Проект. Уравнения

• Название: Уравнения
• Анкор: Проект
• Дата: 31.03.2022
• Размер: 30.88 Kb.
• Имя файла: Проект.docx
• Тип: Решение; #430258

Муниципальное образовательное учреждение Лицей №33


Индивидуальный итоговый проект

на тему

«Уравнения»
Выполнил:

Сафонов Матвей Сергеевич

ученик 9 класса МОУ Лицея №33
Руководитель проекта:

Гончарова Татьяна Николаевна


Комсомольск-на-Амуре

2021г.
Оглавление


1 Введение

2 Решение уравнений

3 Основные свойства решения уравнений

4 Аналитические методы

5 Численные методы

6 Методы проверки решений

7 Равносильные уравнения

8 Виды уравнений

9 Алгебраические уравнения

10 Рациональные и иррациональные уравнения

11 Уравнения с параметрами

12 Трансцендентные уравнения

13 Функциональные Уравнения

14 Дифференциальные уравнения

15 Вывод

16 Литература

Введение


Матема́тика—точная наука, первоначально исследовавшая количественные отношения и пространственные формы. Более современное понимание: это наука об отношениях между объектами, о которых ничего неизвестно, кроме описывающих их некоторых свойств.

Математика одна из главных наук. Которая зародилась в далекой древности.Период элементарной математики, начинающийся в VI—Vвеках до н. э. и завершающийся в конце XVI века. Одной из основ математики является уравнение. Значение уравнений нельзя переоценить. Их использование, позволяет решить казалось бы невозможное или невероятно трудное на первый взгляд.

Цель: Исследование уравнений их типов и их значений для математики.


Решение уравнений

Решение уравнения — это задача по нахождению таких значений аргументов при которых выполняется равенство. Значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Решить уравнение значит найти множество всех его решений или доказать, что корней нет вовсе. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия.

Аргументы заданных функций также называемые «переменными» в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Есть несколько методов решения уравнений. Их разделяют на четыре группы:

1.Аналитические методы решения уравнения

2.Численные методы решения уравнения

3.Методы проверки решения

4.Методы отсеивания посторонних решений

Основные свойства решения уравнений

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней:

1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки.

2. В любой части уравнения можно привести одни и те же слагаемые.

3. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, но его знак меняется на противоположный.

4. Ко всем частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.

5. Из всех частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.

6. Все части уравнения можно умножить или делить на одно и то же число, исключением является ноль.

Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными или равными начальному уравнению. Но для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения, содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающем значения корней данного уравнения, получится уравнение, не эквивалентно исходному. Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

Аналитические методы

Аналитический метод решения — это выражение замкнутой формы, которое может быть вычислено за конечное число операций. Однако, существуют выражения, содержащие в себе неисчислимые функции. Под аналитическим решением имеется в виду любое решение, записанное в формульном виде, содержащее в себе известные или определенные функции от параметров или переменных.

Аналитическая группа самая обширная из всех. В группу аналитических методов входят:

1.Метод подбора значения - заключающийся в угадывании правильного значения корня.

2.Полный перебор - поиска решения исчерпыванием всевозможных вариантов.

3.Метод обратной операции - основывается на свойстве обратной функции.

4.Графический метод - основывается на базовом свойстве графиков функции.

5.Метод оценки области допустимых значений - заключается в отсечении некоторой части из области значений функции, в которых данная функция не существует.

6.Метод разложения на множители - произведения нескольких менее сложных уравнений.

7.Методы преобразований - наборы действий, выполняемых над обеими частями уравнения, приводящие к равносильным уравнениям, решить которые гораздо легче.

7.1.Перенос слагаемых

7.2.Прибавление или вычитание константы

7.3.Умножение или деление на ненулевую константу

7.4.Замена выражений

7.5.Возведение в степень

7.6.Логарифмирование

7.7.Потенцирование

7.8.Тетрация с показателем 2

7.9.Суперпотенцирование

Численные методы

Данные методы представляют собой отдельную совокупность алгоритмов получения решения конкретного уравнения с заданной точностью. Основные отличия от аналитического решения:

1. Погрешность вычисления

2. Универсальность применения

3. Возобновляемость процесса решения

4. Необходимость использования дополнительного оборудования

К численным методам относятся:

1.Метод бисекции - основан на противоположности знаков непрерывной функции около её нуля.

2.Метод хорды - в основе лежит постоянное приближение к корню через пересечения хорд с осью абсцисс.

3.Метод Ньютона - заключается в использовании итеративного приближения дифференцируемой функции.

4.Метод простой итерации - соединение методов хорды и Ньютона.

Методы проверки решен

Проверка решения необходима для определения того или иного полученного решения истинным и/или посторонним. Уравнение является частным случаем задачи, поэтому на них распространяются аналогичные методы проверки.
В эту группу входят:
1.Проверка алгоритма решения - это основной метод проверки хода решения, заключающийся в попутном обосновании логичности всех выполненных математических действий алгоритма.

2.Подстановка корней - заключается в проверке выполнения тождественного равенства уравнения при конкретном данном решении.

3.Проверка на соответствие ОДЗ - этот метод не гарантирует правильность и полноту решения, но определяет их истинность и помогает избежать дополнительных решений при появлении посторонних корней.

4.Проверка решения на простые и/или - выполняется над аналитическим решением, чтобы доказать его универсальность или найти область возможных решений данного вида уравнений.

5.Проверка на соответствие структуры решения структуре уравнения - позволяет заранее определить дополнительные решения уравнения исходя из свойств функций уравнения.

6.Решение альтернативным способом - используется когда требуется проверить какой-либо алгоритм, благодаря этому методу открываются новые формулы, связи и взаимозависимости уже известных функций.

Равносильные уравнения

Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают.

Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности.

Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности.

Третье важное свойство задаётся теоремой: если функции заданы над областью целостности, то уравнение эквивалентно совокупности уравнений.

Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений, и позволяет находить корни первого уравнения в два приёма, решая каждый раз более простые уравнения.

Виды уравнений

Существует много видов уравнений, они делятся на классы, некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ существования и количества корней в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.
Виды уравнений:
1. Алгебраические уравнения.

1.2. Линейные уравнения.

1.3. Квадратные уравнения.

1.4. Кубические уравнения.

1.5. Уравнения четвёртой степени.

1.6. Уравнения пятой степени.

1.7. Уравнения шестой степени.

1.8. Возвратное уравнение.

1.9. Системные алгебраические уравнения.

2. Иррациональные.

3. Рациональные.

4. Уравнения с параметрами.

5. Трансцендентные уравнения.

6. Функциональные уравнения.

7. Дифференциальные уравнения.

Алгебраические уравнения

Алгебраическое уравнение (многочленное уравнение) — уравнение вида P(x1,x2,x3.....xn) где P - многочлен от переменных x1…..x2, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля, и тогда уравнение P(x1,x2…...xn)=0 называется алгебраическим уравнением над полем . Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Алгебраические разделяются на:

1. Уравнения с одной неизменной.

2. Линейные уравнения.

С одной переменной: ax + b = 0

С несколькими переменными: a1x1 + a2x2 +..... + anxn + b = 0

3. Квадратные уравнения.

С одной переменной: ax^2 + bx + c = 0

4. Кубические уравнения.

С одной переменной: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

5. Уравнения четвертой степени.

С одной переменной: ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

6. Уравнения пятой степени.

С одной переменной: ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0

7. Уравнения шестой степени.

С одной переменной: ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g = 0

8. Возвратное уравнение.

anx^n + an-1x^(n-1) +......+ a1x + a0 = 0

Рациональные и Иррациональные уравнения

Рациональные уравнения - это уравнения, в которых и левая, и правая части - рациональные выражения, то есть это целые и дробные уравнения без знака корня.
Рациональные уравнения можно разделить на две подгруппы:
1. Целые рациональные уравнения - дробь без деления на X или Y

2. Дробные рациональные уравнения - дробь с делением на X или Y
Иррациональные уравнения - это уравнения, в которых переменные X или Y находятся под корнем.
Иррациональные можно разделить на виды:
1. Полные - когда обе части имеют иррациональные переменные.

2. Неполные - когда только одна часть имеет переменную в корне.

Рациональные и иррациональные уравнения являются противоположными друг другу.

Уравнения с параметрами

Уравнения с параметрами - это уравнения имеющие параметры -a- -b- -c- и другие, решить уравнение с параметром значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество решений уравнения.
Два уравнения с параметрами называются эквивалентными, если при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Для уравнения с параметром особым или контрольным значением параметра называется такое значение, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Трансцендентные уравнения

Трансцендентное уравнение - уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.
1. cos x = x - это тригонометрическое уравнение.

2. lg x = x - 5 - это логарифмическое уравнение.

3. 2^x = lg x + x^5 + 40 - это показательное уравнение.
Трансцендентные уравнения - это уравнения где хотя бы одна функция не является алгебраической.

Функциональные уравнения

Функциональное уравнение - это уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют.

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентноесоотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел.

Рекуррентным называется уравнение, связывающее несколько подряд идущих членов числовой последовательности. Последовательность, удовлетворяющая уравнению, называется рекуррентной последовательностью.

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций

Инволю́ция - преобразование, которое является обратным самому себе.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение — уравнение, в которое входят производные функции и могут входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен. Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной.

Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

При решении дифференциальных уравнений ищется функция.

Дифференциальное уравнение выше первого порядка можно преобразовать в систему уравнений первого порядка.

Степенью дифференциального уравнения - степень дифференциального уравнения, которое является многочленом относительно старшей производной.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на две подгруппы:
1.Обыкновенныедифференциальные уравнения - это уравнения в которые входят только функции от одного аргумента.

2.Дифференциальные уравнения в частныхпроизводных - это уравнения в которых функции зависят от многих переменных.

Вывод

При работе над данным проектом я узнал, что уравнения играют очень важную роль в жизни людей. Я разобрался в теме уравнений, повторил основные свойства их решения, узнал новые виды уравнений и разобрался в них. Благодаря этому проекту я узнал много нового и ещё раз убедился в важности уравнений, а тем более в важности самой математики.

Литература

1.Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение

2.Инфоурок https://infourok.ru/

3.YouClever https://youclever.org/

4.Solverbook http://ru.solverbook.com/