Учебное пособие Москва 2008
 Скачать 3.68 Mb.
|
|
9.4. Разложение вряд Тейлора Синтаксис: функция, x, a, n); Параметр n определяет, до какой степени параметра разложения (x–a) n находить решение. Пример: Разложить функцию sin(x)+ax+1 вряд Тейлора по степеням x+1 до третьей степени 9.5. Нахождение суммы ряда Синтаксис: функция, переменная, индекс_начального_члена_ ряда, индекс_конечного_члена ряда. Примеры использования sum() собраны в табл. В первом примере (табл. 5) Максима сразу записывает сумму конечного ряда, которую рассчитала с помощью функции sum();. Во втором примере Максима отдает предпочтение записи ряда с использованием знака суммы, но задачу с вычислением суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии она тут же решает, если выставить в true значение флага simpsum, который по умолчанию имеет значение false (команда %i33). В любом случае, Максима не желает ни упрощать, ни суммировать до бесконечности, если не указан флаг simpsum. В последнем примере Максима не может получить точное значение суммы бесконечного ряда и суммировать неограниченно (до ∞) тоже отказывается, но, тем не менее, мгновенно 69 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima просуммировала ряд, когда мы количество членов ряда ограничили значениями 10, 100 и 1000. Максима возьмется суммировать ряд, если даже мы попросим просуммировать миллион слагаемых, нов таком случае ее вычисления нам придется прервать, так как она это будет делать очень долго, да и рассчитанные ею первые 16 цифр при этом никак не изменятся. Таблица Нахождение суммы ряда Ряд Вычисления ряда в По умолчанию Максима производит вычисления с точностью 16 знаков, но может делать вычисления с любой заданной точностью. Количество значащих цифр в представлении числа определяется специальной переменной Увеличение ее значения приводит к возрастанию точности результата. Для вывода результата в этом случае понадобится несколько строк. Однако графический интерфейс wxMaxima не предусматривает вывод одного числа в несколько строк. Ноу нас не будет ограничений если мы воспользуемся консольной версией Maxima (рис. На рис. 48 продемонстрирована возможность Максимы работать с числами произвольной длины. Maxima была запущена из терминала, с удовольствием она рассчитала все знаки числа 80! Кроме того, Maxima для примера вывела 70 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima первые 220 знаков числа π. Чтобы работать с числами большой длины, здесь была использована функция block(), у которой первый аргумент – переменная fpprec, ей попутно присвоено значение 220, второй аргумент – функция bfloat(), выводящая число π в экспоненциальном формате вида mbn, означающем краткую запись числа Рис. 48. Максима в консольной версии выводит 220 знаков числа Однако графический интерфейс wxMaxima такими возможностями не располагает. Для 50! графический интерфейс wxMaxima результат выводит, но для 80! графический интерфейс wxMaxima приводит лишь первые и последние 30 знаков факториала и указывает число пропущенных [59 digits] цифр. Заметим, что графический интерфейс xMaxima не только обладает всеми возможностями консольной версии Maxima, но и имеет собственное меню и позволяет даже рисовать графики. Выше уже отмечались скромные возможности этого интерфейса (рис. 2), но, заметим, этот интерфейс совершенно необходим для рисования полноценных графиков. Если xMaxima не установлена, ее нужно доустановить. Чтобы узнать, установлен ли этот интерфейс на компьютере нужно из консоли дать команду xmaxima. После загрузки xmaxima в верхней части окна появляется приглашение видав нижней части окна xMaxima приведены некоторые примеры использования Максимы с текстом на английском языке. После того как была написана команда (%i1) plot2d(exp(–u)*sin(u),[u,0,2* %pi]); тут же в этом окне Максима вывела график, приведенный на рис. 49. 71 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Рис. 49. График в графическом окне xMaxima 10. Решение задач линейной алгебры В данном разделе будут рассмотрены основные операции с матрицами. Для задания матрицы используется функция В этих примерах были определены две квадратные матрицы второго и третьего порядка. 10.1. Операции с матрицами Сложение и вычитание матриц осуществляется поэлементно. Поэлементно могут быть перемножены или поделены элементы двух матриц или поэлементно (к каждому элементу матрицы) могут быть применены функции exp(); sqrt(); (табл. Возведение в степень x y будет записано символически (табл. 6). Поэлементное умножение обозначается символом *, поэлементное деление – символом /, поэлементное возведение в степень ^. Для сложения и вычитания матриц они должны быть одинакового размера. Ранг матрицы – rank(M) и определитель – determinant(M) определены только для квадратных матриц, транспонировать – transpose(M) можно любые матрицы, но при задании матриц нужно следить затем, что они являются прямоугольными. Далее мы рассмотрим основные операции с матрицами на конкретных примерах. Для этого будем использовать две матрицы x и y. 72 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Таблица Операции с матрицами 10.2. Умножение матриц и возведение их в степень Умножение матриц (обозначается как пробел, точка, пробел) производится по правилу "строка умножается на столбец. Возведение матрицы в степень, обозначенное как ^ сводится к поэлементному возведению в степень компонент матрицы, но возведение в степень вида ^^ выполняется как умножение матрицы самой на себя требуемой число раз. Возведение в степень ^^(–1) означает поиск обратной матрицы. Таблица Умножение матриц Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima 10.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений Системы линейных уравнений могут быть решены различными способами 1) Например, методом Крамера система двух уравнений с двумя неизвестными может быть решена так: откуда следует, что решение системы уравнений в аналитическом виде следующее u = (d E–bF)/(a d–b c); v = (a F–c E)/(a d–b c). 2) Эту же самую систему уравнений вида АХ = В с использованием обратной матрицы А можно решить следующим образом ХА В 3) Ас использованием функции solve() ответ получим быстрее всего Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima 11. Вопросы и задания для самостоятельной работы На рис. 37 приведены греческие буквы. Задание 1). Настройте через меню Правка | Настройка | Стиль конфигурацию wxMaxima, чтобы можно было использовать греческие буквы. Задание 2). Запишите греческие буквы в виде матрицы риса Вопрос 1. Как получить транспонированную матрицу b) с помощью функции transpose()? (Для записи греческих букв использованы следующие тексты \alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon,\zeta,\eta,\theta, \iota, \kappa, \mu,\nu,\xi,\tau,\upsilon,\rho,\sigma, o,\pi, \phi, \chi,\psi,\omega,\Lambda,\Sigma Рис. 50. Греческие буквы в интерфейсе Вопрос 2. Как получить текст записи matrix(...) матрицы b) в окне многострочного ввода (те, как, пользуясь построчной записью матрицы, получить запись по столбцам)? Задание 3. Вычислите определитель матрицы a) и матрицы b). Докажите, что они равны друг другу. Вопрос 3. Как вычислить ю цифру в записи числа π, если функция floor() вычисляет целую часть выражения, а mod(...,...) – остаток отделения (Например floor(10/3); возвращает 3, mod(20,3); возвращает Вопрос 4. Что больше π e или Вопрос 5. А насколько (в процентах) большее из чисел ( π e или e π ) больше меньшего? Задание 4. Вычислите G = ∑ n=1 n=N 1 n − logN и найдите N 0 , начиная с которого с точностью 9 знаков эта величина с ростом N не изменяется. Задание 5. Разложите на множители числа 10 10 –1 и 10 10 +1. Вопрос 6. Пьер Ферма считал, что все числа вида , где n целое неотрицательное число – простые. Начиная с какого n Maxima опровергнет утверждение Ферма Задание 6. Разложите на множители полином x 3 − 7x Задание 7. Постройте астроиду x = cos 3 t; y = sin 3 t. 75 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Задания 8 – 37 . Упростите алгебраическое выражение (Задачи 8–117, предназначенные для самостоятельного решения, взяты из учебника для вуза [10], снабжены ответами Упростите алгебраическое выражение Ответ 8 x 4 − x 3 − 11 x 2 9x18 x 4 − 3x 3 − 7 x 2 27 x−18 / x 3 − 9 x 2 26 x−24 x 3 − 8 x 2 19 x−12 x1 x−1 9 2− x x1 3 x 4 − 24 x 3 − 3 x 2 204 x−252 220 x−70 x 2 − 168−15 x 3 10 x 4 − x 5 3 x1 10 x 3 2 x 2 4 x8 x 5 5 x 4 − 16 x−80 2 x 4 10 x 3 − 16 x−80 x 2 2 x4 2 11 2 x 4 10 x 3 − 2 x−10 x 2 x1 x 3 x 2 x1 x 5 5 x 4 − x−5 2 12 4 x 4 x 5 − 81 x−324 3 x 4 10 x 3 − 81 x−270 3 x 3 19 x 2 57 x90 x 4 7 x 3 21 x 2 63 x108 1 13 4 x 5 40 x 4 100 x 3 − 80 x 2 − 320 x 256 x 4 x 3 − 9 x 2 11 x−4 . 3 x 3 − 3 x 2 x 2 8 x 16 12 x 2 14 5 x 4 10 x 3 − 100 x 2 − 330 x 225 x 4 x 3 − 7 x 2 − x 6 / x 2 − 2 x −15 x 2 − 3 x2 5 15 x 3 3 x 2 − 9 x −27 x 3 − 5 x 2 − 15 x−72 . x 4 − 8 x 3 − 27 x 216 49 x 4 − 882 x 2 3969 1 49 16 7 x 4 − 126 x 2 567 x 5 − 8 x 4 − 27 x 2 216 x . x 3 − 5 x 2 − 15 x −72 x 3 3 x 2 − 9 x −27 7 x 17 x 3 6 x 2 12 x 8 x 2 3 x −4 . x 4 x 3 − 9 x 2 11 x −4 9 x 5 36 x 4 9 x 3 − 90 x 2 − 36 x 72 1 9 18 x 3 − x 2 − 4 x4 x 3 − 3 x 2 . 3 x −3 2 x −4 3 2 19 x 4 2 x 3 − 72 x 2 − 416 x−640 9 x 3 − 144 x 2 180 x 360 . x −10 x 2 8 x 16 1 9 20 x 4 x 3 − 3 x 2 − 5 x−2 9 x 3 − 351 x 2 3240 x3600 . x 2 − 40 x 400 x 3 − 3 x −2 1 9 21 2 x 4 4 x 3 − 4 x−2 x 3 x 2 − x −1 . x 4 − 7 2 x 2 x 4 − 7 76 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima № Упростить алгебраическое выражение Ответ 22 4 x 4 4 x 3 − 48 x 2 − 112 x−64 2 x 3 4 x 2 − 32 x −64 . x 4 x 2 3 x 2 2 23 4 x 4 35 x 3 − 45 x 2 − 315 x 81 8 x 4 166 x 3 1038 x 2 1674 x−486 . x9 x 2 − 6 x 9 1 2 x −6 24 x 4 x 3 − 7 x 2 − x 6 5 x 4 10 x 3 − 100 x 2 − 330 x −225 . x 3 − 2 x 2 − 15 x x 2 − 3 x 2 x 5 25 220 x −70 x 2 − 168−15 x 3 10 x 4 − x 5 3 x 4 − 24x 3 − 3 x 2 204 x −252 . 3 x 2 − 6 x 2 12 x −2 x 2 − 4 26 x 2 3 x 2 x 2 − 16 . 2 x 3 4 x 2 − 32 x −64 4 x 4 4 x 3 − 48 x 2 − 112 x−64 1 2 x −8 27 8 x 4 166 x 3 1038 x 2 1674 x−486 4 x 4 − 45 x 2 35 x 3 − 315 x 81 . x 2 − 9 x 2 12 x 27 2 28 4 x 5 40 x 4 100 x 3 − 80 x 2 − 320 x256 x 4 x 3 − 9 x 2 11 x−4 . 3 x 3 − 3 x 2 x 2 8 x16 9 29 x 3 x 2 − x −1 2 x 4 4 x 3 − 4 x−2 . 2 x1 x 2 2 1 x 2 2 30 4 x 5 40 x 4 100 x 3 − 80 x 2 − 320 x256 x 4 x 3 − 9 x 2 11 x−4 . 3 x 3 − 3 x 2 x 2 8 x16 9 31 2 x −4 x−1 . x 3 − 3 x 2 x 3 − x 2 − 4 x 4 2 32 x 3 − 3 x−2 x 2 40 x 400 . 9 x 3 − 351 x 2 3240 x 3600 x 4 x 3 − 3 x 2 − 5 x −2 9 33 5 x 4 10 x 3 − 100 x 2 − 330 x −225 x 4 x 3 − 7 x 2 − x 6 . x 2 − 3 x2 x 2 − 2 x−15 5 34 9 x 5 36 x 4 9 x 3 − 90 x 2 − 36 x72 x 4 x 3 − 9 x 2 11 x −4 . x 3 3 x 2 − 4 x x 3 6 x 2 12 x8 9 x 35 x 2 8 x 16 x 2 − x . x 4 x 3 − 9 x 2 11 x−4 4 x 5 40 x 4 100 x 3 − 80 x 2 − 320 x256 1 4 x 36 x 3 2 x 2 4 x 8 x 5 5 x 4 − 16 x −80 . 3 x 4 10 x 3 − 16 x −80 x 2 2 x4 2 37 4 x 5 40 x 4 100 x 3 − 80 x 2 − 320 x256 x 4 x 3 − 9 x 2 11 x−4 . 3 x 3 − 3 x 2 x 2 8 x16 x 77 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Задания Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые Раскройте скобки Ответ x 2 5 x2 x 4 x 2 − 20 39 x62 x33 x5 6 x 3 55 x 2 129 x 90 40 x −10 x4 3 x 4 2 x 3 − 72 x 2 − 416 x−640 41 2 x−1 x 1 3 2 x 4 4 x 3 − 4 x−2 42 9 x−1 2 x2 3 9 x 5 36 x 4 9 x 3 − 90 x 2 − 36 x72 43 x−1 3 x4 x 4 x 3 − 9 x 2 11 x −4 44 2 x2 x63 x7 6 x 3 62 x 2 − 184 x 168 45 x3 x4 x 2 9 x 4 7 x 3 21 x 2 63 x 108 46 x x−33 x 10 x3 2 3 x 5 19 x 4 3 x 3 − 171 x 2 − 270 x 47 x−3 x3 x 4 x 2 9 4 x 4 x 5 − 81 x −324 48 3 x10 x3 2 3 x 3 28 x 2 87 x90 49 2 x−2 x5 x 2 2 x4 2 x 4 10 x 3 − 16 x −80 50 x−2 x2 x 5 x 2 4 x 5 5 x 4 − 16 x −80 51 x 2 x−5 x3 2 x 5 x 4 − 21 x 3 − 45 x 2 52 x 2 − 5 x3 2 x 4 6 x 3 4 x 2 − 30 x−45 53 x2 2 x32 x 2 5 4 x 4 14 x 3 22 x 2 35 x 30 54 2 x−2 x2 2 x 5 2 x 4 14 x 3 12 x 2 − 56 x −80 55 x x−3 x4 x 3 4 x 6 4 x 3 x 5 4 x 2 − 48 x −12 x 4 56 x2 2 x−3 x 3 4 2 x 5 8 x 2 x 4 4 x −6 x 2 − 24 57 x−7 4 x−3 x 2 3 4 x 4 − 31 x 3 33 x 2 − 93 x63 58 x−6 x −5 2 x−3 2 x 3 − 25 x 2 93 x −90 59 2 x−47 x5 x 2 − 3 14 x 4 − 82 x 2 − 46 x 3 138 x 120 60 x−2 x2 2 3 x−5 14 x 4 − 82 x 2 − 46 x 3 138 x120 61 x−2 x2 x 36 x5 3 x 4 x 3 − 22 x 2 − 4 x 40 78 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima № Раскройте скобки Ответ 4 x−1 x1 x3 4 x7 6 x 4 23 x 3 − 9 x 2 − 92 x−60 63 − x−3 x 4 x 3 5 − x 5 − x 4 12 x 3 − 5 x 2 − 5 x60 64 − 2 x −4 x3 2 x5 − 6 x 2 58 x120−4 x 3 65 x x9 x 2 7 x 4 7 x 2 9 x 3 63 x 66 − x−9 x−7 x 2 4 16 x 3 − 67 x 2 64 x−x 4 − 252 67 x4 x85 x−4 5 x 3 56 x 2 112 x Задания 68 –97 . Разложите алгебраическое выражение на множители Разложите на множители Ответ x 2 4 x8 x2 x 2 4 69 6 x 3 55 x 2 129 x 90 x62 x33 x5 70 x 4 2 x 3 − 72 x 2 − 416 x−640 x −10 x4 3 71 2 x 4 4 x 3 − 4 x−2 2 x−1 x 1 3 72 9 x 5 36 x 4 9 x 3 − 90 x 2 − 36 x72 9 x−1 2 x2 3 73 x 4 x 3 − 9 x 2 11 x −4 x−1 3 x4 74 6 x 3 62 x 2 − 184 x 168 2 x2 x63 x7 75 x 4 7 x 3 21 x 2 63 x 108 x3 x4 x 2 9 76 3 x 5 19 x 4 3 x 3 − 171 x 2 − 270 x x x−33 x 10 x3 2 77 4 x 4 x 5 − 81 x −324 x−3 x3 x 4 x 2 9 78 3 x 3 28 x 2 87 x90 3 x10 x3 2 79 2 x 4 10 x 3 − 16 x −80 2 x−2 x5 x 2 2 x4 80 x 5 5 x 4 − 16 x −80 x−2 x2 x 5 x 2 4 81 x 5 x 4 − 21 x 3 − 45 x 2 x 2 x−5 x3 2 82 x 4 6 x 3 4 x 2 − 30 x−45 x 2 − 5 x3 2 83 4 x 4 14 x 3 22 x 2 35 x 30 x2 2 x32 x 2 5 84 2 x 4 14 x 3 12 x 2 − 56 x −80 2 x−2 x2 2 x 5 79 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima № Разложите на множители Ответ 85 x 6 4 x 3 x 5 4 x 2 − 48 x −12 x 4 x x−3 x4 x 3 4 86 2 x 5 8 x 2 x 4 4 x −6 x 2 − 24 x2 2 x−3 x 3 4 87 4 x 4 − 31 x 3 33 x 2 − 93 x63 x−7 4 x−3 x 2 3 88 2 x 3 − 25 x 2 93 x −90 x−6 x −5 2 x−3 89 14 x 4 − 82 x 2 − 46 x 3 138 x 120 2 x−47 x5 x 2 − 3 90 14 x 4 − 82 x 2 − 46 x 3 138 x120 x−2 x2 2 3 x−5 91 3 x 4 x 3 − 22 x 2 − 4 x 40 x−2 x2 x 36 x5 92 6 x 4 23 x 3 − 9 x 2 − 92 x−60 4 x−1 x1 x3 4 x7 93 − x 5 − x 4 12 x 3 − 5 x 2 − 5 x60 − x−3 x 4 x 3 5 94 − 6 x 2 58 x120−4 x 3 − 2 x −4 x3 2 x5 95 x 4 7 x 2 9 x 3 63 x x x9 x 2 7 96 16 x 3 − 67 x 2 64 x−x 4 − 252 − x−9 x−7 x 2 4 97 5 x 3 56 x 2 112 x −128 x4 x85 Задания 98 – 107 . Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Рациональная дробь Рациональная дробь x 4 7 x 3 5 x−4 x 2 4 x−2 2 x 2 − 1 103 x 6 3 x 3 4 x12 x 2 − 253 x 2 9 x 99 3 x 5 6 x 3 5 x −1 x 2 − 4 x3 x−2 2 x 2 − 16 104 3 x 5 x 2 4 x 5 x 2 6 x−13− x x2 100 x 5 − 7 x 4 2 x −8 x 3 − 4 x 2 5 x x−3 2 105 2 x 6 − 3 x 4 9 x 2 − 2 x−154 x1 101 x 3 2 x 2 3 x4 x 2 − x 3− x x −3 106 7 x 5 − 5 x 6 1 x 2 − x x 3 x 2 − 9 102 3 x 4 3 x4 x 2 − 1 x 2 − 9 107 8 x 5 − 14 x 3 34 x x 2 − x 7− x 2 80 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Ответы на задание "Разложите рациональную дробь на простейшие дроби x 635 507 x 2 4 x1 − 1 18 x1 − 5 6 x−1 989 1521 x−2 7 39 x−2 2 99 1159 3360 x4 13 30 x−1 92 3 x−2 51 4 x−2 2 − 905 14 x−3 3475 96 x−4 100 − 111 x−479 10 x 2 − 4 x5 − 8 45 x 257 18 x−3 − 163 3 x−3 2 1 101 4 9 x − 5 2 x−1 19 18 x−3 − 29 3 x−3 2 102 − 119 24 x3 1 4 x1 − 5 8 x−1 16 3 x−3 3 103 x 2 − 3 x34 3 − 7621 150 x 5 9 2 x3 − 4 75 x 334 25 x−5 104 22039 x−2724 54255 x 2 6 x−1 − 15 x−3 25 − 20 7 x2 − 75 31 x−3 105 64 x 3 112 x 2 1092 x3887 128 − 18409 29568 4 x1 153 11 x3 3673 21 x−5 106 − 5345 1944 x3 10 81 x 10 81 x 2 1 9 x 3 1 9 x 4 − 3 8 x−1 − 1943 972 x−3 107 − 306 343 x − 34 49 x 2 7 9 x−1 370793 3087 x−7 64844 147 Задания 108 –117 . Графически исследуйте решение нелинейных уравнений и получите решение. № Решите уравнение Решите уравнение cos2 x 1 113 25−x 2 = arctg 2 x 109 10 1 x 2 = 2 sin 2 xx 114 x 3 2 x 2 3 x4 x 2 − x3− x 3 x 2 − 81 110 10 x−2 3x 2 = 2 cos2 x 4 x 115 arctg 2 x− x−1 4 5 sin 2 5x =0 111 10 1 x 2 = 2 cos 2 x x 116 sin 2 x⋅ 81−x 2 = 5 e − x 2 112 sin x⋅ 81−x 2 = 5 arctg x 117 x 2 − 9 x 2 4 = x 2 1 e x cos x 81 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima |