задачи по физике. Учебное пособие по решению задач по физике для студентов вечернего отделения Моск гос инт радиотехники, электроники и автоматики
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
Тема 6. Тепловое излучение Примеры решения задач Задача 1. Определить энергию W, излучаемую за время t=1 мин из смотрового окошка площадью S=8 см 2 плавильной печи, если ее температура T=1.2 кК. Решение. Полагая смотровое окошко печи абсолютно черным телом, найдем энергетическую светимость R e из закона Стефана- Больцмана R e = σT 4 , где σ - постоянная Стефана-Больцмана. Так как энергетическая светимость, по определению, это энергия излучения, испускаемая 40 в единицу времени с единицы поверхности тела, то полная энергия излучения W со всей поверхности тела S за время t будет равна: W=R e St= σT 4 St. Подставляя в полученное выражение численные значения величин, находим: W =5.65 кДж. Ответ: W=5.65 кДж. Задача 2. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую температуру черного тела, чтобы его энергетическая светимость R e возросла в два раза? Решение. По закону Стефана-Больцмана энергетическая светимость равна: R e = σT 4 Пусть при температуре T 1 энергетическая светимость была равна R e1 , то есть R e1 = σT 1 4 , а при температуре T 2 энергетическая светимость была равна R e2 , то есть R e2 = σT 2 4 . Поделив эти два соотношения друг на друга, найдем: R R T T e e 2 1 2 4 1 4 = Так как по условию задачи R e2 /R e1 =2, то сразу получаем: T T 2 1 4 2 / = Ответ: температуру тела надо увеличить в 2 1 19 4 ≈ , раз. Задача 3. Температура верхних слоев Солнца равна 5300 К. Считая Солнце черным телом, определить длину волны λ m , на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости Солнца. Решение. Согласно закону смещения Вина длина волны λ m , соответствующая максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела, связана с температурой 41 T этого тела соотношением λ m = b/T, где b - постоянная Вина. Подставляя численные условия задачи, найдем: λ m =547 нм. Ответ: λ m =547 нм. Задача 4. Определить температуру T черного тела, при которой максимум спектральной плотности энергетической светимости приходится на красную границу видимого спектра λ 1 =750 нм; на фиолетовую границу видимого спектра λ 2 =380 нм. Решение. По закону смещения Вина длина волны λ m , соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости черного тела, связана с температурой T этого тела соотношением λ m =b/T, где b - постоянная Вина. Если λ m приходится на красную границу видимого спектра, то λ m = λ 1 и, следовательно, T 1 =b/ λ 1 Если же λ m приходится на фиолетовую границу видимого спектра, то λ m = λ 2 и, следовательно, температура тела T 2 в этом случае равна T 2 =b/ λ 2 . Используя численные значения задачи, получаем T 1 =3800 К и T 2 =7600 К. Ответ T 1 =3.8 кК и T 2 =7.6 кК. Задача 5. При увеличении температуры T черного тела в два раза длина волны λ m , на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, уменьшилась на Δλ=400 нм. Определить начальную и конечную температуры тела T 1 и T 2 Решение. Пусть при температуре T 1 длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, равна λ m1 . Тогда по закону смещения Вина λ m1 =b/T 1 . В свою очередь, при температуре T 2 длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, равна λ m2 = b/T 2 . По закону смещения Вина находим: 42 λ m1 −λ m2 = Δλ=b/T 1 −b/T 2 . Учитывая, что по условию задачи T 2 =2T 1 , приходим к уравнению для определения начальной температуры: λ Δ = − 1 1 2T b T b , откуда сразу находим, что T 1 =b/(2 Δλ). Используя численные значения задачи, получаем T 1 =3620 К и T 2 =2T 1 = 7240 К. Ответ: T 1 =3.62 кК и T 2 =7.24 кК. Задачи для самостоятельного решения Задача 6. Определить температуру T, при которой энергетическая светимость R e черного тела равна 10 кВт/м 2 (Ответ: T=648 К.) Задача 7. Поток энергии Ф е , излучаемый из смотрового окошка плавильной печи, равен 34 Вт. Определить температуру T печи, если площадь отверстия S=6 см 2 . (Ответ: T=1 кК.) Задача 8. Температура T верхних слоев звезды Сириус равна 10 кК. Определить поток энергии Ф е , излучаемый с поверх- ности площадью S=1 км 2 этой звезды. (Ответ: Ф е =56.7 ГВт.) Задача 9. Принимая коэффициент теплового излучения ε угля при температуре T=600 К равным 0.8, определить: 1) энергетическую светимость R e угля; 2) энергию W, излучаемую с поверхности угля с площадью S=5 см 2 за время t=10 мин. (Ответ: R e =5.88 кВт/м 2 ; W=1.76 кДж) Задача 10. Можно условно принять, что Земля излучает как серое тело, находящееся при температуре T=280 К. Определить коэффициент теплового излучения α Земли, если энергетическая светимость R e ее поверхности равна 325 кДж/(м 2 ч). (Ответ: α=0.26.) Задача 11. Мощность Р излучения шара радиусом R=10 см при некоторой постоянной температуре T равна 1 кВт. Найти эту температуру, считая шар серым телом с коэффициентом теплового излучения α=0.25. (Ответ: T=866 К.) Задача 12. На какую длину волны λ m приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости (r λT ) max черного тела при температуре t=0 0 С? (Ответ: λ m =10.6 мкм.) 43 Задача 13. Максимум спектральной плотности энергетической светимости (r λT ) max яркой звезды Арктур приходится на длину волны λ m =580 нм. Принимая, что звезда излучает как черное тело, определить температуру T поверхности звезды. (Ответ: T=4.98 кК.) Задача 14. Вследствие изменения температуры черного тела максимум спектральной плотности энергетической светимости (r λT ) max сместился с λ 1 =2.4 мкм на λ 2 =0.8 мкм. Как и во сколько раз изменилась энергетическая светимость R e тела и максимальная спектральная плотность энергетической светимости? (Ответ: R e увеличилась в 81 раз, а (r λT ) max увеличилась в 243 раз.) Задача 15. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости (r λT ) max черного тела равна 4.16 ⋅10 11 (Вт/м 2 )/м. На какую длину волны λ m она приходится? (Ответ: λ m =1.45 мкм.) Раздел 7. АТОМНАЯ ФИЗИКА Тема 7. Элементы специальной теории относительности Примеры решения задач При решении всех задач по СТО используются две исходно синхронизированные инерциальные системы координат с взаимно параллельными осями: лабораторная система координат (К-система) и движущаяся относительно нее с постоянной скоростью вдоль оси Х система координат - К ′, называемая собственной системой координат. Задача 1. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость равна v=c/2, длина l=2 м и угол между стержнем и направлением движения равен θ=45°. Решение. Спроектируем длину стержня на оси X и Y лабораторной системы координат К: l x =l ⋅ cos θ , l y =l ⋅ sin θ. В выбранных системах координат лоренцевскому сокращению подвергается только Х- 44 компонента длины стержня. Следовательно, l x =l 0x (1- β 2 ) 1/2 и l y =l 0y . Квадрат собственной длины стержня находится по формуле: l 0 2 = l 0x 2 +l 0y 2 = ( ) ( ) l l l l l x y 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ + = − − β ϑ β ϑ β β ϑ cos sin sin Отсюда окончательно для собственной длины стержня получаем: l 0 =l 1 1 2 2 2 − − β β sin ϑ =1.08 м. Ответ: l 0 =1.08 м. Задача 2. С какой скоростью двигались в К-системе отсчета часы, если за время t=5 с (в К ′-системе) они отстали от часов этой системы на Δt=0.1 с? Решение. Свяжем с движущимися часами собственную систему отсчета К ′. Условие отставания часов имеет вид t −τ=Δt, где τ - время отсчитываемое по часам в системе координат К ′. Формула лоренцевского замедления времени τ=t(1−β 2 ) 1/2 принимает вид t −Δt=t(1−β 2 ) 1/2 . Следовательно: (t −Δt) 2 = t 2 (1 −v 2 /c 2 ). Решая это уравнение относительно искомой скорости v, получаем: v=c 2 − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Δ Δ t t t t = 0.6 ⋅10 8 м/с. Ответ: v=0.6 ⋅10 8 м/с. Задача 3. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость v 1 =0.4c. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения β-частицу со скоростью v 2 =0.75c относительно ускорителя. Найти скорость u β-частицы относительно ядра. 45 Решение. Введем систему координат К, связанную с ускорителем, и систему координат К ′, связанную с движущимся ядром. Запишем известную формулу релятивистского закона сложения скоростей: v x = v v v v c x x 0 0 2 1 + ′ + ′ В обозначениях, использованных в условии задачи, эта формула принимает вид: v 2 = v u v u c 1 1 2 1 + + . Решая это уравнение относительно искомой неизвестной u, получаем: u=c 2 v v c v v 2 1 2 1 2 − − Подставляя сюда значения v 1 и v 2 из условия задачи, находим u=0.5c. Ответ: u=0.5c. Задача 4. Частица массы m движется вдоль оси Х в лабораторной системе координат К по закону x=(d 2 +c 2 t 2 ) 1/2 , где d=const. Найти силу, действующую на частицу в этой системе отсчета. Решение. Напишем выражение для 2-го закона Ньютона в релятивистском виде: F d dt mv v c = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ / 1 2 2 Найдем явное выражение для скорости частицы: 46 v dx dt d dt d c t c t d c t = = + = + 2 2 2 2 2 2 2 . Отсюда следует, что: v c c t d c t 2 2 2 2 2 2 = 2 + Подставляя эти выражения в формулу для силы F, получаем: F d dt mc t d c t c t d c t mc d dt t d mc d = + − + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Ответ: F=mc 2 /d. Задача 5. Найти зависимость импульса частицы с массой m от ее кинетической энергии. Вычислить импульс протона с кинетической энергией 500 МэВ. Решение. Воспользуемся известными выражениями для релятивистского импульса частицы р и ее кинетической энергии Т: p mv v c = − 1 2 2 , T mc v c mc = − − 2 2 2 2 1 . Из последнего выражения находим зависимость скорости частицы от ее кинетической энергии: ( ) v c T T mc T mc = + + 2 2 2 . Подставляя это выражение в формулу для релятивистского импульса, получаем: ( ) p c T T mc = + 1 2 2 По этой формуле найдем численное значение импульса протона с кинетической энергией Т=500 МэВ. Известно, что энергия покоя 47 протона равна mc 2 =938.3 МэВ. Тогда, для импульса после подстановки числовых значений получаем: р=1.09 ГэВ/с. Ответ: ( ) p c T T mc = + 1 2 2 , р=1.09 ГэВ/с. Задачи для самостоятельного решения Задача 6. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью Δl=0.1 мкм. При какой относительной скорости u двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина которого равна l 0 =1 м? (Ответ: u=c(2 Δl/l 0 ) 1/2 =134 км/с.) Задача 7. Двое часов после синхронизации были помещены в системы координат К и К ′, движущиеся друг относительно друга. При какой скорости u их относительного движения возможно обнаружить релятивистское замедление хода часов, если собственная длительность τ 0 измеряемого промежутка времени составляет 1 с ? Измерение времени производится с точностью Δτ=10 пс. (Ответ: u=c(2Δτ/τ 0 ) 1/2 =1.34 км/с.) Задача 8. В системе К ′ покоится стержень, собственная длина l 0 которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол ϕ 0 =45 ° с осью Х′. Определить длину l стержня и угол ϕв системе К, если скорость v 0 системы К ′ относительно системы К равна 0.8с. (Ответ: l=0.825 м, ϕ=59°.) Задача 9. Электрон движется со скоростью v=0.6c. Определить релятивистский импульс электрона. (Ответ: р=2.05 ⋅10 -22 кг ⋅м/с.) Задача 10. Импульс релятивистской частицы равен mc. Определить скорость частицы в долях скорости света. (Ответ: v=0.707c.) Задача 11. Электрон летит со скоростью v=0.8c. Определить кинетическую энергию Т электрона в МэВ. (Ответ: Т=0.342 МэВ.) 48 Задача 12. Определить кинетическую энергию Т релятивистской частицы (в единицах mc 2 ), если ее импульс p=mc. (Ответ: T=0.41mc 2 .) Задача 13. Импульс р релятивистской частицы равен mc. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в 2 раза. Во сколько раз при этом возрастет: 1) кинетическая энергия частицы Т?; 2) полная энергия частицы Е ? (Ответ: 1) Т 2 /Т 1 =2.98; 2) Е 2 /Е 1 =1.58.) Задача 14. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в η=2 раза превышает ее ньютоновский импульс. (Ответ: v=c √ 3/2.) Задача 15. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой m от 0.6с до 0.8с ? Сравнить полученный результат со значением, вычисленным по нерелятивистской формуле. (Ответ: А rel =0.42mc 2 ; A clas =0.14 mc 2 .) Тема 8. Квантовые свойства света Примеры решения задач Задача 1. Определить красную границу фотоэффекта для цинка и максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с его поверхности электромагнитным излучением с длиной волны 250 нм. Решение. Воспользуемся уравнением для фотоэффекта в виде: hc/ λ= A + T max , где hc/ λ - энергия кванта падающего электромагнитного излучения, А - работа выхода электронов из металла, Т max - максимальная кинетическая энергия электронов. Красную границу фотоэффекта находим из условия: hc/ λ кр =А. Известно, что работа выхода электронов из цинка А=3.74 эВ. Отсюда получаем λ кр =hc/A=332.1 нм. Для нахождения максимальной скорости фотоэлектронов используем 49 классическое выражение для кинетической энергии T max =mv 2 /2. Тогда из уравнения фотоэффекта получаем: v m hc A max = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 λ = 6.6 ⋅10 5 м/с . Найденное значение скорости много меньше скорости света, что оправдывает применение нерелятивистского выражения для кинетической энергии. Ответ: λ кр =332.1 нм; v max =6.6 ⋅10 5 м/с. Задача 2. До какого максимального потенциала зарядится удаленный от других тел медный шарик при облучении его электромагнитным излучением с длиной волны λ=140 нм? Решение. Энергия падающего кванта электромагнитного излучения E=hc/ λ=8.87 эВ. Работа выхода электронов из меди A=4.47 эВ. Из уравнения фотоэффекта находим максимальную кинети- ческую энергию вырываемых электронов T max =E − A=4.4 эВ. Максимальный потенциал, до которого может зарядиться шарик, находим из требования равенства максимальной потенциальной энергии притяжения электронов к шарику и их максимальной кинетической энергии, то есть e ϕ max =T ma x . Отсюда ϕ max =4.4 В. Ответ: ϕ max =4.4 В. Задача 3. Поток энергии Ф е ,излучаемой электрической лампой, равен 600 Вт. На расстоянии r=1 м от лампы перпендикулярно падающим лучам, расположено круглое плоское зеркальце диаметром d=2 см. Принимая, что излучение лампы одинаково во всех направлениях и что зеркальце полностью отражает падающий на него свет, определить силу F светового давления на зеркальце. Решение. 50 По условию задачи d << r, поэтому значение телесного угла, в котором на зеркальце падает излучение, можно найти из выражения Ω S =S/r 2 . Значение полного телесного угла Ω 0 =4 π. В этом угле излучается весь поток энергии Ф е . Следовательно, доля потока энергии, излучаемой в телесном угле Ω S , может быть найдена из выражения Ф S =Ф е Ω S / Ω 0 . Для определения давления света р используем известное выражение: ( ) ρ + = 1 c E p e , где E e =Ф e /S - освещенность поверхности и ρ =1 - коэффициент отражения. С учетом полученных выражений для силы F светового давления находим: = Φ = + Φ = + = = 2 2 16 2 ) 1 ( ) 1 ( r c d c S c E pS F e e e π π ρ ρ 0.1 ⋅10 -9 Н Ответ: F=0.1 нН. Задача 4. В эффекте Комптона угол θрассеяния фотона равен 90 °. Угол отдачи ϕэлектрона равен 30°. Определить энергию Е падающего фотона. Решение. Воспользуемся известной формулой для эффекта Комптона: ( ) Δλ = − = − λ λ ϑ ' c h mc 1 os , где λ ′ и λ - длина волны рассеянного и падающего фотонов соответственно, m - масса электрона, с - скорость света, h - постоянная Планка. Используя связь между энергией фотона и его длиной волны Е=hc/ λ , получаем: ( ) 1 1 1 1 2 E E mc = ′ − − cos ϑ Из закона сохранения импульса имеем: р=р e ⋅cos ϕ и р′=р e ⋅sinϕ, где р и р ′ - импульсы падающего и рассеянного фотонов соответственно, а р е - величина импульса электрона отдачи. 51 Воспользовавшись связью между импульсом фотона и его энергией р=Е/с, приводим эти уравнения к виду: Е/с=р е cos ϕ, Е ′ /с=р е sin ϕ. Из этих уравнений следует, что Е ′ =Е ⋅tgϕ. Подставляя полученное выражение для энергии рассеянного фотона в формулу эффекта Комптона, находим: ( ) 1 1 1 1 2 E Etg mc = − − ϕ ϑ cos Решая это уравнение относительно Е, получаем: ϑ ϕ cos 1 1 1 2 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = tg mc E = 0.374 МэВ. Ответ: Е=0.374 МэВ. Задача 5. Определить скорость v электронов, падающих на антикатод рентгеновской трубки, если минимальная длина волны λ min в сплошном спектре рентгеновского излучения равна 1 нм. Решение. Воспользуемся формулой для коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра λ min =hc/eU,где U - разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке. Тогда eU=hc/ λ min . Ускоряющая разность потенциалов, приложенная к трубке, сообщает электрону кинетическую энергию. Следовательно, eU=mv 2 /2. Из этих выражений получаем для искомой скорости формулу: min 2 λ hc m v = = 2.08 ⋅10 7 м/с. Полученное значение показывает, что падающие на антикатод электроны являются нерелятивистскими. Ответ: v=2.08 ⋅10 7 м/с. 52 Задачи для самостоятельного решения Задача 6. На цинковую пластинку (работа выхода электрона А=4.0 эВ) падает монохроматический свет с длиной волны λ =220 нм. Определить максимальную скорость v max фотоэлектронов. (Ответ: v max =7.61 ⋅10 5 м/с.) Задача 7. Определить максимальную скорость v max фотоэлектронов, вылетающих из металла при облучении его γ- фотонами с энергией Е=1.53 МэВ. (Ответ: v max =2.91 ⋅10 8 м/с.) Задача 8. Определить длину волны λ фотона, импульс которого равен импульсу электрона, обладающего скоростью v=10 Мм/с. (Ответ: λ=73 пм.) Задача 9. Монохроматическое излучение с длиной волны λ =500 нм падает нормально на плоскую зеркальную поверхность и давит на нее с силой F=10 нН. Определить число N фотонов, ежесекундно падающих на эту поверхность. (Ответ: N=3.77 ⋅10 18 .) Задача 10. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ=662 нм падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление р=0.3 мкПа. Определить концентрацию n фотонов в световом пучке. (Ответ: n=10 12 м -3 .) Задача 11. Фотон с энергией Е=0.4 МэВ рассеялся под углом θ=90° на свободном электроне. Определить энергию Е′ рассеянного фотона и кинетическую энергию Т электрона отдачи. (Ответ: Е ′=0.224 МэВ; Т =0.176 МэВ.) Задача 12. Определить импульс р электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, рассеян на угол θ=180°. (Ответ: р=3.6⋅10 -22 кг ⋅м⋅с 1 .) Задача 13. Фотон с длиной волны λ =1 пм рассеялся на свободном электроне под углом θ=90°. Какую долю своей энергии фотон передал электрону? (Ответ: Т/Е=71 %.) Задача 14. Определить коротковолновую границу λ min сплошного спектра рентгеновского излучения, если рентгеновская трубка работает под напряжением U=30 кВ. (Ответ: λ min =41.4 пм.) |