Начертательная геометрия и инженерная графика. Учебное пособие ЙошкарОла Марийский государственный технический университет 2008
 Скачать 5.95 Mb.
|
|
3) оси заданных поверхностей должны пересекаться. Первое условие вытекает из требования к поверхностям посредникам. Известно, что сфера пересекается с любой поверхностью вращения по окружности, если ее центр находится на оси этой поверхности. На рис. 56 сфера Ф, имеющая свой центр Она оси цилиндра Ψ и конуса Q, пересечет поверхности этих фигур по окружностями. Очевидно, что полученные окружности в общем случае будут проецироваться в виде эллипсов, но если оси поверхностей вращения расположить параллельно плоскости проекций, то окружности, находящиеся на этих поверхностях, изобразятся в виде отрезков. Этим объясняется необходимость второго условия применения способа сфер. Например, на рис. 57 отрезки m 2 и n 2 - фронтальные проекции окружностей и n, являющихся результатом пересечения сферы с поверхностями конуса и цилиндра. Следует заметить, что крайние точки проекций окружностей m 2 и n 2 определяются точками пересечения очерковых образующих (см. рис. 57). Рис. 56 Рис. 57 44 Третье условие применения способа сфер исходит из очевидного обстоятельства центр вспомогательных секущих сфер должен находиться на оси каждой из заданных поверхностей. Это возможно лишь в том случае, если он находится в точке пересечения осей (рис. 58). Приведенные выше размышления подтверждают необходимость наличия всех трех условий для обеспечения возможности использования способа сфер. На рис. 59 показано получение точек, общих для цилиндров Ψ и Q. Для этого проведена сфера Ф с центром, который находится в точке пересечения осей цилиндров. Эта сфера пересекает цилиндр Ψ по окружности m (m 2 ), а цилиндр Q - по окружности n (n 2 ) (см. рис. 58, 59). Рис. 58 Рис. 59 Так как окружности m и n находятся на поверхности одной сферы Ф, то они пересекутся в точках Аи В (рис. 60). На чертеже (см. рис. 59) фронтальные проекции этих точек определятся в пересечении отрезков m 2 и n 2 , являющихся проекциями окружностей m и n. Для определения других точек, принадлежащих линии пересечения заданных поверхностей, необходимо провести несколько сфер различного радиуса. Для исключения лишних построений подобную задачу следует начинать с определения предельных значений радиусов вспомогательных сфер. Рис. 60 45 Величина радиуса наибольшей сферы (R max ) определится расстоянием от центра вспомогательных сфер до более удаленной точки пересечения очерковых образующих. В рассматриваемом примере величина R max равна расстоянию ОМ (рис. 61). Рис. 61 Для определения величины радиуса наименьшей сферы (R min ) из центра вспомогательных сфер проводятся перпендикуляры (нормали) к очерковым образующим заданных поверхностей. Больший по величине перпендикуляр принимается за R min . На рис. 61 R min = О 2 К 2 Рис. 62 Сфера минимального радиуса касается поверхности цилиндра Ψ по окружности b, а поверхность цилиндра Q пересекает по окружности а. Точки Си пересечения окружностей аи будут принадлежать линии пересечения поверхностей заданных фигур (см. рис. 61). Окончательное решение задачи представлено на рис. 62. 46 Рассмотрим пример использования способа концентрических сфер и сформулируем последовательность происходящих при этом действий. Пример. Построить линию пересечения поверхностей двух конусов (рис. 63). Рис. 64 1. Проверяется наличие трех условий, без которых применение способа концентрических сфер невозможно. В данном примере обе пересекающиеся поверхности - поверхности вращения, оси которых пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций. 2. Проводится общая для заданных фигур плоскость симметрии сим (сим) (см. рис. 63). Находящиеся в ней очерковые образующие заданных поверхностей пересекутся в точках А(А 2 ) и В(В 2 ), которые определят соответственно наивысшую и наинизшую точки линии пересечения. 3. Определяются предельные величины радиусов вспомогательных сфер. Центр вспомогательных сфер будет в точке пересечения осей – точке О. Величина определится расстоянием О 2 В 2 (рис. 64). Рис. 63 Для нахождения величины из точки О проводятся перпендикуляры к очерковым образующим конусов. Больший из них даст величину R min (см. рис. 64). 47 4. Проводится сфера радиуса R min и определяются сначала фронтальные проекции точек Сии) линии пересечения, а затем с помощью окружности h их горизонтальные проекции – C 1 ирис Рис. 65 Определяются промежуточные точки линии пересечения. Для этого проводятся вспомогательные сферы, величины радиусов которых находятся в пределах (рис. 66). 6. Если проекции линии пересечения меняют свою видимость, то необходимо определить точки видимости. В данном примере они найдены следующим образом. Сначала строится фронтальная проекция линии пересечения (рис. 67). 48 На ней видимость не меняется, так как видимая и невидимая части линии пересечения совпадают. На горизонтальной же проекции видимость меняется в точках К и L, находящихся в горизонтальной плоскости Г вид . Плоскость Г вид проходит через образующие конуса k и l, на горизонтальных проекциях которых (k 1 и l 1 ) с помощью линии проекционной связи и определятся горизонтальные проекции точек видимости K 1 и L 1 (см. рис. 67). Рис. 66 Рис. 67 7. С учетом видимости соединяются построенные точки линии пересечения рис. 68). Также с учетом видимости обводятся проекции очерков заданных фигур. Например, в данной задаче горизонтальные проекции образующих k и l (k 1 и l 1 ) видимы лишь до точек K 1 и L 1 . Поэтому до этих точек они обведены сплошной толстой основной линией (см. рис. 68). 49 Рис. 68 50 Построить линию пересечения поверхностей заданных фигур. ПЕРСПЕКТИВА Перспектива – это наглядное изображение предмета, выполненное на основе центрального проецирования (рис. 69). Рис. 69 Аппарат перспективы представлен на рис. 70. Рис. 70 52 При построении перспективы пользуются следующей терминологией см. рис. 68): П – предметная плоскость – горизонтальная плоскость, на которой располагаются предметы и зритель К – картинная плоскость – вертикальная плоскость, на которой строится изображение (перспектива) предмета k-k – основание картинной плоскости (или основание картины – линия пересечения плоскостей К и П S – точка зрения – центр проецирования (определяет положение глаз зрителя Н – плоскость горизонта – горизонтальная плоскость, проходящая через точку S; h-h – линия горизонта – линия пересечения плоскостей К и Н; Р – главная точка картины – точка пересечения с плоскостью К перпендикуляра, проведенного к ней из точки зрения S. 6.1. Перспектива прямой линии Перспективу каждой отдельной точки предмета, как правило, получают в результате пересечения перспектив двух прямых. Поэтому понимание механизма получения перспективы прямой линии является одним из главных условий успешного освоения материала, связанного с построением перспективы сооружения. Рис. 71 иллюстрирует образование перспективного изображения отрезка прямой АВ. Согласно правилам центрального проецирования перспективой отрезка АВ будет отрезок А к В к ,составленныйиз точек пересечения с плоскостью К лучей, проходящих через точку S и каждую точку заданного отрезка. Рис. 71 53 Продолжим отрезок АВ в обе стороны и проанализируем перспективу его отдельных точек. Из рис. 71 видно, что по мере приближения точек прямой к плоскости К онибудут приближаться к их перспективе (см. точки 1 и к, 2 и кВ конечном итоге точка и ее перспектива совпадут. Это произойдет в точке которую принято называть началом прямой. Из рис видно,что точка N - это точка, в которой продолжение прямой пересекается с картинной плоскостью К. Анализ перспектив точек прямой, удаляющихся от плоскости К (см.на рис. 71 точки 3 и к, 4 и к, позволяет представить как получится перспектива самой удаленной точки прямой. Очевидно, для этого необходимо провести луч SF, параллельный заданному отрезку АВ.Полученная при этом на плоскости К точка F является перспективой бесконечно удаленной точки прямой. Для краткости точку F обычно называют концом прямой. Таким образом, положение прямой в перспективе характеризуют две точки N - начало прямой – точка пересечения прямой с картинной плоскостью и F - конец прямой – точка пересечения с картинной плоскостью вспомогательной прямой SF, проведенной из точки S параллельнозаданной прямой. 6.2. Перспектива параллельных прямых Известно, что перспективы параллельных прямых пересекаются. Рассмотрим построение перспектив параллельных прямых аи рис. 72). Найдем их начальные точки - аи N b . Для этого продолжим каждую из прямых до пересечения с картинной плоскостью. Второй точкой, определяющей перспективы заданных прямых, будет общая их конечная точка F а F b ). Для ее построения из точки зрения S проводится луч, параллельный данным прямым аи. Точку F принято называть точкой схода параллельных прямых. 6.3. Построение перспективы основания сооружения с двумя точками схода Построение перспективы сооружения начинают с построения перспективы основания сооружения. Под основанием сооружения понимают его горизонтальную проекцию. Рассмотрим построение перспективы плоской фигуры, расположенной на горизонтальной плоскости (рис. 73). Чертеж такой фигуры можно рассматривать как основание некоторого здания. На чертеже изображены горизонтальный след картинной плоскости основание картины, проекция точки зрения S, главная точка картины Р и линия горизонта h-h. Рис. 72 54 Рис. 73 Линии контура фигуры в данном случае могут быть разделены на два пучка параллельных прямых I и II см. рис. 73). Определим точки схода (F и F ) каждого из пучков, причем F – точка схода пучка параллельных прямых направления I, а точка F – направления II. Обе точки найдены при помощи лучей и S F , соответственно параллельных прямым направлений I и II. В качестве вторых точек для построения перспектив прямых, составляющих заданный контур, являются точки, в которых эти прямые пересекают картинную плоскость (те. начальные точки прямых. В данном случае это точки N АВ , ЕМ, N АЕ , N и N ВС , расположенные на основании картины см. рис. 73). Рис. 74 z 55 Для построения перспективы заданной фигуры сначала необходимо провести две горизонтальные прямые k-k ирис. Расстояние между этими линиями должно быть равно величине z, которое берется с рис. 73. Затем начальные точки N переносятся на линию а точки схода F – на линию Перспективы прямых получаются путем соединения начальных точек прямых N с соответствующими точками схода Вершины заданной фигуры определятся пересечением прямых, принадлежащих двум различным пучкам параллельных линий. Так, например, перспектива точки А получится в пересечении прямых N АВ F и N АЕ F (см. рис. 74). 6.4. Построение перспективы вертикальной прямой При построении высоты сооружения необходимо уметь строить перспективу вертикальной прямой. Очевидно, что с изменением расстояния от картинной плоскости величина проекции прямой будет меняться от натуральной величины до нуля (рис. 75). Рис. На рис. 76 изображен процесс построения вертикальной прямой с основанием А о и величиной z. (Последовательность действий на рисунке показана цифрами и стрелками. Рис. 76 56 6.5. Построение перспективы сооружения с двумя точками схода Построение перспективы сооружения с двумя точками схода рассмотрим на примере (рис. 77). Рис. 77 Известно, что построение перспективы сооружения начинают с построения перспективы основания этого сооружения. Основание данного сооружения полностью соответствует плоской фигуре, изображенной на рис. 73. Поэтому для экономии времени перспектива основания воспроизведена на рис. 78 с учетом того, что некоторые линии контура основания будут невидимыми (сравнить с рис. 74). Точки, обозначающие перспективу вершин контура основания, указаны с индексом 0 А, В, С, т.к. они имеют высоту 0 метров над уровнем плоскости проекций. Для построения точек сооружения, определяющих их высоты z, используют действия, показанные на рис. 76. D 1 М Е 57 Рис. 78 6.6. Выбор элементов аппарата перспективы Для обеспечения наибольшей наглядности перспективного изображения выбор элементов аппарата перспективы производится в следующей последовательности (на рис. 79 последовательность показана стрелками и цифрами 1) через одну из крайних точек основания сооружения под углом о к фасаду проводится линия k-k (основание картины 2) из крайних точек контура основания (Аи В) проводятся перпендикуляры к линии k-k. Получится отрезок Ев середине отрезка Е выбирается точка Р (главная точка картины 4) из точки Р проводится перпендикуляр к линии k-k; 5) на полученном перпендикуляре выбирается точка S (точка зрения) так, чтобы угол между крайними лучами был близок ко. Построение перспективы сооружения с одной точкой схода В пределах чертежа обычно имеется лишь одна точка схода, поэтому сначала создается перспектива прямой. Для этого соединяются начало и конец каждой прямой. Затем с помощью специального луча на ней определяется искомая точка. Специальный луч проводится через точку так какперспектива такого луча вертикальная прямая. Рис. 79 58 Пример 1. Построить перспективу плоской фигуры АВСD. Пример 2. При Построить перспективу предмета 59 Пример Построить перспективу сооружения 60 Пример Построить перспективу сооружения. 61 Пример Построить перспективу сооружения. 62 7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ В ПЕРСПЕКТИВЕ Перспективное изображение объекта будет более наглядными выразительным, если на нем построены тени. Различают собственные и падающие тени. Собственной тенью называют неосвещенную часть поверхности самого предмета. Падающей тенью называют тень, отбрасываемую предметом на другой предмет или на какую-либо плоскость (например, на предметную плоскость П. Освещенность объекта, а,следовательно, контур его теней будет зависеть от положения источника света. Чаще всего направление световых лучей принимают параллельным плоскости картины. В этом случае перспектива лучей света задается определенным углом наклона (обычно 45°), а вторичные проекции лучей должны быть параллельны основанию картины (те. горизонтальны. На рис. 80 приведен пример построения падающей тени от прямоугольного параллелепипеда. Направление лучей света выбрано параллельно плоскости картины. Порядок построения тени показан стрелками. Собственная тень, которая получилась на правой грани параллелепипеда, показана точками. Рис. 80 Задача 1. Построить тень от сооружения. 63 Задача 2. Построить тень на лестнице. 8. ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ Поверхность земли и сооружения на ней отличаются тем, что горизонтальные размеры значительно преобладают над вертикальными.Поэтому традиционный способ образования чертежа в этом случае не дает наглядного изображения. Для устранения этого недостатка используют способ проекций с числовыми отметками. Сущность способа проекций с числовыми отметками заключается в том, что вместо двух проекций предмета на чертеже изображают одну – горизонтальную, а рядом с проекцией каждой точки предмета пишут число, определяющее ее высоту относительно плоскости проекций Н. Это число называют отметкой, а плоскость Н - плоскостью нулевого уровня На рис. 81 показаны точки в пространстве, а на рис. 82 они изображены в проекциях с числовыми отметками. Плоскость нулевого уровня Рис.81 Рис. 82 64 8.1. Прямая в проекциях с числовыми отметками Прямая в проекциях с числовыми отметками может быть задана проекциями двух принадлежащих ей точек с указанием их отметок и масштаба (рис. 83). Рис. 83 Длина проекции отрезка прямой называется его заложением и обозначается буквой l (см. рис. 81). Разность отметок концов отрезка прямой называется превышением и обозначается буквой h. Величина i = h/l называется уклоном прямой. Из рис. 83 видно, что i = tg , где - угол наклона прямой к плоскости Н. Если превышение h = l, то заложение, ему соответствующее, называется интервалом и обозначается буквой L (рис. 84). В этом случае уклон i = l/L. Отсюда следует, что уклон и интервал прямой величины обратные друг другу меньшие интервалы соответствуют более крутым прямыми наоборот. Рис. 84 8.2. Плоскость в проекциях с числовыми отметками Плоскость в проекциях с числовыми отметками чаще всего задается масштабом уклона. Масштабом уклона плоскости называют градуированную проекцию линии наибольшего наклона плоскости (рис. 85). 65 Рис. 85 Линией наибольшего наклона плоскости называют линию, лежащую в заданной плоскости и имеющую наибольший наклон к плоскости проекций в рассматриваемом случае к Н. Линия наибольшего наклона должна быть перпендикулярна линиям уровня плоскости, в данном случае - горизонталям. Горизонтали см. рис. 85) - это линии, лежащие в заданной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости Н. Масштаб уклона изображается на чертеже двумя параллельными прямыми |