Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу Тольятти 2008 удк 51 004 (075. 8) Ббк 22. 1832. 81 Е егорова, Э. В. Учебное пособие по дисциплине Математика и информатика для студентов гуманитарных и педагогических специальностей очной формы обучения

• Название: Учебное пособие по всему курсу Тольятти 2008 удк 51 004 (075. 8) Ббк 22. 1832. 81 Е егорова, Э. В. Учебное пособие по дисциплине Математика и информатика для студентов гуманитарных и педагогических специальностей очной формы обучения
• Дата: 27.10.2020
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Математика и информатика.doc
• Тип: Учебное пособие; #146041
• страница: 5 из 12

Глава 4. Случайные события

В математике существует наука, которая изучает объекты, связанные с понятиями случайности и вероятности. Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление (событие) – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Математические законы теории вероятностей являются отражением реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях природы, к изучению которых теория вероятностей применяет математические методы и по своему методу является одним из разделов математики.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Проникновение случайности в математику наблюдались в Древней Греции. Математическое понятие вероятности возникло из анализа азартных игр (кости, карты). Развитие страхового дела связано с вероятностями и стимулировало интерес к подобным задачам. Первые работы в этом направлении связаны с созданием теории азартных игр. Паскаль и Ферма установили некоторые положения теории вероятностей в 1654 году. Христиан Гюйгенс спустя три года написал книгу о расчётах в азартных играх. В XVIII веке Якоб Бернулли доказал теорему, которую позже назвали законом больших чисел. Среди учёных этого периода следует назвать: Гаусса, Муавра, Лапласа, Пуассона и др.

Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли русские ученые: П.Л.Чебышев и его ученики: А.А.Марков, А.М.Ляпунов. Среди советских математиков следует отметить С.Н.Бернштейна, В.И.Романовского, Н.В.Смирнова и др. Аксиоматический подход к вероятности окончательно сформулировал советский математик академик А.Н. Колмогоров в своей статье «Об основных понятиях теории вероятностей». Аксиоматика А.Н. Колмогорова составляет фундаментальную основу теории вероятностей. Теорию вероятностей применяют при оценках ошибок наблюдений, измерений, в демографии, в теории стрельбы и т.д. Вероятностный подход в решении многих задач (социологических, экономических, технологических и других) в настоящее время является актуальным. Все это предопределяет необходимость овладения методами теории вероятностей и математической статистики как инструментом статистического анализа полученной информации в разнообразных сферах деятельности человека, а также прогнозирования ожидаемых результатов при решении важнейших профессиональных задач.

4.1. Основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий

Различают следующие виды случайных событий: достоверные, невозможные и случайные. События обозначаются большими латинскими буквами А, В, С,...,Z. Достоверное событие всегда происходит в результате наблюдения или испытания. Достоверное событие обозначается символом – .

Невозможное событие никогда не происходит в результате наблюдения или испытания. Невозможное событие обозначается символом – .

Пример. Если в корзине только персики, то достать из корзины персик является достоверным событием, а достать лимон является невозможным событием.

Случайное событие – это такое событие, которое в результате наблюдения или испытания может произойти, а может и не произойти.

Пример. Студент сдаёт экзамен. Экзамен сдан. Это событие случайное, так как студент мог и не сдать экзамен.

Кроме того, события могут быть совместными и несовместными, зависимыми или независимыми. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Примеры совместных событий: два стрелка стреляют по мишени, два спортсмена одновременно бегут. Случайные события А и В называются несовместными, если при данном испытании появление одного из них исключает появление другого события. Несовместные события: день и ночь, студент одновременно едет на занятие и сдаёт экзамен, число иррациональное и чётное.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того произошло событие В или нет. Пример. Два студента одновременно сдают экзамен независимо друг от друга. Это событие совместное и независимое. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того произошло или не произошло событие В. Пример. Работник получит оплату труда в зависимости от качества её выполнения.

Равновозможные события – это такие события, которые имеют одинаковые возможности для их появления. Полная группа событий – это совокупность единственно возможных событий при данном испытании. Пример. Студент может сдать экзамен на любую оценку. В данном случае возможны следующие события: студент может сдать экзамен на 5, студент может сдать экзамен на 4, студент может сдать экзамен на 3. Эти события образуют полную группу.

Противоположные события. Два случайные события А и В называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу событий. Примеры: студент может сдать или не сдать экзамен, день и ночь.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется множеством элементарных событий.

Сложным событием (исходом) называется произвольное подмножество множества элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному. Например, испытание – подбрасывание кубика. Элементарное событие – выпадение грани с числом «5». Сложное событие – выпадение грани с нечётным числом.

4.2. Алгебра случайных событий

Между случайными событиями и множествами существует связь. Совокупность элементарных событий можно назвать множеством (пространством) элементарных исходов, которое обозачается: . Соответственно, пространство элементарных исходов рассматривается как универсальное множество по отношению к случайным событиям. Любое случайное событие А состоит из одного и более элементарных исходов. Если элементарный исход обозначить через , тогда случайное событие А можно рассматривать как подмножество пространства :

А={   |   A}.

Достоверному событию соответствует всё пространство . Невозможное событие описывается пустым множеством .

Событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называется суммой (объединением) этих событий и обозначается: А+В или А  В (рис.2.1). Сумму событий можно рассматривать как объединение соответствующих множеств. Пример. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель это событие, состоящее из суммы событий: попал первый или второй или оба стрелка.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий: А и В, называется произведением (пересечением) событий А и В и обозначается: А  В или А  В (рис. 2.2). Произведение событий можно рассматривать как пересечение соответствующих множеств. Для совместных событий А  В  . Пример. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель сразу двух стрелков это событие, состоящее из совместного появления событий: попал первый и второй стрелок.

Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается: А\В или А-В (рис. 2.3).

Событие, обозначаемое черезА, называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.

Пример 1.

Стрелок попал в цель – это событие А. Стрелок не попал в цель – это событиеА.

Зависимые события. Событие А происходит при условии, что событие В уже произошло,т.е. событие В включено в событие А и обозначается: В  А.

Пример 2.

Абитуриентов зачисляют в ВУЗ сразу (это событие А) при условии, что они сдали все вступительные экзамены на «отлично» (это событие В).

Если А  В и В  А, то события А и В называются равносильными, или эквивалентными (записывают А  В).

Если наступление события А делает невозможным наступление события В (и наоборот), то событие А и В называются несовместными или непересекающимися, в этом случае АВ=.

Пример 3.

Двое стреляют по мишени. Попадание в цель сразу двух стрелков – это событие А. Промахнулись оба стрелка – это событие В. События А и В в данном примере несовместны.

События А₁, А₂ ,..., А_k образуют полную группу событий, если:

А₁  А₂  ...  А_k = ;

Пример 4.

Студент сдаёт два экзамена. Возможно одно из событий: «сдан первый экзамен и не сдан второй», «не сдан первый экзамен и сдан второй», «сданы два экзамена», «не сданы два экзамена». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Элементарными событиями или исходами называют события, удовлетворяющие трем условиям:

1) они попарно несовместны;

2) образуют полную группу;

3) равновозможны.

Операции над событиями удовлетворяют свойствам, приведённым в таблице 4.1.

Таблица 4.1

1	АВ = ВА;	2	АВ = ВА;
3	АА = А;	4	АА = А;
5	А = ;	6	А = А;
7	А = А;	8	А = ;
9	А(ВС)=(АВ)С;	10	А(ВС)=(АС)В;
11	А(ВС)=(АВ)АС);	12	А(ВС)=(АВ)(АС);
13	=.	14	=.

В результате можно устанавить соответствие между понятиями теории множеств и теории вероятностей, которое приводится в таблице 4.2.

Таблица 4.2

№	Теория множеств	Терия вероятностей
1	Множество	Случайное событие
2	Объединение АВ	Сумма А+В
3	Пересечение АВ	Произведение событий АВ
4	Непересекаюшиеся множества	Несовместные события
5	Разбиение	Полный набор событий
6	Дополнение	Противоположное событие
7	Универсальное множество	Достоверное событие
8	Пустое множество	Невозможное событие

4.3. Определение вероятности

4.3.1. Классическое определение вероятности

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Одно из основных – это классическое определение. Это определение применимо в случаях, когда удается выделить полную группу несовместных и равновероятных событий, т.е. элементарных исходов.

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов:

.

(4.1)

Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 5.

В группе 25 студентов. Из них 10 девушек и 15 юношей. Наугад выбирают одного студента. Найти вероятность того, что выберут юношу.

Решение. Искомая вероятность:

Пример 6.

В группе 15 студентов. Из них 5 девушек и 10 юношей. Выбирают 3 студентов. Найти вероятность того, что из трёх выбранных студентов выберут одну девушку и двух юношей.

Решение. При вычислении вероятности события необходимо обратиться к разделу комбинаторики. Для данной задачи следует подсчитать различные сочетания по формуле (3.3).

Искомая вероятность:



где:







Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью тех случайных экспериментов, число исходов которых конечно, а сами исходы равновозможны и несовместны.

4.3.2. Аксиомы теории вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности

Систему аксиоматического обоснования определения вероятности построил А.Н. Колмогоров в 1933 г.

Числовая функция Р(А), заданная на алгебре F – подмножеств пространства элементарных исходов – , называется вероятностью случайного события А, если она удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам):

А1 (аксиома 1). Р(а) > 0;  A  F.

Аксиому 1 можно прочитать: «вероятность случайного события А всегда величина положительная для любого события, принадлежащего подмножеству F.

A2 (аксиома 2). P()=1.

Аксиома 2 может быть сформулирована следующим образом: вероятность достоверного события равна единице.

A3 (аксиома 3). Если AB= то P(AB)=P(A)+P(B).

Аксиома 3 может быть сформулирована следующим образом: если события А и В несовместны, то Р(А+В) = P(A)+P(B).

Как следствие из этих аксиом можно сформулировать далее:

Аксиома 4. Вероятность случайного события есть положительное значение, заключенное между нулем и единицей. 0 < Р(А) <1.

Аксиома 5. Вероятность невозможного события равна нулю. Р(А)=0.

4.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

4.4.1. Сложение вероятностей несовместных событий

Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В или обоих этих событий.

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р (А)+Р (В).

(4.2)

Данную строку можно прочитать следующим образом: вероятность появления события А или В, или обоих этих событий равна сумме вероятностей этих событий. Запись Р(А)+Р(В) можно представить в виде: Р(А)Р(В).

Для нескольких несовместных событий формула (4.2) имеет вид:

Р(А1 + А2+ … + Аk) = Р(А1) + (А2) +…+ Р(Аk).

(4.2а)

Теорема 2. Сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу, равна единице.

Р(А1) + (А2) +…+ Р(Аk) = 1.

(4.3)

Пример 7.

Студент после занятий может пойти: домой с вероятностью р₁=0,4, в библиотеку с вероятностью р₂=0,1, в спортзал с вероятностью р₃=0,2 и в кино с вероятностью р₄=?. Определить р₄.

Решение.

Эти четыре события несовместны и образуют полную группу. Сумма вероятностей событий p₁, p₂, p₃ равна:

р₁+р₂+ р₃=0,4 +0,1+0,2=0,7.

По формуле (4.3) получим p₄=1-0,7=0,3.

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

.

(4.4)

Если вероятность события Р (А) обозачить через p, а события Р(А) через q, то формулу (4.4) можно записать в виде:

p + q = 1.

(4.5)

Пример 8.

Студент может сдать экзамен с вероятностью р=0,9. Какова вероятность, что студент не сдаст экзамен?

Решение.

Эти два события противоположны и образуют полную группу.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий из (4.5) равна: q = 1–р = 0,1.

4.4.2. Умножение вероятностей независимых событий

Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема 4. Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий.

Р (А  В) = Р(А)  Р(В).

(4.6)

Запись Р(А)Р(В) можно представить в виде Р(А)Р(В).

Пример 9.

Студент должен сдать два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р₁=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р₂ =0,7. Какова вероятность, что студент сдаст два экзамена в сессию.

Решение.

Событие А – сдать первый экзамен. Событие В – сдать второй экзамен. Оба события независимы. Событие АВ – сдать два экзамена. Вероятность сдать два экзамена вычисляется по формуле (4.6).

Р(А  В) = Р(А)Р(В) = р₁  р₂ = 0,7  0,8 = 0,56.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А1А2…Аk) = Р(А1)  Р(А2)…Р(Аk).

(4.6a)

Частным случаем совместного появления нескольких независимых событий является равенство вероятностей всех событий Р(А₁) =Р(А₂)=…=Р(А_k) в формуле (4.6a).

При повторных испытаниях с одинаковой вероятностью появления события используется формула Бернулли.

В теории вероятностей рассматривается определённый тип задач. Производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью равной p и не появиться с вероятностью равной q. Требуется вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А появится ровно k раз и не появится (n-k) раз. При этом не учитывается последовательность события А, т.е. ровно k раз подряд или в определённом порядке. Вероятность сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз вычисляется по формуле Бернулли:

Рn(k) = C knp kq n-k .

(4.7)

4.4.3. Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность того, что произойдет, по крайней мере, одно из событий ,

определяется по формуле:



Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий (А₁, А₂,…,А_n), независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

P (A) = 1 – q1  q2 ...  qn.

(4.8)

Пример 10.

Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р₁=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р₂=0,7. Какова вероятность, что студент сдаст хотя бы один экзамен в сессию.

Решение.

Вероятность события «не сдать первый экзамен» равна:

q₁=1–р₁=1–0,8 = 0,2.

Вероятность «не сдать второй экзамен»: q₂=1– р₂=1–0,7=0,3.

Оба события независимы. Вероятность события Р(А), где событие А – «студент сдаст хотя бы один экзамен», вычисляется по формуле (4.8):

Р(А)=1–q₁q₂ =1–0,20,3=1–0,06=0,94.

Пример 11.

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго 0,7 и для третьего 0,75.

Найти вероятность:

1. 
   Хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
   
2. 
   Одного и только одного попадания в цель.
   
3. 
   «Попадут в цель только два стрелка».
   
4. 
   «Попадут в цель все стрелки одновременно».
   
5. 
   Промаха всех стрелков одновременно.
   

Решение.

Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал первый, второй, третий стрелок. Из условия задачи следует, что:

Р(А) = 0,6; Р(В) = 0,7; Р(С) = 0,75.

1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна: Р(А + В + С).

Событие (А+В+С) – хотя бы одно попадание в цель. Вероятность хотя бы одного попадания в цель по формуле (4.8): P(A+B+C)=1- P(A)P(B)P(C).

P(A+B+C)=1– (1–0,6)(1– 0,7)(1– 0,75)=1– 0,40,30,25 =1-0,03= 0,97.

2) Вероятность только одного попадания в цель.

Пусть D – событие, состоящее в том, что в цель попал только один стрелок. События «хотя бы одно попадание» и «одно попадание» – разные события. В задаче одно и только одно попадание – это событие D, состоящее из суммы событий: D=ABC+ABC+ABC.

Его вероятность из-за независимости стрельбы и несовместности слагаемых событий может быть определена по формулам (4.2а), (4.7):

.

Р(D)=0,6(1–0,7)(1–0,75)+0,7(1–0,6 )(1–0,75)+0,75(1–0,6 )(1– 0,7) = 0,205.

3) Вероятность того, что попадут в цель только два стрелка.

Пусть X – событие, состоящее в том, что в цель попали только два стрелка.

X=ABC+BAC+C AB.

Тогда вероятность того, что попадут в цель только два стрелка, равна:

.

P(X)=(1– 0,6)0,70,75+0,6(1– 0,7)0,75+0,60,7(1– 0,75)=0,21+0,135+0,105 =0,45.

4) Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно.

Событие ABC – все стрелки попали в цель.

Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно равна:

P(ABC) = P(A)P(B)P(C) = 0,60,70,75 = 0,315.

5) Вероятность промаха всех стрелков одновременно Р( ).

Событие ABC – все промахнулись. Вероятность промаха всех стрелков одновременно: P(ABC)=0,40,30,25=0,03.

Для проверки правильности решения используют формулу (4.3) для полной группы событий:

Р(D) + P(X) + P(ABC) + Р(ABC) = 0,205 + 0,45 + 0,315 + 0,03 = 1.

4.4.4. Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность

Условной вероятностью, которая обозначается Р_A(В) или Р(В/А), называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теорема 6. Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Р(А  В) = Р(А)  РА(В).

(4.9)

Пример 12.

Студент из 20 билетов подготовил к экзамену 12. Студент взял билет, к которому он не подготовился. Преподаватель в виде исключения разрешил взять второй билет. Какова вероятность того, что студенту во второй попытке достанется один из подготовленных билетов.

Решение.

Обозначим событие «студент взял билет, к которому он не подготовился» через A. Обозначим событие «студенту достанется во второй попытке один из подготовленных билетов» через B.

Обозначим событие (АВ/A) – взять первый билет, к которому он не подготовился, и второй из подготовленных билетов при условии, что, что первое событие уже произошло. Вероятность взять первый билет, к которому студент не подготовился: . Вероятность взять второй из подготовленных билетов при условии, что студент взял первый билет, к которому он не подготовился: .

В результате, вероятность того, что студенту достанется один из подготовленных билетов, вычисляется по формуле (4.9):

.

Условная вероятность события А_k, определенная в предположении, что осуществились события А₁,А₂,…А_k-1, обозначается: P(A_k/A₁A₂...A_k-1).

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Р(А1А2 ... Аk) = Р(А1)Р(А2/А1)Р(А3/А1А2)...Р(Аk/А1А2...Аk).

(4.9а)

Пример 13.

Студенту во время компьютерного тестирования по одной из тем предлагается тест из 10 вопросов. Итог тестирования показал, что семь из них он знает и три ему не знакомы. Студент выбирал правильный ответ на каждый вопрос из предлагаемого списка. Последовательность вывода на экран вопросов случайна. Найти вероятность того, что студент ответил правильно на первые три вопроса.

Решение.

Введем обозначения событий:

А – студент ответил правильно на первый вопрос теста.

В – студент ответил правильно на второй вопрос при условии, что студент ответил правильно на первый вопрос.

С – студент ответил правильно на третий вопрос при условии, что студент ответил правильно на первый и второй вопрос.

Вероятность того, что студент ответил правильно на первый вопрос теста:

Р(А) = 7/10.

Вероятность того, что студент ответил правильно на второй вопрос при условии, что он ответил правильно на первый вопрос, т.е. условная вероятность события В следующая: Р(В/А) = 6/9 = 2/3.

Вероятность того, студент ответил правильно на третий вопрос при условии, что студент ответил правильно на первый и второй вопрос. Условная вероятность события С равна:

Р(С/АВ) = 5/8 .

Искомая вероятность того, что студент ответил правильно на первые три вопроса: .

4.4.5. Сложение вероятностей совместных событий

Теорема 7. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р (А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А  В).

(4.10)

События в формуле (4.10) могут быть как зависимыми, так и независимыми.

Для независимых событий:

Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)  Р(В).

(4.11)

Для зависимых событий:

Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)  РА(В).

(4.12)

Пример 14.

Абитуриент подал заявления в два разных вуза по результатам ЕГЭ (на бюджетной основе). Обозначим вероятность попасть в первый вуз р₁=0,5, во второй р₂=0,3. Какова вероятность быть зачисленным абитуриенту хотя бы в один из вузов?

Решение.

Эти события совместные. Каждое событие независимое. Для независимых событий выбираем формулу (4.11).

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)–Р(А)Р(В) = р₁+р₂–р₁р₂ = 0,5+0,3 – 0,5∙0,3=0,65.

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. В случае трех совместных событий она имеет вид:

Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

В частном случае для несовместных событий А и В (т.е. когда АВ =  и Р(А В) = Р() = 0), формула (4.10) имеет вид: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

4.5. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий H₁, H₂, ..., H_n, образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез: Р(H₁), Р(H₂), ..., Р(H_n) и условные вероятности: Р(А/H₁), Р(А/H₂), ..., Р(А/H_n).

Требуется найти вероятность Р(А).

Теорема 8. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H₁, H₂, ..., H_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

.

(4.13)

Так как события H_i несовместны, то несовместны и события А  H_i.

Выражение (4.13) называется формулой полной вероятности.

Пример 15.

В двух группах занимаются соответственно 20 и 30 студентов. В первой группе 5 отличников, во второй 6. Какова вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником?

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что вызванный наугад студент оказался отличником. Пусть события H₁, H₂ означают гипотезы (предположения), что студент соответственно из первой или из второй группы.

Вероятность гипотез, что студент соответственно из первой или второй группы: Р(H₁)=р₁=20/50=0,4. Р(H₂)=р₂=30/50=0,6. Проверка: р₁+р₂=1.

Вероятность того, что выбранный студент – отличник учится в первой или второй группе по условию задачи: Р(А/H₁) = 5/20 = 0,25. Р(А/H₂) = 6/30 = 0,2.

Вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником по формуле полной вероятности (4.13):

Р(А) = Р(H₁)Р(А/H₁)+Р(H₂)Р(А/H₂) = 0,4  0,25 + 0,6  0,2 = 0,1 + 0,12 = 0,22.

Эту задачу можно решить по формуле (4.1). Всего в двух группах 50 студентов, из них 11 отличников. Р(А) = 11/50=0,22.

Однако эта задача простая и в ней можно проверить решение по элементарной формуле (4.1). Формула (4.13) применяется в сложных задачах, а также используется в задачах, где следует найти вероятность одной из гипотез при условии, что событие А уже произошло.

4.6. Формула Байеса

Пусть произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило. Вероятность события А можно вычислить по формуле (4.13). Эта дополнительная информация позволяет произвести переоценку вероятностей гипотез H_i, вычислив Р(H_i /А). По теореме умножения вероятностей:

Р(А Hi) = Р(А)  Р(Hi/А) = Р(Hi)  Р(А/Hi).

(4.14)

Откуда:

,

или, вычислив Р(А) по формуле полной вероятности (4.13), получим:

.

(4.15)

Формулу (4.15) называют формулой Байеса. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в результате которого появилось событие А.

Пример 16.

Условие из примера 15. Событие А уже произошло. Вызванный наугад студент оказался отличником. Найти вероятность того, вызванный наугад студент оказался отличником из первой группы Р(H₁/А).

Решение.

Вероятность Р(А/H₁) события «вызван студент-отличник при условии, что он является отличником из первой группы». Аналогично вероятность Р(А / H₂) из второй группы. По формуле Байеса (4.15) получаем:

4.7. Вопросы для самоконтроля по теме «Основы теории вероятностей»

1. Определите правильный ответ:

В урне 200 билетов. Из них 10 выигрышных. Вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным, равна:

a) 0,02; b) 0,05; c) 0,2; d) 0,01.

2. Определите правильный ответ:

Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три выстрела, он хотя бы раз попадёт в цель?

a) 0,999; b) 0,992; c) 0,92; d) 0,8.

3. Определите правильный ответ:

Станок-автомат производит изделия трех сортов. Первого сорта – 80%, второго – 15%. Чему равна вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или второго, или третьего сорта?

a) 0,2; b) 0,95; c) 0,8; d) 0,15.

4. Определите правильный ответ:

Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три выстрела, он ни разу не попадёт?

a) 0,08; b) 0,4; c) 0,6; d) 0,008.

5. Определите правильный ответ:

В книжной лотерее разыгрывается 5 книг. Всего в урне имеется 30 билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.

a) 5/30; b) 1/30; c) 0,2; d) 0,1.

6. Определите правильный ответ:

При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу, помня только, что эта цифра нечётная. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

a) 1/9; b) 1/7; c) 1/5; d) 1/3.

7.Определите правильный ответ:

Для посева берут семена из двух пакетов. Вероятность прорастания семян в первом пакете равна 0,4, а во втором 0,5. Взяли по одному семени из каждого пакета, тогда вероятность того, что оба они прорастут, равна:

a) 0,9; b) 0,45; c) 0,3; d) 0,2.

8. Определите правильный ответ:

Вероятность того, что в этом году будет хороший урожай апельсинов, равна 0,9, а лимонов – 0,7. Тогда вероятность того, что уродятся и апельсины и лимоны, равна:

a) 0,8; b) 0,3; c) 0,63; d) 0,5.

9. Определите правильный ответ:

Вероятность вытащить бракованную деталь из первого ящика равна 0,2, а из второго – 0,3. Из каждого ящика взяли по одной детали. Тогда вероятность того, что обе они бракованные, равна:

a) 0,06; b) 0,5; c) 0,25; d) 0,1.

10. Определите правильный ответ:

Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0,8, у другого – 0,9. Найти вероятность того, что цель не будет поражена ни одной пулей.

a) 0,2; b) 0,02; c) 0,3; d) 0,15.