задачи по физике. Учебное пособие по решению задач по физике для студентов вечернего отделения Моск гос инт радиотехники, электроники и автоматики
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
Тема 9. Строение атома. Волновые свойства вещества Примеры решения задач Задача 1. Определить для атома водорода и иона He + длину волны λ головной линии серии Лаймана. Решение. Сериальная формула, определяющая длину волны λ света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода (или водородоподобным ионом) при переходе из одного стационарного состояния в другое, имеет вид: , 1 1 1 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n m Rz λ где R - постоянная Ридберга, Z - заряд ядра, m и n - целые числа. Для серии Лаймана m=1, n=2,3… Для головной линии этой серии n=2. Поэтому, из общей формулы для головной линии получаем: 4 3 1 2 Rz = λ Расчеты длины волны с использованием последнего выражения дают: 1) для атома водорода (Z=1): λ H =0.12 мкм; 2) для иона He + (Z=2): λ He =0.03 мкм. Ответ: 1) λ H =0.12 мкм; 2) λ He =0.03 мкм . Задача 2. Найти период обращения электрона на первой боровской орбите в атоме водорода и его угловую скорость. Решение. Воспользуемся выражением для периода обращения электрона по орбите T=2 πr/v и подставим в него скорость электрона v 1 на первой боровской орбите радиусом r 1 , записав её на основании 54 условия квантования момента импульса в виде: v 1 =h/(2 πmr 1 ), где h - постоянная Планка, m – масса электрона. Тогда получим: T 1 =4 π 2 mr 1 2 /h. Подставляя в эту формулу численные значения радиуса первой боровской орбиты r 1 , массы электрона m и постоянной Планка h, находим период обращения электрона по орбите: T=1.4 ⋅10 −16 с. Угловая скорость обращения электрона равна: ω=2π/T=4.4⋅10 16 рад/с. Ответ: T=1.4 ⋅10 −16 с, ω=4.4⋅10 16 рад/с. Задача 3. Найти численное значение кинетической, потенциальной и полной энергии электрона на первой боровской орбите. Решение. Воспользовавшись, как и в предыдущей задаче, условием квантования момента импульса электрона v 1 =h/(2 πmr 1 ), для кинетической энергии электрона получаем следующее выражение: 2 ) 2 / ( 2 2 1 2 2 1 mr h mv E k π = = Подставив в эту формулу численные значения для h, m и r 1 , находим: E k =2 ⋅10 −18 Дж. Потенциальную энергию найдем по формуле: 4 1 1 2 0 r e E p πε − = Подставляя сюда численные значения, находим: E p = −4⋅10 −18 Дж. Полная механическая энергия движения электрона на первой боровской орбите равна сумме его кинетической и потенциальной энергий: E=E p +E k = −2⋅10 −18 Дж. Ответ: E k =2 ⋅10 −18 Дж, E p = −4⋅10 −18 Дж, E= −2⋅10 −18 Дж. 55 Задача 4. Электрон движется со скоростью v=200 Мм/с. Определить длину волны де Бройля λ, учитывая изменение массы электрона в зависимости от скорости. Решение. Воспользуемся релятивистским выражением для импульса электрона, поскольку скорость электрона имеет тот же порядок величины, что и скорость света. Тогда для длины волны де Бройля получим следующее выражение: , ) / ( 1 0 2 v m c v h p h − = = λ где h - постоянная Планка, m 0 - масса покоя электрона, с – скорость света. Подставляя в это выражение численные значения констант и скорости электрона, получаем для волны де Бройля значение λ=2.7⋅ 10 –12 м. Ответ: λ=2.7⋅10 −12 м. Задача 5. Используя соотношение неопределенностей ΔE⋅Δt≥h, оценить ширину Г энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время жизни атома в возбужденном состоянии равно τ=10 −8 с). Решение. 1) В основном состоянии атом может находиться бесконечно долго ( τ→ ∞), поэтому на основании соотношения неопределен- ностей имеем: Г= h/ τ = ΔE =0. 2) В возбужденном состоянии для ширины энергетического уровня получаем: Г= ΔE = h/τ. Подставляя в последнее выражение значения численные значения, находим: Г=10 −26 Дж = 0.06 мкэВ. Ответ: 1) Г=0; 2) Г=10 −26 Дж = 0.06 мкэВ. 56 Задачи для самостоятельного решения Задача 6. Определить энергию фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона со второй боровской орбиты на первую. (Ответ: E=10 эВ.) Задача 7. Определить наибольшую E max и наименьшую E min энергии фотона в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серии Лаймана). (Ответ: E max =13.6 эВ, E min =10.2 эВ.) Задача 8. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны λ=121.5 нм. Определить радиус r электронной орбиты возбужденного атома водорода. (Ответ: r=212 пм.) Задача 9. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра. (Ответ: λ max =0.656 мкм, λ min =0.365 мкм.) Задача 10. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атома водорода квантами света радиус орбиты электрона увеличился в 9 раз? (Ответ: 96.6 нм ≤λ≤ 102.2 нм.) Задача 11. Какую наименьшую энергию надо сообщить иону He + , находящемуся в основном состоянии, чтобы он смог испустить фотон, соответствующий головной линии серии Бальмера? (Ответ: E=48.3 эВ.) Задача 12. Найти для водородоподобного иона радиус n-ой боровской орбиты и скорость электрона на ней. Вычислить эти величины для первой боровской орбиты иона He + . (Ответ: r 1 =26.5 пм, v 1 =4.4 ⋅10 6 м/с.) Задача 13. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля λ была равна 0.1нм? (Ответ: U=150 В.) Задача 14. Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределенности Δx её координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%? (Ответ: Δx/λ=16.) 57 Задача 15. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточность Δp/p импульса этой частицы. (Ответ: Δp/p =16%.) Тема 10. Атомное ядро и ядерные реакции Примеры решения задач Задача 1. Сколько атомов полония распадается за сутки из одного миллиона атомов? Решение. Из закона радиоактивного распада следует, что число распавшихся атомов определяется выражением: ΔN=N 0 (1 −e −λt ), где N 0 - первоначальное количество атомов, λ - постоянная радиоактивного распада, равная λ=ln2/T 1/2 . Период полураспада для полония составляет T 1/2 =138 суток. Поскольку период полураспада T 1/2 значительно больше времени распада t=1 сутки, то экспоненту в законе радиоактивного распада можно разложить в ряд по малому параметру t/T 1/2 и использовать для вычислений получившееся выражение: ΔN=N 0 λt=N 0 ln2 (t/ T 1/2 ). Подставляя сюда известные числовые значения, получаем ΔN=5000. Ответ: ΔN=5000. Задача 2. Найти количество полония 84 Po 210 , активность которого равна A 0 =3.7 ⋅10 10 Бк. Решение. Поскольку под активностью понимают количество распадов в единицу времени, выражение для A(t) можно получить, продифференцировав N(t) (количество нераспавшихся атомов), определяемое законом радиоактивного распада: A(t)= ∂N(t)/∂t = N 0 λe - λt =A 0 e - λt , где начальную активность A 0 находим по формуле: 58 A 0 =N 0 λ=(m/μ)N A (ln2/T 1/2 ). Из последнего выражения для массы получаем следующую формулу: m=A 0 μT 1/2 /(N A ln2). Массу полония m найдем, подставив в формулу число Авогадро N A =6 ⋅10 23 моль −1 , молярную массу полония μ=0.21 кг/моль, период его полураспада T=138 суток, а также A 0 =3.7 ⋅10 10 Бк. Масса полония равна: m=2.2 ⋅10 −7 кг. Ответ: m=2.2 ⋅10 −7 кг. Задача 3. Какую наименьшую энергию связи нужно затратить, чтобы разделить ядро 2 He 4 на две одинаковые части? Решение. Согласно условию задачи ядро гелия распадается на две одинаковые части, т.е.: 2 He 4 → 1 H 2 + 1 H 2 Выражение для энергии связи в этом случае имеет вид: E св =c 2 Δm=c 2 (2m 1 –m 0 ), где под m 1 следует понимать массу ядра дейтерия 1 H 2 , а под m 0 - массу ядра гелия 2 He 4 . Численное значение E св можно получить наиболее просто, если квадрат скорости света выразить в нестандартных единицах по формуле Эйнштейна, связывающей массу и полную энергию тела: с 2 =931.42 МэВ/а.е.м. Тогда можно воспользоваться табличными значениями масс ядер, взятыми в атомных единицах массы: для дейтерия m 1 =2.014 а.е.м., для гелия m 0 =4.003 а.е.м. После вычислений по приведенной выше формуле получим значение энергии связи: E св =23.85 МэВ. Ответ: E св =23.85 МэВ. Задача 4. Какой изотоп образуется из ядра Тория 90 Th 232 после четырех α-распадов и двух β-распадов? Решение. При распаде выполняются законы сохранения электрического заряда Z и массового числа A. Поскольку α-частица - это ядро 59 2 He 4 , а под β-распадом понимается распад с испусканием электронов, то заряд ядра Z уменьшится на 6 [4 ⋅2+2⋅(-1)=6], а массовое число ядра A уменьшится на 16 [4⋅4=16] (массой электрона пренебрегаем). Поэтому образовавшийся изотоп будет иметь заряд Z=90 −6=84 и массовое число A=232−16=216, т.е. это будет ядро 84 Po 216 Ответ: 84 Po 216 Задача 5. Атомное ядро, поглотившее γ-фотон с длиной волны λ=0.47 пм, пришло в возбужденное состояние и распалось на отдельные нуклоны, разлетевшиеся в разные стороны. Суммарная кинетическая энергия нуклонов T=0.4 МэВ. Определить энергию связи ядра E св Решение. Запишем закон сохранения энергии применительно к нашему случаю: m я c 2 +E ф = c 2 Σ m i +T , где m я - масса ядра до поглощения им фотона, E ф - энергия фотона, Σm i -сумма масс нуклонов, на которые распалось ядро после поглощения фотона. Учитывая, что энергия связи ядра равна: Eсв = c 2 ( Σm i –m я )=c 2 Δm, имеем: E св =h ν −T, где энергия фотона записана в виде: E ф =h ν. При расчетах удобнее взять значение постоянной Планка h=4.14 ⋅10 −15 эВ ⋅с. Тогда, учитывая, что ν=c/λ, получим для энергии фотона значение E ф =З МэВ. Соответственно, для энергии связи имеем E св =2.6 МэВ. Ответ: E св =2.6 МэВ. Задачи для самостоятельного решения Задача 6. При бомбардировке изотопа лития 3 Li 7 протонами образуются две α-частицы. Энергия каждой α-частицы в момент 60 их образования равна T α =9.15 МэВ. Какова энергия T p бомбардирующих протонов? (Ответ: T p =1 МэВ.) Задача 7. Некоторый радиоактивный препарат имеет постоянную распада λ=1.44⋅10 −3 час −1 . Через какое время t распадется 75% первоначального количества атомов? (Ответ: t=40 суток.) Задача 8. Найти активность A 0 полония 84 Po 210 массой m=1 мкг. (Ответ: A 0 =1.67 ⋅10 8 Бк.) Задача 9. Найти удельную активность A o искусственно полученного радиоактивного изотопа стронция 38 Sr 90 . (Ответ: A o =5.3 ⋅10 15 Бк/кг.) Задача 10. В ампулу помещен радон, активность которого A 0 =14.8 ⋅10 9 Бк. Через какое время t после наполнения ампулы активность радона будет равна: A(t)=2.22 ⋅10 9 Бк ? (Ответ: t=10.4 суток.) Задача 11. Определить массу ядра m я изотопа 7 N 14 , если изменение массы при образовании ядра 7 N 14 составляет 0.2508 ⋅10 - 27 кг. (Ответ: m я =2.49 ⋅10 −26 кг.) Задача 12. Энергия связи ядра, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, равна 39.3 МэВ. Определить массу m я этого ядра. (Ответ: m я =11.65 ⋅10 −27 кг.) Задача 13. При отрыве нейтрона от ядра 2 He 4 образуется ядро 2 He 3 . Определить энергию связи, которую необходимо для этого затратить. (Ответ: E св =20.25 МэВ.) Задача 14. Какое количество энергии Q в киловатт-часах можно получить от деления 1 г урана 92 U 238 , если при делении одного ядра выделяется энергия, приблизительно равная 200 МэВ? (Ответ: Q=2.3 ⋅10 4 кВт ⋅ч.) Задача 15. Какой изотоп образуется из 92 U 238 после трех α- распадов и двух β - распадов? (Ответ: 88 Ra 226 .) 61 ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Волновая и квантовая оптика ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ПРИРОДА СВЕТА.ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА. Когерентность и монохроматичность световых волн. Способы получения когерентных источников. Оптическая длина пути. Расчет интерференционной картины от двух источников. Интерференция при отражении и преломлении в тонких пластинках. Полосы равной толщины и равного наклона. Кольца Ньютона. Просветление оптики. Интерферометры. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА. Условия наблюдения дифракции. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Дифракция Френеля от диска и круглого отверстия. Дифракция Фраунгофера. Дифракция в параллельных лучах от одной щели. Дифракционная решетка. Дифракционные спектры. Дисперсия и разрешающая способность оптических приборов. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах. Формула Вульфа-Брэгга. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. Естественный и поляризованный свет. Cтепень поляризации света. Поляризация при отражении и преломлении. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление. Поляроиды и поляризационные призмы. Закон Малюса. Оптическая активность. Вращение плоскости поляризации. Пластинки в 1/4 и 1/2 длины волны. Искусственная анизотропия. Эффекты Керра и Фарадея. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНО= СТИ. Принцип относительности Галилея. Оптика движущихся сред. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Релятивистское изменение длин и промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистская динамика. Связь массы и энергии. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ. Дисперсия света. Электронная теория дисперсии. Нормальная и аномальная дисперсия. Cвязь дисперсии с поглощением. Фазовая и групповая 62 скорости света. Закон поглощения Бугера. Излучение Вавилова- Черенкова. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. Испускательная и поглощательная способности. Закон Кирхгофа. Абсолютно черное тело. Закон Стефана-Больцмана. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Закон смещения Вина. Квантовая гипотеза и формула Планка. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА. Тормозное рентгеновское излучение. Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра. Внешний фотоэффект и его законы. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Красная граница фотоэффекта. Фотоны. Опыт Боте. Энергия, масса и импульс фотона. Эффект Комптона и его теория. Давление света. Опыты Лебедева. Атомная и ядерная физика СТРОЕНИЕ АТОМА ВОДОРОДА. ТЕОРИЯ БОРА. Закономерности в атомных спектрах. Сериальные формулы. Формула Бальмера. Модель атома Томсона. Опыты Резерфорда по рассеянию α-частиц. Ядерная модель атома. Постулаты Бора. Опыт Франка и Герца. Элементарная боровская теория водородоподобного атома. Правило квантования круговых орбит. Схема энергетических уровней атома водорода. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. Гипотеза де Бройля. Опыты по дифракции электронов. Формула де Бройля для свободной частицы. Границы применимости классической механики. Соотношение неопределенностей. Применение соотношения неопределенностей к решению квантово- механических задач. Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Волновая функция и ее физический смысл. СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА АТОМНОГО ЯДРА. Состав ядра. Нуклоны. Заряд, размеры и масса атомного ядра. Массовое и зарядовое число. Изотопы. Свойства и природа ядерных сил. Дефект массы и энергия связи в ядре. Устойчивость ядер. РАДИОАКТИВНОСТЬ. ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ. Естественная и искусственная радиоактивность. Закон радиоактивного распада. Период полураспада. Типы радиоактивного распада. Основные 63 характеристики α- и β-распадов. Правила смещения. Понятие о ядерных реакциях. Законы сохранения в ядерных реакциях. Тепловой эффект ядерных реакций. Реакции деления и синтеза. Понятие об элементарных частицах. 64 ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ Физическая постоянная Обозна- чение Значение Ускорение свободного падения Гравитационная постоянная Число Авогадро Универсальная газовая постоянная Постоянная Больцмана Элементарный заряд Скорость света в вакууме Постоянная закона Стефана-Больцмана Постоянная закона смещения Вина Постоянная Планка Постоянная Планка, деленная на 2 π Постоянная Ридберга Радиус первой боровской орбиты Комптоновская длина волны электрона Магнетон Бора Энергия ионизации атома водорода Коэффициент пропорциональ- ности между энергией и массой g γ N A R k e c σ b h h R a 0 Λ μ B E i а. е. м. c 2 9.81 м/с 2 6.67 10 −11 м 2 /(кг с 2 ) 6.02 10 23 моль −1 8.31 Дж/(моль К) 1.38 10 −23 Дж/К 1,6 10 −19 Кл 3.00 10 8 м/с 5.67 10 −8 Вт/(м 2 К 4 ) 2.90 10 3 мкм ⋅К 6.63 10 −34 Дж с 1.054 10 −34 Дж с 1.097 10 7 м −1 0.529 10 −10 м 2.43 10 −12 м 0.927 10 −23 А м 2 2.18 10 −18 Дж (13.6 эВ) 1.66 10 −27 кг 9.00 10 16 Дж/кг (931 МэВ/ а. е. м.) 65 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Трофимова Т. И. Курс физики. -М.: Высшая школа, 1990. 2. Cавельев И. В. Курс общей физики. -M.: Hаука, тт. 2, 3, 1987. 3. Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачник по физике. -M.: Высшая школа, 1988. 4. Boлькенштейн В. С. Cборник задач по общему курсу физики. - M.: Наука, 1980. 5. Прудников В. Н., Прудникова Н. А. Пособие по физике. -М: МГУ, 1985. СОДЕРЖАНИЕ Введение............................................................................................3 Основные формулы...........................................................................5 Раздел V. Оптика..............................................................................12 Тема 1.Интерференция света.........................................................12 Тема 2. Интерференция света (продолжение)...............................17 Тема 3. Дифракция света.............................................................…24 Тема 4.Дифракция света (продолжение)......................................29 Тема 5. Поляризация света..........................................................…33 Тема 6.Тепловое излучение........................................................…39 Раздел VI. Атомная физика..........................................................…43 Тема 7. Элементы специальной теории относительности........…43 Тема 8. Квантовые свойства света.............................................…48 Тема 9. Строение атома. Волновые свойства вещества...........…53 Тема 10.Атомное ядро и ядерные реакции...................................57 Таблица основных физических постоянных..................................61 Вопросы для подготовки к экзаменам............................................62 Библиографический список.............................................................64 66 Инна Альбертовна Анищенко Анатолий Андреевич Задерновский Татьяна Юрьевна Любезнова Михаил Митрофанович Зверев Борис Владимирович Магницкий Юрий Константинович Фетисов ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА Учебное пособие Редактор Л.В. Соломатина Литературный редактор Л.П. Чернышова Подписано в печать 16.04.02. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л.3.95 Усл. кр.-отт. 15.8. Уч.-изд. л.4.25. Тираж 1000 экз. С 340. Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) 117454, Москва, пр. Вернадского, 78 |