задачи по физике. Учебное пособие по решению задач по физике для студентов вечернего отделения Моск гос инт радиотехники, электроники и автоматики
 Скачать 0.6 Mb.
|
Примеры решения задач. Задача 1. На дифракционную решетку с периодом d=10 мкм под углом α=30 0 падает монохроматический свет с длиной волны λ=600 нм. Определить угол ϕ дифракции, соответствующий второму главному максимуму. Решение. При освещении дифракционной решетки монохроматическим светом с длиной волны λ, падающим под углом α, главные максимумы интенсивности наблюдаются в направлениях ϕ, определяемых соотношением: d(sin ϕ−sinα) = ±kλ, где k - порядок максимума, λ - длина волны. Используя эту формулу, получаем: α λ φ sin sin + ± = d k По условию задачи k=2. Подставляя численные значения, находим ϕ 1 =38,3 0 , ϕ 2 =22,3 0 Ответ: ϕ 1 =38,3 0 , ϕ 2 =22,3 0 30 Задача 2. Сколько штрихов на один миллиметр n содержит дифракционная решетка, если при нормальном падении монохроматического света с длиной волны λ=0.6 мкм максимум пятого порядка отклонен на угол ϕ=18 0 ? Решение. Запишем условие главных максимумов интенсивности при нормальном падении лучей на дифракционную решетку: d ⋅sinϕ=±kλ, где k=0,1,2,3..., d - период решетки, связанный с величиной n соотношением: d=1/n. Отсюда сразу получаем d=k λ/sinϕ, n=sinϕ/kλ.Подставляя числовые значения, находим: n=103 штрихов/мм. Ответ: n=103 штрихов/мм. Задача 3. Какой наименьшей разрешающей силой R должна обладать дифракционная решетка, чтобы с ее помощью можно было разрешить две спектральные линии калия ( λ 1 =578 нм и λ 2 =580 нм)? Какое наименьшее число N штрихов должна иметь эта решетка, чтобы разрешение было возможно в спектре второго порядка? Решение. Разрешающей силой спектрального прибора называется величина R = λ Δλ , где λ - длина волны, Δλ- наименьшая разность длин волн двух спектральных линий, при которой они могут быть разрешены (видны раздельно в спектре) с помощью этого прибора.Для дифракционной решетки R=kN, где k - номер дифракционного максимума, N - полное число штрихов решетки. Тогда можно записать: N=R/k. Подставляя сюда численные значения, получим: R=290, N=145. Ответ: R=290, N=145. Задача 4. Определить наименьший диаметр объектива, с помощью которого со спутника, летящего на высоте h=100 км, 31 можно различить окна зданий размером L 1 м. Принять длину волны света λ=0.5 мкм. Решение. Наименьшее угловое расстояние β между двумя точками, при котором изображения этих точек в фокальной плоскости объектива могут быть видны раздельно, определяется дифракцией на апертуре объектива и равно D λ β 22 1 = , где D - диаметр объектива, λ- длина волны. Согласно условию задачи L << h, и потому β=L/h. Тогда можно записать: D h L λ 22 1 = , откуда находим: L h D λ 22 1 = . Подставив значения, получим D=6.1 см. Ответ: D=6.1 см. Задача 5. Нормально поверхности дифракционной решетки падает пучок света. За решеткой помещена собирающая линза с оптической силой Ф=1 диоптрий. В фокальной плоскости линзы расположен экран. Определить число n штрихов на 1 мм этой решетки, если при малых углах дифракции линейная дисперсия D=1 мм/нм. Решение. Линейная дисперсия прибора дается формулой D l =FD f , где F - фокусное расстояние линзы, собирающей на экране свет, дифрагировавший на решетке, D f = df/dl - угловая дисперсия. Для дифракционной решетки D k d φ φ = cos , где k - порядок спектра, d - период решетки. Для малых углов дифракции справедливо: D l = Fk/d. Принимая во внимание, чтофокусное расстояние линзы F=1/Ф, где Ф - оптическая сила линзы, а d=1/n, получаем следующие выражения: D l =kn/Ф и n=D l Ф/k. Подставляя численные значения для k=1, находим, что n=1000 штрихов/мм. Ответ: n = 1000 штрихов/мм. 32 Задачи для самостоятельного решения. Задача 6. Инфракрасное излучение лазера на углекислом газе с длиной волны λ=10.6 мкм падает нормально на систему параллельных щелей шириной 50 мкм. Расстояние между щелями также равно 50 мкм. Какой максимальный номер k max дифракционного максимума может наблюдаться в этом случае? (Ответ: k max =9.) Задача 7. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновского излучения с длиной волны λ=147 пм. Определить расстояние d между атомными плоскостям кристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается, когда излучение падает под углом θ=31 0 30’ к поверхности кристалла. (Ответ: d=0,28 нм.) Задача 8. С помощью дифракционной решетки с периодом d=20 мкм требуется разрешить дублет натрия ( λ 1 =589.0 нм и λ 2 =589.6 нм) в спектре второго порядка. При какой наименьшей ширине решетки это возможно? (Ответ: L=9.8 мм.) Задача 9. Сколько штрихов n на 1 миллиметр должна иметь дифракционная решетка спектрографа инфракрасного диапазона, чтобы ее разрешающая способность R в десятом порядке была такой же, как у решетки с периодом 1 мкм, предназначенной для работы в первом порядке дифракции? Размеры решеток одинаковы. (Ответ: n=100 штрихов/мм.) Задача 10. При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго и третьего порядков частично перекрывают друг друга. На какую длину волны в спектре второго порядка накладывается фиолетовая граница ( λ 3 =0.4 мкм) спектра третьего порядка? (Ответ: λ 2 =0.6 мкм.) Задача 11. Свет падает нормально на дифракционную решетку ширины L=6.5 см, имеющую 200 штрихов на миллиметр. Исследуемый спектр содержит спектральную линию с длиной волны λ=0.5 мкм, которая состоит из двух компонент, отличающихся на Δλ=0.015 нм. Найти: а) в каком порядке спектра эти компоненты будут разрешены; б) наименьшую 33 разность длин волн, которую может разрешить эта решетка в области λ 670 нм. (Ответ: а) в четвертом; б) Δλ=7 пм.) Задача 12. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки. Каков должен быть период d решетки, чтобы в направлении ϕ=41 0 совпадали максимумы линий λ 1 =656.3 нм и λ 2 =410.2 нм? (Ответ: d=5 мкм.) Задача 13. Угловая дисперсия дифракционной решетки для длины волны λ=668 нм в спектре первого порядка равна d ϕ/d λ =2.02 ⋅10 5 рад/м. Найти период d дифракционной решетки. (Ответ: d=5 мкм.) Задача 14. Постоянная дифракционной решетки равна d=2 мкм. Какую разность длин волн Δλ может разрешить эта решетка в области желтых лучей ( λ=600 нм) в спектре второго порядка? Ширина решетки равна a=2.5 см. (Ответ: Δλ=24 пм.) Задача 15. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Красная линия ( λ 1 =630 нм) видна в спектре третьего порядка под углом ϕ=60 0 . Какая спектральная линия λ 2 видна под этим же углом в спектре четвертого порядка? Какое число штрихов n на единицу длины имеет дифракционная решетка? (Ответ: λ 2 =475 нм, n=460 штр./мм.) Тема 5. Поляризация света Примеры решения задач Задача 1. Пучок света, идущий в воздухе, падает на поверхность жидкости под углом θ 1 =54 0 . Определить угол преломления θ 2 пучка, если отраженный пучок полностью поляризован. Решение. Отраженный пучок света будет полностью поляризован, если свет падает на границу раздела двух сред под углом Брюстера. Угол падения Брюстера определяется условием: tg θ 1 =n 2 /n 1 , где n 1 и n 2 - показатели преломления сред, в которых распространяются, соответственно, падающий и преломленный 34 лучи света. Угол преломления θ 2 можно определить с помощью закона преломления световых лучей на границе раздела двух сред: sin sin θ θ 1 2 2 1 = n n Учитывая, что tg θ 1 =sin θ 1 /cos θ 1 , получаем: sin cos sin sin θ θ θ θ 1 1 1 2 2 1 = = n n Откуда следует, что cos θ 1 =sin θ 2 или sin(90 0 −θ 1 )=sin θ 2 . Так как углы θ 1 и θ 2 оба меньше 90 0 , то последнее соотношение дает 90 0 −θ 1 = θ 2 или θ 1 + θ 2 =90 0 . Таким образом, мы доказали полезное утверждение: если свет падает под углом Брюстера, то сумма углов падения и преломления равна 90 0 . Поэтому в нашей задаче угол преломления равен 90 0 −54 0 =36 0 Ответ: θ 2 =36 0 Задача 2. Предельный угол полного внутреннего отражения пучка света на границе жидкости с воздухом равен θ=43 0 Определить угол Брюстера θ B для падения луча из воздуха на поверхность этой жидкости. Решение. Угол полного внутреннего отражения на границе раздела жидкости с показателем преломления n и воздуха с показателем преломления, равным единице, определяется из условия sin θ=n. Следовательно, показатель преломления жидкости равен n=sin43 0 . Угол Брюстера в данном случае может быть определен из условия tg θ B =n. Следовательно, получаем: θ B =arctg(n)=arctg(sin43 0 )=55 0 45 ′. Ответ: θ B =55 0 45 ′. Задача 3. В частично поляризованном свете амплитуда вектора напряженности электрического поля, соответствующая максимальной интенсивности света, в n=2 раза больше 35 амплитуды, соответствующей минимальной интенсивности света. Определить степень поляризации P света. Решение. По определению, степень поляризации P света равна: P I I I I = − + max min max min , где I max и I min , соответственно, максимальная и минимальная интенсивности света, прошедшего через анализатор. Учитывая, что интенсивность света I пропорциональна квадрату амплитуды E вектора напряженности электрического поля, то есть I=kE 2 ,где k - коэффициент пропорциональности, получаем: P kE kE kE kE E E E E = − + = − + max min max min max min max min 2 2 2 2 2 2 2 2 Согласно условию задачи A max =nE min =2E min , поэтому: 5 3 1 1 2 2 = + − = n n P Ответ: P=0,6. Задача 4. Степень поляризации P частично поляризованного света равна 0.5. Во сколько раз отличается максимальная интенсивность света, пропускаемого через анализатор, от минимальной? Решение. Степень поляризации P света по определению равна: min max min max I I I I P + − = , где I max и I min , соответственно, максимальная и минимальная интенсивности света, прошедшего через анализатор. Поделим числитель и знаменатель этой дроби на I min и получим: 36 1 ) / ( 1 ) / ( min max min max + − = I I I I P Решая последнее уравнение относительно I max /I min , приходим к соотношению I I P P max min = + − 1 1 . Подставляя сюда числовые данные задачи, получаем I max /I min =3. Ответ: I max /I min =3. Задача 5. На пути частично поляризованного света, степень поляризации P которого равна 0.6, поставили анализатор так, что интенсивность света, прошедшего через него, стала максимальной. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, если плоскость пропускания анализатора повернуть на угол α=30 0 ? Решение. Согласно закону Малюса, если на поляризатор падает плоскополяризованный свет с интенсивностью I 0p , то интенсивность света на выходе поляризатора I p будет равна I p =I 0p сos 2 α, где α - угол между плоскостью поляризации падающего света и плоскостью пропускания поляризатора. Если же на поляризатор падает естественный свет - неполяризованный свет со случайными хаотически изменяющимися направлениями колебаний светового вектора - то для определения интенсивности прошедшего света надо в соотношении Малюса произвести усреднение по всевозможным углам α. Учитывая, что среднее значение cos 2 α равно ∫ = = π α α π α 2 0 2 2 2 1 cos 2 1 cos d , получаем ослабление интенсивности падающего естественного света I 0p в два раза. Зная теперь, как поляризованный и естественный свет проходят через поляризатор, представим данный в задаче частично поляризованный свет в виде смеси естественного света с интенсивностью I 0e и плоскополяризован- ного света с интенсивностью I 0p . Если такую смесь пропустить 37 через анализатор, то, как легко видеть с помощью закона Малюса, максимальная интенсивность прошедшего света будет равна I max =I 0p +(1/2)I 0e , а минимальная интенсивность I min =(1/2)I 0e Тогда степень поляризации этого света может быть определена следующим образом: e p p I I I I I I I P 0 0 0 min max min max + = + − = По условию задачи сначала поляризатор установили так, что интенсивность прошедшего света оказалась максимальной, то есть I max =I 0p +(1/2)I 0e . Плоскость поляризации поляризованной компоненты в этом случае совпадает с плоскостью пропускания поляризатора. Если теперь поляризатор повернуть на угол α, то интенсивность поляризованной компоненты света уменьшится в соответствии с законом Малюса, а интенсивность прошедшей естественной компоненты не изменится и будет по-прежнему равна половине интенсивности естественной компоненты в падающем на поляризатор пучке света. В результате, интенсивность прошедшего света станет равной: I I I e p α α = + 1 2 0 0 2 cos Отношение интенсивностей I max /I a , которое надо найти в задаче, I I I I I I p e e p max cos α α = + + 0 0 0 0 2 1 2 1 2 выразим через отношение интенсивностей I 0p /I 0e , поделив числитель и знаменатель одновременно на I 0e . Тогда получим: I I I I I I p e p e max cos α α = + + 0 0 0 0 2 1 2 1 2 Подставив в последнее соотношение выражение для отношения интенсивностей I 0p /I 0e через степень поляризации P падающего света I 0p /I 0e =P/(1 −P), получим искомое отношение интенсивностей: 38 I I P P P P max cos α α = − + + − 1 1 2 1 2 1 2 Используя численные условия задачи, находим: I max /I a =1.23. Ответ: I max /I a =1.23. Задачи для самостоятельного решения Задача 6. Угол Брюстера θ B при падении света из воздуха на кристалл каменной соли равен 57 0 . Определить скорость света в этом кристалле. (Ответ: 1.94 ⋅10 8 м/с.) Задача 7. Угол α между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора равен 45 0 . Во сколько раз уменьшится интенсивность света, выходящего из анализатора, если угол увеличить до 60 0 ? (Ответ: в 2 раза.) Задача 8. Во сколько раз ослабляется интенсивность света, проходящего через два поляризатора, плоскости пропускания которых образуют угол α=30 0 , если в каждом поляризаторе в отдельности теряется 10% интенсивности падающего на него света? (Ответ: в 3.3 раза.) Задача 9. Пластинку кварца толщиной d 1 =2 мм, вырезанную перпендикулярно оптической оси, поместили между двумя поляризаторами, плоскости пропускания которых совпадают. После прохождения пластинки плоскость поляризации света повернулась на угол ϕ=53 0 . Определить толщину d 2 пластинки, при которой свет не проходит через анализатор. (Ответ: d 2 =3.4 мм.) Задача 10. Никотин (чистая жидкость), содержащийся в стеклянной трубке длиной d=8 см, поворачивает плоскость поляризации желтого света натрия на угол ϕ=137 0 . Плотность никотина ρ=1.01⋅10 3 кг/м 3 . Определить удельное вращение α никотина. (Ответ: α=169 град/см.) Задача 11. Анализатор в k=2 раза уменьшает интенсивность света, проходящего к нему от поляризатора. Определить угол α 39 между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора. Потерями света в анализаторе пренебречь. (Ответ: α=45 0 .) Задача 12. На поляризатор падает пучок частично поляризованного света. При некотором положении поляризатора интенсивность света, прошедшего через него, стала минимальной. Когда плоскость пропускания поляризатора повернули на угол β=45 0 , интенсивность света возросла в k=1.5 раза. Определить степень поляризации P света. (Ответ: P=0.348.) Задача 13. Пучок естественного света падает на стеклянную призму с показателем преломления n=1.6. Определить угол падения θ, если отраженный пучок максимально поляризован. (Ответ: θ=58 0 .) Задача 14. Степень поляризации частично поляризованного света P=0.25. Найти отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к интенсивности естественной составляющей. (Ответ: 0.3.) Задача 15. На пути частично поляризованного света поместили поляризатор. При повороте поляризатора на угол ϕ=60 0 из положения, соответствующего максимуму пропускания, интенсивность прошедшего света уменьшилась в n=3 раза. Найти степень поляризации падающего света. (Ответ: P=0.8.) |