Учебное пособие Москва 2008
 Скачать 3.68 Mb.
|
|
6.2. Тригонометрические функции Синусоиду sin(x) полезно сравнить с аналогичными ей синусоидами sin(2x) ирис Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Можно даже не переживать оттого, что встроенный формат отошлёт к функции wxplot2d интерфейса wxMaxima, в котором масштабы по разным осям будут различными, так как в данном случае различие масштабов некритично: по оси абсцисс отложены какие-то углы, а по оси ординат - синусы этих углов. Рис. 14. Синусоиды sin(x), sin(2x) и Более того, интуитивно должно быть более преемлемо и, возможно даже, математически правильнее использовать для этих графиков именно разный масштаб. Дополнительная опция “set grid;” , вполне возможная и во встроенном формате gnuplot интерфейса wxMaxima позволяет прорисовать на графике сетку. Функцию cos(x) полезно рассмотреть совместно с графиками x и x*cos(x), что называется "два водном. Можно одновременно рассматривать не только косинусоиду, но и то, что произойдет, если перемножить функцию y=cos(x) с функцией y=х. Рис. 15. Графики y=x, y=–x, y=cos(x), y=x*cos(x) 40 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Конечно же, для этого графика лучше использовать формат gnuplot , позволяющий выравнивать масштабы по разным осям координат (рис. 15), что нам в данном случае необходимо для правильной интерпретации графика y=х. Кроме того, полезно построить другую комбинацию этих функций вида , где cos(x) находится в знаменателе (рис. 16, рис. 17). График этой комбинации функций получился на рис. 16 неожиданными таким интересным из-за того, что функция cos(x) имеет на заданном промежутке точки разрыва. Рис. 16. Точки разрыва графика Поскольку в команде нарисовать график мы не указали интервал изменения переменной у, а по умолчанию Maxima производит вычисления с точностью 16 знаков, то Максима выбрала масштаб 1*10 16 и пытается втиснуть график от –3 единицы масштаба до +3 единицы выбранного масштаба. Однако, если мы укажем относительно небольшой интервал изменения переменной у, например, от –10 до +10, вид графика окажется более понятными даже логичным (рис. Рис. 17. Графики функций y=x, y= –x, В тех точках, где cos(x)=1, отношение х) оказывается равно хи мы попадаем на график y=x, y= –x); в других точках, где cos(x)=0, функциях Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima терпит разрывы, одна ветвь уходит на +∞, другая возвращается с Тангенс равен нулю в точке хи обращается в бесконечность в точках , соответственно функция котангенс в точке х имеет разрыва в точках обращается в нуль, так как ctg(x)=1/tg(x) (рис. 18). Рис. 18. Графики y=tg(x), Максима отмечает, что в точке х котангенс не определен (The number 0.0 isn’t in the domain of cot), однако про аналогичные точки , в которых тангенс терпит разрыв, она умалчивает (прогуливаясь по множеству точек на оси х, Максима в точки разрыва не попадает ввиду специфичности численных значений этих точек 6.3. Обратные тригонометрические функции Значения обратных тригонометрических функций Максима рисует только впервой четверти – функции должны быть однозначными. Рис. 19. Графики обратных тригонометрических функций Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima 6.4. Экспонента и логарифм Экспоненту и логарифм натуральный можно нарисовать и во встроенном формате интерфейса Рис. 20. Графики двух экспонент На рис. 20 одна экспонента растет, другая – экспоненциально – убывает, логарифмы натуральные этих экспонент приведены на рис. Рис. 21. Графики логарифма натурального Рассматривая графики логарифмов, многие отметят, что они очень похожи на две экспоненты с предыдущего графика, но только их ветви смотрят в другую сторону. Конечно же, если график с экспонентами повернуть почасовой стрелке на о и выровнять соответствующие масштабы этих двух графиков по осям у их, то графики экспонент и логарифмов совпадут, так как это взаимообратные функции. 43 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima 6.5. Графики параметрически заданных функций Для построения графика используется список с ключевым словом parametric. В качестве наиболее простого примера обычно приводят параметрическую окружность (рис. Рис. 22. График параметричеcкой окружности y = cos(x), x = В общем случае для получения графика параметрической кривой записывается команда plot2d([parametric, выражение, выражение, переменная, начало, конец, [nticks, количество, где выражение и выражение задают зависимость координат от параметра, то есть, по сути, это две функции вида x=x(t), y=y(t), где t — переменная параметризации. Этаже переменная должна фигурировать в следующем аргументе–списке, а параметры начало, конец, как ив двух других рассмотренных случаях, задают отрезок, в пределах которого этот параметр будет изменяться. Последний аргумент–список, с ключевым словом nticks , задает количество кусочков, на которые будет разбит интервал изменения параметра при построении графика. Интерфейс wxMaxima достаточно удобен и не требует умения запоминать и безошибочно вводить длинный текст–вызов функции plot2d со всеми её параметрами. Достаточно лишь заполнить две вспомогательные формы для построения параметрического графика. После запуска wxMaxima и щелчка по кнопке График 2D... появляется окно диалога График 2D. А после щелчка по кнопке Дополнительно на этой форме появляется второе окно Параметрический график. Для получения графика теперь достаточно лишь ответить на вопросы этих двух форм. На рис. 23 приведены заполненные информацией окна–формы для вывода графика параметрической окружности, изображенной на рис. 22. 44 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Рис. 23. Окна–формы для задания вида параметрического графика Формы существенно упрощают технологию ввода команд для рисования параметрических графиков и позволяют не запоминать весьма сложный синтаксис функции plot2d. Так, например, на рис. 23 приведена только незначительная часть информации, на основе которой сформирована команда для Максимы в виде х строчек текста, приведенная на рис. 22. Текст для команды, позволяющей совместить на одном рисунке два параметрических графика, еще более длинен и более труден для точного набора, но окна–формы Графики Параметрический график позволяют достаточно просто совместить на одном рисунке два параметрических графика. С этой целью сначала нужно построить первый график. Затем щелкнуть в графической части окна интерфейса wxMaxima на тексте–вызове plot2d(['param... первого графика и после выделения текста–вызова щелкнуть сначала по кнопке Графика затем по кнопке Дополнительно. После заполнения сведений о втором графике на одном рисунке появятся два графика. Например, такие (рис. Рис. 24. Две параметрические функции, совмещенные на одном графике Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Отметим, какие действия при этом осуществляет Максима. При выделении текста–вызова функции часть выделенного текста сначала попадает в буфер обмена, а после вызова окна–формы График 2D эта информация о виде первой функции и диапазоне изменения переменных из буфера обмена попадает в поле Выражение(ния) . Обратите внимание на то, что на предыдущем рисунке действительно поле ввода Выражение(ния) непустое и информация о первой функции там имеется. Заметим попутно, что физический смысл параметрической функции состоит в визуализации процесса перемещения светящейся точки (луча) по экрану осциллографа. Если угол между положительным направлением оси оХ и радиус–вектором точки обозначить через t, расстояние от точки до начала координат обозначить через R, то из формул геометрии следует, что абсцисса и ордината этой точки равны x=Rcos(t) и y=Rsin(t), соответственно. Если же абсцисса и ордината точки изменяются, например, по закону x=cos(t) ив то время как угол t изменяется от –π дотов это время точка совершает полный оборот против часовой стрелки из крайне левой точки окружности единичного радиуса в туже самую точку. Такие устойчивые картины на экране осциллографа называются фигурами Лиссажу. Фигуры Лиссажу́ — это замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координата стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний. Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между периодами (частотами, фазами и амплитудами обоих колебаний. В случае рационального отношения частот этих колебаний траектории замкнуты и именно они называются фигурами Лиссажу. Наследующем рис. 25 две другие фигуры Лиссажу совмещены Максимой на одном и том же графике. Отметим еще раз, что редактирование текста команды, вызывающей функцию wxplot2d, удобнее всего осуществлять через Многостраничный ввод в окне Вводи пользоваться свойством Максимы запоминать исполненные ею команды. Дело в том, что при наборе длинной команды можно ошибиться. Узнав о характере ошибки и вызвав предыдущий текст (в котором имеется ошибка, необходимо будет только лишь исправить допущенные опечатки. Чтобы "вспомнить" текст исполненной команды, используйте клавишу клавиатуры "Стрелка вверх. Чтобы запомненный текст попал в окно Ввод wxMaxima, сначала его нужно выделить (щелчком мыши) в графической части интерфейса wxMaxima, а затем тут же щелкнуть мышью по кнопке «многострочный ввод интерфейса wxMaxima. Чтобы текст ранее исполненной команды попал в окно ВВОД, служит клавиша F5, а также пункт Выделение во ввод меню Правка Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Рис. 25. Две фигуры Лиссажу на одном графике 6.6. Дискретный график может нарисовать график по координатам отдельных дискретных точек. Для этого ей нужны два списка один — для значений абсцисс дискретных точек, второй — для значений ординат этих точек. Например, следующие две пары списков координат точек позволяют нарисовать шестиугольники пятиконечную звезду (рис. Рис. 26. Шестиугольники звезда нарисованы по координатам вершин Соответствующие массивы значений (координаты х точек, и координаты уточек) могут быть введены через вспомогательные окна–формы Графики Дискретный график последнее вызывается щелчком по кнопке Дополнительно. 47 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений На рис. 27 представлен интерфейс для ввода координат чисел для получения дискретного графика в виде пятиконечной звезды, приведенной на рис. 27. Рис. 27. Интерфейс ввода координат точек для дискретного графика Массивы чисел, если необходимо, Maxima может генерировать автоматически. Для этой цели в Maxima имеется функция makelist(expr, i, i_0, i_1); генерирующая список значений, для которого expr – это вычисляемое выражение, зависящее от переменной i, принимающей значения от i_0, до В следующем примере (рис. 27) массив чисел [1, 2, ..., 15] создан автоматически функцией makelist(x,x,1,15) (где в качестве выражения взята величинах. Этот массив далее используется в качестве координат х точек, массив data значений координату точек также получен автоматически, но как массив случайных чисел, с этой целью использовалась функция random(x); Рис. 28. Дискретный график координат случайных чисел Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений В следующем примере мы поступили наоборот абсциссы точек графика рассчитали с помощью функции makelist();, а абсциссы оставили нерассчитанными, но описали функцию f(x), которая будет рассчитывать эти значения. По рассчитанным координатам был построен дискретный график, на котором нанесена сетка, а точки не соединены линией. Команда получилась такой wxplot2d([discrete, x, f(x)], [gnuplot_preamble, "set grid; "], [style, Рис. 29. Дискретный график, точки не соединены линиями На рис. 30 совмещены два параметрических графика и три дискретных графика. Графики нарисованы для того, чтобы пояснить геометрический смысл параметра параметрической функции как величины полярного угла. Первый график — это параметрическая окружность единичного радиуса x=cos(t), y=sin(t), параметр t которой (он же угол в полярной системе координат) изменяется от – до , пятый — discrete5 — график [discrete, [[.707,.707]]],[style, points] – это отдельная "светящаяся" точка с координатами , в эту "светящуюся" точку направлен радиус–вектор discrete4 (он же гипотенуза прямоугольного треугольника, при ней два катета) – помечен как четвертый график – [discrete, [[0,0],[.707,0],[.707,.707],[0,0]]], величина полярного угла на рисунке показана для гипотенузы (те. радиус–вектора) с помощью параметрической дуги x=cos(t)/2, y=sin(t)/2, для которой угол t параметрически изменяется от 0 до π/4 – второй график, на конце дуги имеется стрелка (треугольник, которую реализует discrete3 – третий график [discrete, [[.35,.35],[.36,.31],[.4,.34],[.35,.35]]]. 49 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Рис. 30. Графики, поясняющие смысл параметра t параметрической функции 6.7. Графики в полярной системе координат Если использовать две окружности с одинаковыми радиусами и вращать одну вокруг другой (рис. 31), то получится кардиоида (греч. кардиа – сердце) — по мнению математиков, получаемая кривая отдаленно напоминает сердце рис. 32). Рис. 31. Кардиоиду рисует выделенная точка окружности движущейся подругой окружности Рис. 32. График кардиоиды в полярной системе координат В прямоугольной декартовой системе координат уравнение кардиоиды имеет сложный вид (x 2 + y 2 – ax) 2 = a 2 (x 2 + y 2 ). Нов полярной системе координат (x = ρcos(t), y = ρsin(t)) уравнение кардиоиды имеет простой вид ρ = a + a cos(t), 50 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima где ρ – расстояние от точки кривой до начала координат, t– полярный угол, a – диаметр окружности. Команда для рисования графика получается достаточно сложной, поэтому мы приводим ее отдельно (рис. Рис. 33. Команды для Maxima , для вывода кардиоиды в полярной системе координат Отметим, что в Maxima графики в полярной системе координат рисует функция draw2d(); но, прежде чем пользоваться этой функцией, нужно попросить Maxima дополнительно загрузить этот модуль оператором load(draw). Непосредственно построением графика занимается функция polar(ρ,theta, theta_0, theta_M). Функция draw2d(); использует эту функцию (см. рис. 32). 7. Трехмерные графики Многие трехмерные графики могут быть построены естественным образом в привычной прямоугольной декартовой системе координат, как поверхность вида z = f(x,y) (рис. 33–37). Рис. 34. График функции z =±c 1− x 2 a 2 − y 2 b 2 (эллипсоид) Эллипсоид. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовой системе координат имеет вид Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima x 2 a 2 y 2 b 2 z 2 c 2 = 1 откуда находим z =±c 1− Поскольку построение нескольких поверхностей на одном графике Максима не практикует, а функция должна быть однозначной, мы можем построить только верхнюю часть эллипсоида z>0 или его нижнюю часть Отметим, что в данном конкретном случае полуоси эллипсоида совпадают, и фактически нарисована верхняя часть сферы, но если мы попытаемся взять другие численные значения для полуосей a, b, c, все равно график визуально окажется таким же, потому что Максима выберет по осям координат другой масштаб и различие окажется незаметным. Кроме того отметим, что окно Gnuplot, содержащее график, легко масштабируется и его можно сделать любой ширины и высоты, а изображенную поверхность можно поворачивать и разглядывать и с любого бока, и сверху, и снизу. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида в декартовой системе координат имеет вид откуда следует z График нижней части для z<0 однополостного гиперболоида приведен на рис. 35. Верхняя часть представляет собой зеркальное отражение нарисованной части относительно горизонтальной плоскости z=0 (нечто вроде воронки с отверстием). Рис. 35. График функции z =−c x 2 a 2 y 2 b 2 − 1 (однополостный гиперболоид ) Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида в декартовой системе координат имеет вид откуда получаем z =±c x 2 a 2 − y 2 b 2 − 1 52 Стахин НА, Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений График нижней части z<0 двуполостного гиперболоида приведен на рис. 35. Две несвязанные отдельные полости гиперболоида расположены слева и справа относительно середины рисунка. Чтобы представить как выглядят полости нужно на нарисованную часть мысленно положить сверху ее отражение относительно горизонтальной плоскости в вертикальном направлении – точно такую же, верхнюю часть (для z>0) двуполостного гиперболоида. Рис. 36. График функции z =−c x 2 a 2 − y 2 b 2 − 1 (двуполостный гиперболоид ) |