вырожденная проекция секущей плоскости. Отрезок А 2 В 2 часть вырожденной проекции секущей плоскости Σ) естьфрон- тальная проекция линии сечения. Его следует обвести сплошной толстой основной линией (рис. 39). 3. Горизонтальные проекции точек А и В определятся из условия их принадлежности очерковым образующимконуса lи k. 24 са. На рис. 40 показано построение точек Си с помощью окружности а на рис. 41 - точек Ми Е посредством окружности n. Рис. 40 Рис. 41 Горизонтальная проекция линии сечения (эллипс) обводится сплошной толстой основной линией, так как линия сечения видима. Она находится на поверхности конуса, обращенного вершиной к наблюдателю. При этом вся поверхность конуса видима, а, следовательно, видима и находящаяся на ней линия сечения (см. рис. 41). Пример 2. Построить линию пересечения поверхностей цилиндра и шара (рис. 42). Так как одной из пересекающихся фигур является горизонтально проецирующий цилиндр, то для решения примера необходимо выполнить известные 4 действия 1. Определить вырожденную проекцию проецирующей фигуры. В данном примере цилиндр горизонтально проецирующий и на плоскость проекции П вырождается в окружность (см. рис. 42). 2. Поверхностям обеих пересекающихся фигур будет принадлежать только часть окружности, заключенная между точками A 1 и В 1 Рис. 42 25 Эта часть окружности и будет представлять горизонтальную проекцию искомой линии пересечения. 3. Фронтальную проекцию линии пересечения заданных поверхностей (l 2 ) определяют из условия принадлежности ее точек поверхности шара. Для этого на поверхности шара проводят окружности m, n, c, и k, которые на П проецируются в отрезки прямых m 1 , n 1 , c 1 , ириса на П - в дуги окружностей, и k 2 . На каждой из этих линий находятся проекции соответствующих точек линии пересечения заданных поверхностей. Рис. 43 Фронтальные проекции точек Аи В находятся с помощью окружности h, которая на плоскости проекции П изображается отрезком прямой h 2 . 4. Обе проекции искомой линии пересечения (l 1 и обведены сплошной толстой основной линией (см. рис. 43), так как l 1 совпадает с вырожденной проекцией цилиндра, а в линию l 2 проецируются фронтальные проекции всех точек линии пересечения, как видимых, таки невидимых. 26 Пример 3. Построить линию пересечения поверхностей шара и цилиндра рис. 44). Рис. 44 Решение примера 1. Как ив примере 2, поверхность горизонтально проецирующего цилиндра вырождается на П в окружность l 1 (см. рис. 44). 2. Дуга окружности l 1 , заключенная между точками A 1 и B 1 , будет представлять горизонтальную проекцию линии пересечения поверхностей заданных фигур. 3. Фронтальная проекция искомой линии пересечения определится из условия принадлежности точек этой линии поверхности шара. При этом в первую очередь следует определить характерные (опорные) точки линии пересечения. Характерными точками являются а) точки, удаленные на минимальное и максимальное расстояние от плоскостей проекций. Их иногда называют экстремальными точками б точки видимости - точки, разделяющие видимую и невидимую части линии пересечения в) точки, принадлежащие очерковым образующим заданных поверхностей. Характерными точками в рассматриваемом примере будут 27 1) точка С, находящаяся на очерке сферы (рис 2) точка D - самая близкая к плоскости проекций П 3) точка Е - наиболее удаленная от П точка искомой линии пересечения (те. наивысшая точка линии пересечения. Для определения ее горизонтальной проекции необходимо провести плоскость симметрии заданных фигур - сим 4) точка М - крайняя правая точка линии пересечения. Эта точка отделяет видимую часть линии пересечения от невидимой (точка видимости. Рис. 45 28 Между характерными точками линии пересечения можно построить любое количество промежуточных (случайных) точек. Как правило, их определяют в тех местах, где возникает сомнение в характере соединения уже найденных точек. На рис. 45 показан пример построения фронтальной проекции промежуточной точки К. Последовательность необходимых при этом действий показана на рисунке стрелками и обозначена цифрами 1 - 4. Следует заметить, что построение фронтальных проекций характерных точек СЕ и М производится посредством аналогичных действий. 4. Завершающим этапом решения задач на пересечение геометрических фигур является определение видимости точек линии пересечения и видимость очерковых образующих заданных фигур. В данном примере видимость необходимо устанавливать лишь на фронтальной плоскости проекций, так как горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией цилиндра. Для определения видимости фронтальной проекции линии пересечения необходимо проанализировать расположение ее горизонтальной проекции относительно горизонтальных проекций очерковых образующих заданных фигур m 1, n 1 ирис. фигур. Фронтальная проекция образующей n– n 2 будет полностью видимой, а образующей m - m 2 лишь до точки М, так как ниже точки М она находится внутри шара. Фронтальная проекция очерка шара - f 2 с правой стороны будет видима лишь до ее пересечения с прямой m 2 . Дальше она невидима, так как скрыта поверхностью цилиндра (см. рис. 46). Очевидно, что в рассматриваемом примерена П будут видимы лишь те точки линии пересечения, горизонтальные проекции которых расположены ниже горизонтальных проекций очерковых образующих цилиндра, то есть ниже точек m 1 и n 1 На рис. 46 видимые на фронтальной проекции точки и соответствующие им горизонтальные их проекции показаны крестиками. Точки же линии пересечения, расположенные выше m 1 и n 1 , на фронтальной проекции будут невидимы, так как они закрыты поверхностью цилиндра. Линия, определяемая этими точками, на рис. 46 выполнена штрихпунктирной. Затем определяется видимость очерковых образующих пересекающихся Рис. 46 29 На рис. 47 показано решение примера в окончательном виде. Рис. 47 Рассмотренные выше примеры позволяют заметить, что при решении задач на пересечение поверхностей геометрических фигур следует обязательно определить 1) точки, расположенные на очерковых образующих заданных поверхностей, так как на них находятся точки видимости 2) точки, лежащие в общей для заданных фигур плоскости симметрии, так как в ней определяются наивысшая и наинизшая точки линии пересечения. 30 Построить проекции линии пересечения поверхностей плоскостями. Построить проекции линии пересечения поверхностей плоскостями Построить проекции линий, образующихся на поверхностях геометрических фигур в результате вырезав них сквозного отверстия. Построить проекции линий, образующихся на поверхности шара в результате вырезав нем сквозного отверстия 34 Построить проекции линий, образующихся на поверхностях геометрических фигур в результате вырезав них сквозного отверстия. Построить линию пересечения поверхностей заданных фигур. Построить линию пересечения поверхностей заданных фигур. Построить линию пересечения поверхностей заданных фигур. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В общем случае для определения результата пересечения геометрических фигур используется способ вспомогательных секущих поверхностей посредников Пусть даны некоторые геометрические фигуры Ψ ирис. Пересечем их вспомогательной поверхностью Σ (рис. 49). При этом поверхность пересечется по линии m, а поверхность Q - по линии n. Так как полученные линии находятся на одной поверхности Σ , то они пересекаются, а точки их пересечения Аи В принадлежат линии пересечения заданных фигур Ψ ирис Рис. 48 Рис. 49 Рис. 50 Таким образом, можно сделать вывод, что в общем случае для определения результата пересечения геометрических фигур необходимо выполнить три действия) ввести вспомогательную секущую поверхность Σ (см. рис. 49); 2) определить линии, по которым вспомогательная поверхность Σ пересекается с каждой из заданных поверхностей m = Σ ∩ Ψ ив пересечении полученных линий m и n найти точки Аи В, принадлежащие искомой линии пересечения поверхностей заданных фигур (см. рис. 49 и 50). Изменяя положение вспомогательной поверхности и повторяя приведенные выше действия, определяют необходимое количество точек, общих для заданных фигур. Чаще всего в качестве вспомогательных секущих поверхностей-посредников используют плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций (то есть проецирующие плоскости или плоскости уровня, а также сферы. В зависимости от вида вспомогательных секущих поверхностей различают 1) способ вспомогательных секущих плоскостей 2) способ секущих сфер. Выбор вспомогательных секущих поверхностей-посредников зависит от особенностей пересекающихся фигур, от их положения относительно плоскостей 39 проекций и подчиняется следующему правилу поверхность-посредник должна пересекать поверхности заданных фигур по графическим простым линиям - прямым или окружностям, причем окружности должны проецироваться на одну из плоскостей проекций без искажения. 5.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей Рассмотрим пример использования вспомогательных секущих плоскостей для определения линии пересечения поверхностей и сформулируем последовательность необходимых при этом действий. Пример. Построить линию пересечения поверхностей конуса Ψ и шара Q (на рис. 51 дан рисунок и чертеж этих фигур. Рис. 51 1. Выбираются вспомогательные секущие плоскости. Известно, что они должны пересекать поверхности заданных фигур по прямым линиям или по окружностям. Причем окружности должны проецироваться на одну из плоскостей проекций без искажений. Поэтому в данном примере в качестве вспомогательных плоскостей следует взять горизонтальные плоскости (плоскости, параллельные П. Только такие плоскости пересекут обе заданные поверхности по окружностям, которые на фронтальной плоскости проекций будут проецироваться в виде отрезков прямых, а на горизонтальной плоскости проекций - в виде окружностей. 2. Строятся линии пересечения каждой вспомогательной плоскости с заданными поверхностями. В данном примере вспомогательная горизонтальная плоскость Σ(Σ 2 ) пересечет поверхности Ψ и Q по окружностями (рис. 52). 40 Рис. 52 3. Определяются точки пересечения линий, лежащих водной вспомогательной плоскости Σ, но принадлежащих разным поверхностям (точки Аи В) рис. 53). Рис. 53 4. Повторяются действия 1 - 3 для получения достаточного количества точек, общих для поверхностей обеих пересекающихся фигур. При этом в первую очередь определяются характерные (опорные) точки, понятие о которых дано в разделе 4. Построение характерных точек показано на рис. 54 и 55. 41 Рис. 54 Рис. 55 Во фронтальной плоскости симметрии Г сим ( ÑÈÌ 1 Ã ) находятся очерковые образующие шара и конуса, фронтальные проекции которых пересекаются в точках Си, При этом точка С наивысшая, а точка D - наинизшая точки линии пересечения (см. рис. 54). Вспомогательная горизонтальная плоскость Т (Т, проходящая через экватор шара, пересекает поверхность шара по окружности b, а поверхность конуса - по окружности а В их пересечении получаются точки видимости Ми Е см. рис. 55). 5. Определяется видимость полученных точек. (Практика показывает, что видимость отдельных точек лучше устанавливать по мере их нахождения. При этом невидимые проекции точек следует указывать в скобках. Строятся проекции линии пересечения заданных поверхностей путем соединения найденных точек. При этом видимая часть этой линии проводится сплошной толстой основной линией, а невидимая - штриховой (рис. 55). Видимые очерки пересекающихся фигур обводятся сплошной толстой линией, а невидимые - сплошной тонкой (см. рис. При решении задач способом вспомогательных секущих плоскостей необходимо придерживаться последовательности, приведенной в рассмотренном выше примере. При этом в каждом конкретном случае количество и положение вспомогательных секущих плоскостей зависит от характера пересекающихся фигура также от их положения относительно друг друга и относительно плоскостей проекций. 42 Построить линии пересечения поверхностей заданных фигур. Способ секущих сфер Возможны два варианта применения способа сфер 1. Все вспомогательные сферы проведены из одного центра - способ концентрических сфер 2. Центр вспомогательных сфер меняет свое положение - способ эксцентрических сфер. Мы будем рассматривать лишь способ концентрических сфер. Применение способа концентрических сфер при построении линии пересечения поверхностей ограничивается тремя условиями 1) обе заданные поверхности должны быть поверхностями вращения 2) оси пересекающихся поверхностей должны быть параллельными плоскости проекций |