Начертательная геометрия и инженерная графика. Учебное пособие ЙошкарОла Марийский государственный технический университет 2008
 Скачать 5.95 Mb.
|
|
Н. Т. НОВОСЕЛОВ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Йошкар-Ола Марийский государственный технический университет 2008 УДК 515 ББК 22.151.3 Н 76 Рецензенты кафедра начертательной геометрии, компьютерной графики и САПР Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета (завкафедрой др техн. наук, проф. СИ. Ротков); канд. техн. наук, доц. кафедры начертательной геометрии и графики МарГТУ ТА. Полушина Печатается по решению редакционно-издательского совета МарГТУ Новоселов, Н. Т. Н 76 Начертательная геометрия учебное пособие / Н. Т. Новоселов. – Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2008. – 88 с. ISBN 978-5-8158-0633-7 Даны теоретические положения по основным разделам дисциплины, а также заготовки условий задач для решения их под руководством преподавателя в период установочной сессии. Для студентов инженерно-строительных специальностей заочной формы обучения. УДК 515 ББК 22.151.3 ISBN 978-5-8158-0633-7 Марийский государственный технический университет, 2008 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Данное пособие предназначено для студентов строительных специальностей заочной формы обучения. Оно составлено в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта и включает в себя следующий учебный материал решение позиционных задач в прямоугольных проекциях, построение перспективы сооружения и теней в перспективе, чертежи в проекциях с числовыми отметками. Основная цель пособия – уменьшение непроизводительных потерь аудиторного времени в период установочной сессии при изучении дисциплины Начертательная геометрия. Это достигается за счет того, что оно выполнено в форме конспекта, содержащего основные теоретические положения изучаемого материала, а также чертежи условий задач, решаемых студентами под руководством преподавателя на лекциях и лабораторных занятиях. В пособие включен учебный материал дисциплины, степень понимания которого контролируется выполнением соответствующих графических работ и экзаменом. Автор предостерегает студентов данное пособие не является готовым конспектом лекций – это лишь инструмент, позволяющий увеличить объем изучаемого под руководством преподавателя учебного материала в период установочной сессии. Для эффективного использования пособия необходимо посещать все виды занятий по дисциплине (лекции и лабораторные занятия быть внимательным на занятиях, решать все задачи, графические условия которых даны в пособии приносить на занятия чертежные инструменты (карандаш, линейку, циркуль, ластик. Лишь при соблюдении перечисленных условий данное пособие может превратиться в полноценный конспект, который поможет в дальнейшем подготовиться к выполнению контрольных работ по начертательной геометрии и сдаче экзамена. Ограниченный объем пособия не позволяет рассмотреть весь материал дисциплины Начертательная геометрия, поэтому при выполнении контрольных работ и подготовке к сдаче экзамена автор рекомендует пользоваться литературой, список которой приведен в конце данного пособия. 3 ВВЕДЕНИЕ Начертательная геометрия – одна из учебных дисциплин, составляющих основу инженерного образования, так как она является теоретической базой для понимания процессов, связанных с построением и чтением чертежей различных изделий. Изучение начертательной геометрии – необходимое условие подготовки инженеров в высших учебных заведениях. Начертательная геометрия – раздел геометрии, изучающий методы изображения пространственных фигур на плоскости и способы решения геометрических задач с помощью чертежа. Основные задачи начертательной геометрии изучение различных методов изображений пространственных форм на плоскости исследование геометрических свойств фигур и тел по заданным изображениям. Важное прикладное значение начертательной геометрии состоит в том, что она учит грамотно владеть выразительным техническим языком – языком чертежа, учит создавать чертежи и свободно читать их. Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать геометрические свойства, присущие изображаемому предмету. Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения и навыков правильного логического мышления. Совершенствуя нашу способность – мысленно создавать представление о форме предмета, начертательная геометрия готовит будущего инженера к успешному изучению специальных предметов и к техническому творчеству – проектированию. 4 1. ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА ЧЕРТЕЖЕ Одним из основных понятий геометрии является пространственная форма, или геометрическая фигура. Под геометрической фигурой подразумевается любое множество точек. Это множество может состоять из одной точки, нескольких точек, из бесконечного числа точек. Получение изображений (чертежей) геометрических фигур осуществляется с помощью метода проецирования. Суть проецирования заключается в том, что через каждую точку заданной фигуры проводится проецирующий луч (прямая линия) до пересечения с плоскостью, на которой строится изображение этой фигуры. Плоскость при этом называется плоскостью проекций. Если проецирующие лучи проходят через одну точку проецирование называют центральным (рис, если же проецирующие лучи параллельны между собой, то - параллельным. Рис Параллельное проецирование может быть косоугольным, если проецирующие лучине перпендикулярны к плоскости проекций, и прямоугольным, когда все проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 2). Рис. 2 5 Очевидно, что чертеж будет полезен лишь в том случае, если по нему можно однозначно узнать изображенную на нем геометрическую фигуру, уяснить взаимосвязь отдельных ее элементов, определить положение фигуры в пространстве. Чертеж, удовлетворяющий перечисленным выше требованиям, называют обратимым. На рис. 3 показан процесс проецирования трех геометрических фигур на одну плоскость проекций П. В случае равенстве диаметра сферы диаметрам оснований конуса и цилиндра, все данные геометрические фигуры изобразятся на плоскости проекций П в виде одной окружности (рис. 4). Рис. 3 Рис. 4 По такому чертежу невозможно установить, какая фигура на нем изображена и как эта фигура расположена в пространстве. Полученный в данном случае чертеж является необратимым. Для того, чтобы чертеж стал обратимым, прямоугольное проецирование заданных геометрических фигур производят одновременно на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций Пи П (рис. 5). Затем вращением вокруг оси X плоскости проекций совмещают в одну, создавая, таким образом, обратимый чертеж (рис. 6). 6 Рис. 5 Рис. 6 При анализе полученного чертежа можно установить, что треугольники окружность представляют чертеж конуса (риса, две окружности - чертеж шара (рис. 7, б, а прямоугольники окружность - чертеж цилиндра (рис. 7, в. Рис. 7 Проекция по направлению S ' вид с ве р ху) Пр ое к ц и я по направлению S '' вид спереди) а) б) в) П П 7 Плоскость проекций П 1 ,расположенную горизонтально, принято называть горизонтальной плоскостью проекций. Вертикальную плоскость П, находящуюся перед наблюдателем, называют фронтальнойплоскостью проекций (рис. 8). Рис. 8 В некоторых случаях двух изображений объекта бывает недостаточно. Поэтому перпендикулярно плоскостям Пи П вводят плоскость П, которую называют профильной плоскостью проекций (рис. 9). Рис. 9 1.1. Чертеж точки Точка не имеет размеров. Поэтому можно говорить лишь об условном ее изображении (чертеже. Точки на чертеже принято обозначать прописными буквами латинского алфавита А, В, СМ. Иногда точки обозначают арабскими цифрами 1, 2, 3, ... . Процесс получения чертежа точки А на две плоскости проекций показан на рис. 10. фронтальная плоскость проекций ось проекций горизонтальная плоскость проекций профильная плоскость проекций оси проекций 8 Рис Плоскости проекций вращением вокруг оси X совмещаются в одну плоскость (риса. Так как ограничивать и обозначать плоскости проекций не принято, то чертеж точки А в том виде, в котором мы его будем использовать, показан на рис. 11, баб) Рис. 11 Чертеж точки состоит из двух ее проекций фронтальной Аи горизонтальной. Проекции Аи расположены на одной прямой, перпендикулярной коси. Эта прямая называется линией проекционной связи. Следует запомнить, что линия проекционной связи всегда перпендикулярна оси проекций Последовательность получения чертежа точки на 3 плоскости проекций показана на рис. 12 На рисунке 12: О – начало координат Х, Y, Z - оси координат. Координаты определяют положение точки относительно плоскостей проекций Х – расстояние до П, Y – до Па- до Паб) в) фронтальная проекция точки линия проекционной связи ось проекций горизонтальная проекция точки 9 Рис. 12 При изучении рисунка 12 можно заметить что линии проекционной связи расположены следующим образом A 1 A 2 ┴ оси X; A 2 A 3 ┴ оси A 1 A 3 ┴ оси Y. Это означает, что по двум данным проекциям точки всегда можно построить третью 1.2. Чертеж линии Любую линию можно рассматривать как траекторию перемещения точки. Получение чертежа отрезка прямой АВ показано на рис. 13. Линии на чертеже принято обозначать строчными буквами латинского алфавита а) б) в) г) д) 10 Рис. 13 Пример изображения и обозначения на чертеже некоторойпрямой m и кривой линии d представлен на рис. 14. Рис. 14 1.3. Чертеж плоскости Известно, что плоскость может быть задана следующими простыми геометрическими фигурами тремя точками, не лежащими на одной прямой прямой и точкой, находящейся вне этой прямой двумя параллельными прямыми двумя пересекающимися прямыми любой плоской фигурой (треугольником, квадратом, кругом и т.п.). На чертеже плоскость изображается проекциями определяющих ее простых геометрических фигур (рис. Плоскости на чертеже принято обозначать прописными буквами греческого алфавита ГР, Т, ... . Способ задания плоскости указывают в скобках, например Σ (A, m) означает, что плоскость задана точкой Аи прямой m. а) б) в) 11 Рис. 15 Линии, по которым плоскость пересекается с плоскостями проекций, называются следами этой плоскости (рис. 16). На чертеже плоскость может быть задана фронтальным Г, горизонтальным Г и профильным Г следами плоскости рис. 17). Рис Рис 1.4 Чертеж поверхности геометрической фигуры На чертеже поверхность геометрической фигуры обычно задают проекциями ее очерка. Так, например, чертеж поверхности прямого кругового конуса может быть представлен треугольником и окружностью, которые являются соответственно фронтальной и горизонтальной проекциями очерков конуса (риса) б) в) г) да) б) Рис. 18 Рис. 19 Для улучшения условий чтения чертежапроекции очерков поверхности конуса обведены сплошной толстой основной линией, а центровые и ось вращения - штрихпунктирной тонкой линией (рис. 19). На рис. 20 показано как получается чертеж поверхности пирамиды. Чертеж пирамиды, представленный лишь проекциями очерка фигуры рис. 21), воспринимается неоднозначно. Проведение проекций ребер с учетом их видимости, а также линий проекционной связи между проекциями вершин пирамиды делает чертеж более понятным для его чтения (рис. 22). Рис. 20 Рис. 21 Рис. 22 Любую поверхность на чертеже следует задавать не только проекциями очерков, но и проекциями характерных элементов этих поверхностей (вершин, 13 ребер, осей вращения, центровых линий) с проведением между ними линий проекционной связи. Также необходимо указывать оси симметрии каждого из изображений. На рис. 23 представлены чертежи следующих поверхностей цилиндра, призмы, четверти тора и шара. Рис. 23 2. УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ТОЧКИ ПОВЕРХНОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ Условие принадлежности точки поверхности геометрической фигуры можно сформулировать так точка принадлежит поверхности геометрической фигуры, если она находится на линии, принадлежащей этой поверхности. Применительно к простейшей поверхности - плоскости условие принадлежности примет вид точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости. Проиллюстрируем это условие на примере. Пример. Определить недостающую проекцию точки М, если известно, что она принадлежит плоскости Σ ( Δ АВС) (рис. 24). Для определения недостающей проекции точки М – М 1 сначала проводится фронтальная проекция вспомогательной прямой АЕ - А 2 Е 2 (рис. 25). Затем строится горизонтальная ее проекция и с помощью линии проекционной связи устанавливается на ней положение горизонтальной проекции М. Последовательность действий при решении примера показана на рис. стрелками и цифрами 1 - 4 . 14 Рис. 24 Рис. 25 Некоторые замечания по представленному выше решению. 1. При решении примера использовано условие принадлежности точки линии если точка принадлежит линии, то ее горизонтальная проекция принадлежит горизонтальной проекции линии, а фронтальная проекция точки - фронтальной проекции линии. 2. В качестве вспомогательной прямой может быть не только прямая АЕ, но и любая другая, лежащая в плоскости треугольника ABC. 3. Между проекциями заданной плоскости не проведена ось проекций X. Ее наличие необязательно, так как ось X определяет лишь линию пересечения плоскостей проекций и не оказывает влияния на проекции фигуры, а, следовательно, и на решение задачи. Рис. 26 При решении задач по определению принадлежности точек поверхностям геометрических фигур на них проводят вспомогательные линии. Эти линии должны быть простейшими, те. прямыми или окружностями. Например принадлежность точки поверхности конуса можно установить с помощью прямой, проходящей через заданную точку и вершину конуса S (рис. 26). 15 Рассмотрим пример построения недостающих проекций точек Ми К, принадлежащих поверхности конуса (рис. 27). Недостающие проекции точек - Ми К определяются в данном случае с помощью прямых l и n, проведенных на поверхности конуса через вершину S. Последовательность построений показана на рис. 28 стрелками и цифрами 1 - 4. Рис. 27 Рис Принадлежность точек поверхности конуса можно установить также с помощью окружностей, проведенных на ее поверхности (рис. 29). На рис. 30 изображен конус с осью, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций, поэтому окружности тип, проведенные на поверхности этого конуса через точки Аи В, проецируются на П в отрезки прямых типа на П – в окружности тип (рис. 31). Рис. 29 16 Рис. 30 Рис. 31 Принадлежность точек А, В, Си поверхности шара (риса) может быть установлена с помощью окружностей m, n, и f, проведенных на поверхности этого шара через данные точки (см. рис. 32, б, в. а) б) в) 17 Рис. 32 Так как поверхности геометрических фигур непрозрачны, то некоторые точки и их соответствующие проекции могут оказаться невидимыми. Условимся невидимые проекции точек указывать на чертеже в скобках. Примерами невидимых проекций точек являются фронтальные проекции точек В – (В см. рис. 32, б) и С – (С) см. рис. 32, в. Задачи для закрепления изученного материала 1. Построить чертеж конуса, если известно, что его ось перпендикулярна П , удалена от П на расстояние45мм, а от П - на 40 мм. Высота конуса 75 мм, основание имеет диаметр 70 мм и находится на П. По двум данным координатам точек А, В и С определить положение их трех проекций, при условии, что точки находятся на поверхности конуса. А, 15, z), В, у, 60), С(х, 40, 35). Проекции невидимых точек указать в скобках. Определить по чертежу недостающие координаты точек и записать их на свободном месте чертежа. Найденные по чертежу координаты точек подчеркнуть. z х у О 18 у Построить недостающие проекции точек принадлежащих поверхностям заданных фигур. ПРОЕЦИРУЮЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР При решении задач большое значение имеет положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Геометрические фигуры могут занимать по отношению к плоскостям проекций общее или особое положение. Фигуры, расположенные произвольно относительно плоскостей проекций, называют фигурами общего положения, фигуры же, которые перпендикулярны по отношению к плоскостям проекций, - фигурами частного положения. Фигуры частного положения, в свою очередь делятся на фигуры уровня – фигуры, перпендикулярные двум плоскостям проекций те. параллельные третьей, и проецирующие фигуры – фигуры, перпендикулярные всего одной плоскости проекций. Так как при прямоугольном проецировании лучи проецирования перпендикулярны плоскостям проекций, топроецирующими являются прямые, плоскости и поверхности, совпадающие с лучами проецирования. Таким образом проецирующими могут быть прямые и плоскости, перпендикулярные плоскости проекций рис. 33), призматические и цилиндрические поверхности, ребра и образующие которых также перпендикулярны какой-либо плоскости проекций рис. 34). Рис. 33 Рис. 34 Перечисленные геометрические фигуры можно представить состоящими из лучей проецирования. Каждый из этих лучей при пересечении с плоскостью проекций изображается точкой, поэтому проецирующая прямая проецируется в точку, проецирующая плоскость – впрямую, проецирующая призма – в многоугольника проецирующий цилиндр – в окружность. На основании этих наблюдений можно сформулировать следующее свойство проецирующих фигур 20 проекция проецирующей фигуры на плоскость, которой перпендикулярна фигура, имеет меньшую размерность, чем сама фигура. Полученную в этом случае проекцию принято называть вырожденной. По рис. 33 можно сделать вывод, что все точки, находящиеся на прямой |