Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу Тольятти 2008 удк 51 004 (075. 8) Ббк 22. 1832. 81 Е егорова, Э. В. Учебное пособие по дисциплине Математика и информатика для студентов гуманитарных и педагогических специальностей очной формы обучения

• Название: Учебное пособие по всему курсу Тольятти 2008 удк 51 004 (075. 8) Ббк 22. 1832. 81 Е егорова, Э. В. Учебное пособие по дисциплине Математика и информатика для студентов гуманитарных и педагогических специальностей очной формы обучения
• Дата: 27.10.2020
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика и информатика.doc
• Тип: Учебное пособие; #146041
• страница: 2 из 12

Глава 1. Понятийный аппарат аксиоматического метода

Особенностью развития науки в различных областях деятельности человечества заключается в исторически формируюшейся тенденции создания и использования одних и тех же методов во многих её областях. Наиболее активно и результативно этот процесс наблюдается в математике, её методы используются не только в точных науках, но и в науках далёких от математики: экологии, экономике, социологии и т.д.

Соответственно появилась необходимость в формировании современной математики, которая могла бы отражать связи с другими науками. Со временем выработалось направление по решению общих задач в отличие от существующего ранее подхода, заключающегося в рассмотрении конкретных задач. Например, принцип работы ЭВМ является единым для всех типов компьютеров. Если бы было иначе, пришлось бы пользователю перед работой ознакомиться с принципом работы конкретного компьютера. Следовательно, потребовалось бы для работы пользователя создавать описание архитектуры каждого типа компьютера.

Таким образом, выработалось направление в разных областях науки, которое требует выделить главные принципы, отбросив менее существенные.

В результате такого подхода сформировалась аксиоматическая теория, на основе которой появился метод, который называется аксиоматическим методом. Фундаментом аксиоматического метода является дедуктивный метод. Дедукция построена на логическом умозаключении от общих суждений к частным. Дедуктивный метод есть способ, при котором частные положения логически выводятся из общих (аксиом, постулатов, правил, законов). Дедукция тесно связана с индукцией, основанной на логическом умозаключении от частных суждений к общим.

1.1. Понятие аксиоматического метода

Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства как верное.

Аксиоматический метод – способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющих путём логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. Аксиоматический метод позволяет получить выводы по данной теории в виде теорем, используя аксиомы и ранее доказанные теоремы.

Исторические подробности. В III в. до н.э. Евклид применил аксиоматический метод в геометрии. После III в. до н.э. геометрия развивалась очень медленно, так как требовались новые идеи и методы. Уже в те времена требовалось развитие понятия числа и других понятий алгебры. Первые попытки в этом направлении были сделаны в работах Диофанта (Греция, III в. н.э). Позже в Индии были открыты: десятичная система счисления, отрицательные и иррациональные числа. В IX в. дальнейшее развитие получила алгебра. В конце XI в. было дано определение числа как отношения любых величин. Через 600 лет это же определение было дано Ньютоном во «Всеобщей арифметике». В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в. Они были обусловлены развитием алгебры и созданием математического анализа. Французский философ и математик Рене Декарт [1596-1650] в своём труде «Геометрия» (1637г.) впервые представил метод координат на плоскости, этим самым установив взаимосвязь геометрии с алгеброй.

Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически стройного построения геометрии, так как аксиоматически построенная теория должна удовлетворять конкретным математическим требованиям. Эти требования заставили обратить внимание математиков на пятый постулат геометрии Евклида (аксиома параллельности). Однако попытки пересмотреть пятый постулат геометрии Евклида, которые длились в течение более тысячи лет, были безуспешными. В начале ХIХ века учёные предположили идею существования геометрии, отличающейся от евклидовой. Русский ученый Николай Иванович Лобачевский [1792–1856 гг.] полностью решил проблему независимости аксиомы параллельности от других аксиом евклидовой геометрии и показал, что аксиомы могут подвергаться изменению. В результате появилась новая теория, которую стали называть геометрией Лобачевского. Немецкий математик Георг Риман [1826-1866] занимался дальнейшим развитием неэвклидовой геометрией, по его теории пространство Евклида и Лобачевского рассматривались как частные случаи более общего, риманова пространства.

Дальнейшее развитие аксиоматического метода было вызвано исследованием понятия натурального числа. Во второй половине ХIХ века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика ХIХ века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Была предложена аксиоматика, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности. Большое внимание на исследование природы натурального числа оказала и созданная в ХIХ веке теория множеств.

1.2. Аксиоматическое построение математической теории

При аксиоматическом способе построения какой-либо математической теории соблюдаются следующие правила:

1. 
   Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.
   
2. 
   Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.
   
3. 
   Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.
   
4. 
   Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.
   

Из правил аксиоматического построения теории выделяют четыре шага:

Первый шаг: Задаётся некоторое множество первичных понятий (терминов).

Второй шаг: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.

Третий шаг: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.

Четвёртый шаг: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.

Таким образом, выстраивается алгоритм аксиоматического построения теории:

• 
  Первичные понятия.
  
• 
  Аксиомы.
  
• 
  Определения.
  
• 
  Теоремы.
  

Соответственно можно на примерах рассмотреть какое утверждение в математике относится к одной составляющей из выше приведенного списка.

Примеры первичных понятий.

К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся: точка, прямая, плоскость.

Примеры аксиом.

Аксиома 1. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Аксиома 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Примеры определений.

Определение 1: Высказывания, данные через первичные неопределяемые понятия или через некоторые другие ранее известные утверждения, называются определениями.

Определение 2: Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются аксиомами.

Определение 3: Новые утверждения о первичных и определяемых понятиях, выведенные чисто логическим путем на основе аксиом, ранее выведенных утверждений и определений, называются теоремами.

Определение 4: Простым числом называется такое натуральное число, больше единицы, которое имеет только два делителя – единицу и само это число.

Примеры теорем.

Теорема 1. Если частное натуральных чисел существует, то оно единственно.

Теорема 2. Диагонали у прямоугольника равны.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, по названым выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно. При аксиоматическом построении теории, по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом.

Главным требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, чтобы, сделав вывод теорем на основе этих аксиом, доказанные теоремы не противоречили друг другу. Система аксиом должна быть полной и независимой, При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Большинство интерпретаций для математических теорий (в частности, для арифметических) строятся на базе теории множеств. Поэтому очень важно, чтобы теория множеств была непротиворечивой. Аксиоматическая теория основных структур математики является инструментом, с помощью которого раскрывается теоретико-множественный смысл каждого понятия.

1.3. Вопросы для самоконтроля по теме «Аксиоматический метод»

1. 
   Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):
   

• 
  Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  
• 
  Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
  
• 
  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
  

2. 
   К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся:
   

• 
  Луч, треугольник, плоскость.
  
• 
  Точка, отрезок, плоскость.
  
• 
  Фигура, плоскость, луч.
  
• 
  Точка, прямая, плоскость.
  

3. 
   Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):
   

• 
  В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
  
• 
  Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник.
  
• 
  Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
  

4. 
   Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):
   

• 
  Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
  
• 
  Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
  
• 
  Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и все точки её лежат в той же плоскости.
  

5. 
   Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):
   

• 
  Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют ещё хотя бы одну общую точку.
  
• 
  Диагонали у прямоугольника равны.
  
• 
  Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
  

6. 
   Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к определениям, аксиомам, теоремам):
   

• 
  Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника.
  
• 
  Около любого треугольника можно описать окружность.
  
• 
  Две точки определяют только одну прямую.
  

7. 
   Выбрать из списка первый шаг при построении аксиоматической теории:
   

• 
  Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
  
• 
  При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
  
• 
  Задается некоторое множество первичных понятий.
  
• 
  Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
  

8. 
   Выбрать из списка второй шаг при построении аксиоматической теории:
   

• 
  Задается некоторое множество первичных понятий.
  
• 
  При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
  
• 
  Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
  
• 
  Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
  

9. 
   Выбрать из списка третий шаг при построении аксиоматической теории:
   

• 
  При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
  
• 
  Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
  
• 
  Задается некоторое множество первичных понятий.
  
• 
  Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
  

10. 
    Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются:
    

• 
  Определениями.
  
• 
  Первичными понятиями.
  
• 
  Аксиомами.
  
• 
  Теоремами.