В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001

• Название: В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001
• Анкор: 2.pdf
• Дата: 16.03.2019
• Размер: 1.78 Mb.
• Имя файла: 2.pdf
• Тип: Книга; #25894
• страница: 10 из 16

) =
f(gr
1
) =
f(g)f(r
1
) =
f(g)e
F
=
f(g)f(r
2
) =
f(gr
2
) Обратно, пусть f(g
1
) =
f(g
2
). Тогда имеем f(g
−1 1
g
2
) =
f(g
−1 1
) ×
×
f(g
2
) = (см. 134) = [
f(g
1
)]
−1
·
f(g
1
) = e
F
. Следовательно, g
−1 1
g
2
= где r — некоторый элемент из ядра Ker f. Отсюда g
2
= g
1
r и поэтому оба элемента и содержатся в смежном классе g
1
Ker f.
140. Пусть f — произвольный элемент из F . Так как f — отображение на, то существует элемент a группы G такой, что f(a) = Пусть A — смежный класс, содержащий a. Тогда по определению y(A) = f(a) = f.
141. Пусть y(A) = y(B), и пусть a, b — представители классов A
135

и B. Тогда f(a) = y(A) = y(B) = f(b). Отсюда (см. 139) A = B.
142. Пусть A и B — произвольные смежные классы и a, b — их представители. Тогда элемент ab содержится в классе AB. Учитывая определение отображения y, получаем y(AB) = f(ab) = (f гомоморфизм) =
f(a) · f(b) = y(A) · y(B). Так как y — взаимно однозначное отображение (см. 141), то y — изоморфизм. Пусть k, l, m — оси, проходящие через середины противоположных ребер тетраэдра. При каждой симметрии тетраэдра эти оси некоторым образом переставляются, темы имеем некоторое отображение группы симметрий тетраэдра в группу подстановок трех осей k, l, m. Это отображение является отображением на всю группу таких подстановок, так как нетрудно проверить (проверьте),
что любую подстановку осей можно получить, подбирая подходящую симметрию тетраэдра. Легко видеть, что для любых симметрий тетраэдра и подстановка осей k, l, m, соответствующая симметрии g
1
g
2
, является композицией подстановок, соответствующих симметриями, те) и, следовательно,
f
1
—
гомоморфизм.
Каждой подстановке осей k, l, m можно естественным образом поставить в соответствие симметрию правильного треугольника KLM Получим изоморфизм группы подстановок трех осей k, l, m на группу симметрий треугольника KLM Отображение будет гомоморфизмом (см. 135) группы симметрий тетраэдра на всю группу симметрий треугольника KLM . Ядром этого гомоморфизма являются все симметрии тетраэдра, переводящие каждую из осей k, l, m в себя. Такими симметриями являются только тождественное преобразование тетраэдра и вращения на вокруг осей k, l, m. Из результата задачи 138 и теоремы 3 получаем, что эти 4 симметрии образуют нормальную подгруппу в группе симметрий тетраэдра и соответствующая факторгруппа изоморфна группе симметрий треугольника. Пусть k, l, m — оси, проходящие через центры противоположных граней куба. Также как при решении задачи 143, построим гомоморфизм группы вращений куба на группу симметрий правильного треугольника KLM . Ядром этого гомоморфизма будут все вращения куба, переводящие каждую из осей k, l, m в себя. Такими вращениями являются только тождественное преобразование и вращения на вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней. Из результата задачи 138 и теоремы 3 получаем, что эти 4 вращения образуют нормальную подгруппу в группе вращений куба и соответствующая факторгруппа изоморфна группе симметрий треугольника. Обозначим через r вращение плоскости вокруг точки на угол a против часовой стрелки. Отображение f(r a
) = r n
a является гомоморфизмом группы R на себя, так как f(r a
r b
) =
f(r a+b
) = r n(
a+b)
= r n
a r
n b
=
f(r a
)
f(r и для любого вращения r есть вращение r a/n такое, что f(r a/n
) = r Ядром гомоморфизма f являются все вращения r такие, что na =
2
pk, те. Это те и только те вращения плоскости, которые переводят правильный угольник в себя. Из результата задачи 138 136

и теоремы 3 получаем утверждение данной задачи. Пусть и f
2
— естественные гомоморфизмы (см. стр.
40
)
групп и соответственно на факторгруппы и Пусть f — отображение группы G
1
× на группу (G
1
/N
1
) × (такое, что f((g
1
, g
2
)) = (
f
1
(g
1
),
f
2
(g
2
)). Это отображение является гомоморфизмом действительно, g
2
) · (g
3
, g
4
)) =
f((g
1
g
3
, g
2
g
4
)) =
= (
f
1
(g
1
g
3
),
f
2
(g
2
g
4
)) = (
f
1
(g
1
)
f
1
(g
3
),
f
2
(g
2
)
f
2
(g
4
)) =
= (
f
1
(g
1
),
f
2
(g
2
)) · (
f
1
(g
3
),
f
2
(g
4
)) =
f((g
1
, g
2
)) ·
f((g
3
, Ядром гомоморфизма f будут все пары (g
1
, g
2
)
такие,
что f((g
1
, g
2
)) = (E
1
, E
2
), где и E
2
— единичные элементы соответственно в факторгруппах и G
2
/N
2
. Так как f((g
1
, g
2
)) =
= (
f
1
(g
1
),
f
2
(g
2
)), то ядром гомоморфизма f будут все пары (g
1
, такие, что f
1
(g
1
) = и f
2
(g
2
) = E
2
. Так как и f
2
— естественные гомоморфизмы, то получаем, что ядром гомоморфизма f будет подгруппа N
1
× N
2
. Из результата задачи 138 и теоремы 3 получаем утверждение данной задачи. Могут. Например, группа Z
4
= {e, a, a
2
, a
3
} и группа Z
2
× содержат нормальные подгруппы соответственно {e, a
2
} и Z
2
× изоморфные группе Z
2
, факторгруппы по которым также изоморфны. Может. Например, группа Z
4
× где Z
4
= {e, a, a
2
, a
3
}, содержит две изоморфные нормальные подгруппы {e
1
} × и {e
1
} ×
× {
2
}, факторгруппы по которыми Z
2
соответственно
(см. 146).
149. Может. Пример такой бесконечной группы дан в задаче где R/Z
n
∼
= R и, очевидно, R/{e} ∼
= Примером конечной группы, является, например, группа Z
4
× которая содержит нормальные подгруппы вида Z
4
× {e
2
} и Z
2
× Z
2
факторгруппы по которым изоморфны см. 146).
150. см. 57. 1) Пусть и содержатся в f(H). Это означает, что в H найдутся элементы и такие, что f(h
1
) = и f(h
2
) = Тогда элемент содержится в H итак как f гомоморфизм) =
f(h
1
)
f(h
2
) = f
1
f
2
. Значит также содержится в) Так как содержится в H и f(e
G
) = см. 133), то содержится в образе f(H) подгруппы H.
3) Пусть элемент f содержится в f(H). Это означает, что в найдется элемент h такой, что f(h) = f. Тогда элемент содержится в H и f(h
−1
) = (см. 134) = [
f(h)]
−1
= f
−1
. Поэтому также содержится в f(H).
151. См. 57. 1) Пусть и содержатся в f
−1
(H). Это означает, что элементы f(g
1
) = и f(g
2
) = содержатся в H. Тогда элемент также содержится в H и f(g
1
g
2
) =
f(g
1
)
f(g
2
) = Поэтому содержится в f
−1
(H).
2) Так как f(e
G
) = см. 133) и содержится в H, то содержится в f
−1
(H).
137

3) Пусть g содержится в f
−1
(H). Это означает, что элемент f(g) = h содержится в H. Тогда элемент также содержится в H и f(g
−1
) = (см. 134) = [
f(g)]
−1
= h
−1
. Поэтому содержится в. Пусть a — произвольный элемент из f
−1
(N ). Это означает,
что элемент f(a) = h содержится в N. Если g — произвольный элемент группы G и f(g) = f, то f(g
−1
) = (см. 134) = [
f(g)]
−1
= f
−1
. Тогда элемент f(gag
−1
) =
f(g)f(a)f(g
−1
) = f содержится в N , так как N — нормальная подгруппа группы F . Поэтому элемент содержится в f
−1
(N ) и, следовательно ) — нормальная подгруппа в группе G.
153. Если и g
2
— произвольные элементы группы G и f(g
1
) =
= f
1
,
f(g
2
) = f
2
, то (см. 134)
f(g
−1 1
) = f
−1 1
,
f(g
−1 2
) = f
−1 2
. Отсюда f(g
1
g
2
g
−1 1
g
−1 2
) =
f(g
1
)
f(g
2
)
f(g
−1 1
)
f(g
−1 2
) = f
1
f
2
f
−1 1
f
−1 2
, те. образ любого коммутатора группы G является коммутатором в группе F . Любой элемент коммутанта представим в виде k
1
· k
2
· . . . · k n
, где все k
i
— коммутаторы. Элемент f(k
1
· k
2
· . . . · k n
) =
f(k
1
)
f(k
2
) · . . . ·
f(k является произведением коммутаторов в группе F и, следовательно,
содержится в коммутанте K
2
. Значит) содержится в K
2
. Отсюда вытекает также, что содержится в f
−1
(K
2
).
154. Пусть a — произвольный элемент из f(N). Это означает, что в N найдется элемент h такой, что f(h) = a. Пусть f — произвольный элемент группы F . Так как f — гомоморфизм на, тов группе найдется элемент g такой, что f(g) = f. Тогда f(g
−1
) = см. 134) и f(ghg
−1
) = f af
−1
. Так как N — нормальная подгруппа в группе G, то элемент содержится в N . Поэтому элемент f содержится в) и, следовательно, f(N) — нормальная подгруппа группы F .
155. Пусть f
1
f
2
f
−1 1
f
−1 2
— произвольный коммутатор в F . Так как f — гомоморфизм на, тов найдутся элементы и такие, что f(g
1
) = и f(g
2
) = f
2
. Тогда (см. 134)
f(g
−1 1
) = f
−1 1
,
f(g
−1 2
) = f
−1 и f(g
1
g
2
g
−1 1
g
−1 2
) =
f(g
1
)
f(g
2
)
f(g
−1 1
)
f(g
−1 2
) = f
1
f
2
f
−1 1
f
−1 2
. Так как элемент содержится в K
1
, то коммутатор f
1
f
2
f
−1 1
f
−1 содержится в f(K
1
). Так как f(K
1
) — подгруппа в F (см. 150) и содержит все коммутаторы, то f(K
1
) содержит весь коммутант K
2
. С другой стороны) содержится в см. 153). Поэтому f(K
1
) = Равенство K
1
=
f
−1
(K
2
) в общем случае неверно. Например, отображение группы Z
2
= {e
1
, a} на группу {e
2
}, состоящую из одного элемента, такое, что f(e
1
) = и f(a) = e
2
, является гомоморфизмом на. При этом K
1
= {e
1
}, K
2
= {e
2
} и f
−1
(K
2
) = {e
1
, a} = K
1 156. Ответа) Да группа Z
n коммутативна, б) да (см. 118), в) да
(см. 118), г) да (см. 118), д) да (см. 120), еда (см. 122 и д, ж) да
(см. 128 и д. Произвольную фиксированную грань можно совместить с любой из 12 граней, причем пятью способами.
Ответ. 60.
158. Ответ. 1) 1, 2) 24, 3) 20, 4) 15.
159. Пусть и l
2
— оси одинакового типа (те. либо обе проходят через середины противоположных граней, либо обе проходят через противоположные вершины, либо обе проходят через середины противоположных ребер. Существует вращение g додекаэдра, переводящее

ось в ось l
2
. Если a — некоторое (нетождественное) вращение вокруг оси l
1
, то вращение переводит (проверьте) ось в себя, не меняя ее направления. Поэтому gag
−1
— это нетождественное (иначе a = g
−1
g = e вращение вокруг оси l
2
. Таким образом, если нормальная подгруппа в группе вращений додекаэдра содержит хотя бы одно вращение вокруг некоторой оси, то она содержит хотя бы по одному вращению вокруг каждой оси того же типа. Подгруппа вращений додекаэдра вокруг некоторой оси имеет порядок (в зависимости от типа оси) 5, 3 или 2. Так как 5, 3 и 2 — простые числа, то любой элемент (отличный отв такой подгруппе является образующим
(см. 34), те. порождает всю подгруппу. Таким образом, если нормальная подгруппа в группе вращений додекаэдра содержит хотя бы одно вращение вокруг некоторой оси, то она содержит все вращения вокруг осей того же типа. Из результата задачи 159 следует, что нормальная подгруппа в группе вращений додекаэдра должна состоять из нескольких классов, причем класс 1 обязательно входит в нормальную подгруппу. Порядок нормальной подгруппы должен быть делителем порядка группы вращений додекаэдра (60) (см. теорему Лагранжа, стр.
31
).
Легко проверить (см. 158), что это возможно лишь в том случае,
если нормальная подгруппа содержит только класс 1 или все классы. Так как группа G некоммутативна, то коммутант K(G) = Так как K(G) — нормальная подгруппа в G (см. 116), то при условиях задачи K(G) = G. Поэтому в цепочке G, K(G), K
2
(G) = K(K(G)), . . все группы совпадают си, следовательно, эта цепочка никогда не заканчивается единичной группой. Отсюда группа G не является разрешимой. Пусть группа G разрешима. Тогда существует n такое,
что подгруппа K
n
(G) = K(K . . . (K
n
(G)) . . . ) является единичной.
Если H — подгруппа группы G, то K(H) содержится в K(G), подгруппа) содержится в K(K(G)) и т. д. Так как подгруппа) содержится в K
n
(G) и подгруппа K
n
(G) единичная, то и) — единичная подгруппа. Поэтому подгруппа H разрешима. Обозначим через K(G) коммутант в группе G и через подгруппу K(K . . . (K
r
(G)) . . . ). Так как f — гомоморфизм группы на группу F , то f(K(G)) = K(F ) (см. 155). Отсюда f(K
2
(G)) = K
2
(F и вообще f(K
r
(G)) = K
r
(F ). Так как группа G разрешима, то для некоторого n подгруппа K
n
(G) является единичной. Так как f(K
n
(G)) = K
n
(F ), то и подгруппа K
n
(F ) единичная. Поэтому группа F разрешима. Ответ. Например G → {e}, где G — группа вращений додекаэдра. Указание. Рассмотрите естественный гомоморфизм (см.
стр.
40
) группы G на факторгруппу G/N . Далее воспользуйтесь результатом задачи 163.
166. Пусть K(G) — коммутант в группе G и

K
r
(G) = K(K . . . (K
r
(G)) . . . Рассмотрим естественный гомоморфизм f (см. стр) группы на факторгруппу G/N . Тогда (см. 155)
f(K(G)) = K(G/N),
f(K
2
(G)) = K
2
(G/N ) и вообще f(K
r
(G)) = K
r
(G/N ). Так как группа разрешима, то для некоторого n подгруппа K
n
(G/N ) будет единичной, те. Так как f(K
n
(G)) = K
n
(G/N ) =
= {E}, то подгруппа K
n
(G) содержится в нормальной подгруппе N Группа N разрешима, поэтому для некоторого s подгруппа K
s
(N единичная. Так как K
n
(G) содержится в N , то подгруппа содержится в K
s
(N ) и поэтому является единичной. Следовательно,
группа G разрешима. Из задачи 146 получаем (G × F )/(G × {e
2
}) ∼
= {e} × F . Так как группы G × {e
2
} и {e} × F изоморфны соответственно группами, а поэтому разрешимы, то (см. 166) и группа G × F разрешима. Так как группа G разрешима, тов цепочке коммутантов G,
K(G), K
2
(G), . . . при некотором n будет K
n
(G) = {e}. Рассмотрим цепочку групп G, K(G), K
2
(G), . . . K
n
(G). Эта цепочка групп является искомой, так как каждая следующая группа является коммутантом и, следовательно, нормальной подгруппой (см. 116) в предыдущей группе, причем все факторгруппы K
i
(G)/K
i+1
(G), а также коммутативны (см. 129); группа K
n
(G) = {e} также коммутативна. Так как по условию факторгруппа G
i−1
/G
i коммутативна,
то коммутант K(G
i−1
) содержится в см. 130). Отсюда подгруппа) содержится в K(G
i
) и вообще подгруппа K
r
(G
i−1
) содержится в K
r−1
(G
i
) при любых r
1 и 1
i n. Поэтому подгруппа) содержится в подгруппе K
n
(G
1
), которая в свою очередь содержится в K
n−1
(G
2
), и т. д. до K(G
n
). Следовательно, подгруппа) содержится в K(G
n
). Но K(G
n
) = {e} так как группа G
n по условию коммутативна. Поэтому и K
n+1
(G) = {e}, те. группа G
разрешима.
Результат задачи 169 можно также получить с помощью метода математической индукции, переходя от G
n к G
n−1
, затем кит. д. и используя результат задачи 166.
170. По условию группа G разрешима. Это означает, что при некотором подгруппа K
n
(G) является единичной и, следовательно, подгруппа) является коммутативной. Так как K
n−1
(G) — нормальная подгруппа в группе G (см. 131), то можно рассмотреть фак- торгруппу G
1
= G/K
n−1
(G). Докажем, что подгруппа K
n−2
(G
1
) коммутативна. Рассмотрим для этого естественный гомоморфизм (см.
стр.
40
)
f: G → с ядром K
n−1
(G). Так как f — гомоморфизм на, то
(см. 155)
f(K(G)) = K(G
1
). Отсюда f(K
2
(G)) = K
2
(G
1
) и т. д. Таким образом, K
n−1
(G
1
) =
f(K
n−1
(G)) = (так как K
n−1
(G) — ядро гомоморфизма. Так как K
n−1
(G
1
) = K(K
n−2
(G
1
)) = {e
G1
}, то
(см. 117) подгруппа K
n−2
(G
1
) коммутативна.
Обозначим через G
2
факторгруппу G
1
/K
n−2
(G
1
). Также как выше, можно показать, что подгруппа K
n−3
(G
2
) коммутативна.
Положим G
3
= G
2
/K
n−3
(G
2
) и т. д. При этом факторгруппа G
n−1
=
= G
n−2
/K(G
n−2
) будет коммутативна (см. 129). Цепочка групп G,
G
1
, G
2
, . . . , вместе с нормальными подгруппами K
n−1
(G),
140

K
n−2
(G
1
), K
n−3
(G
2
), . . . , K(G
n−2
) является искомой. Пусть G
0
, G
1
, . . . , G
n
— цепочка групп с указанными в задаче свойствами. Докажем, что все группы в этой цепочке ив частности, разрешимы. Доказательство проведем индукцией от n к 0. Группа G
n разрешима, так как по условию она коммутативна и,
следовательно, K(G
n
) = {e}. Пусть уже доказано, что группа G
i разрешима. Докажем, что тогда и группа разрешима. Группа содержит по условию коммутативную и, следовательно, разрешимую,
нормальную подгруппу N
i−1
, причем факторгруппа G
i−1
/N
i−1
∼
= G
i разрешима по предположению индукции. Но тогда группа также разрешима в силу результата задачи 166. Таким образом, по принципу математической индукции можно утверждать, что все группы в цепочке разрешимы. В частности, разрешима группа G
0 172. Произвольную подстановку степени n можно записать в виде, где все i различны и принимают значения от до n. В качестве можно выбрать любое из n значений. После этого в качестве можно выбрать любое из n − 1 оставшихся значений и т. д. Поэтому число различных подстановок степени n равно n(n − 1) · . . . · 2 · 1 = n!
173. Если a=
1 2 3 4 . . . n
2 3 1 4 . . . n и b=
1 2 3 4 . . . n
1 3 2 4 . . . n
, то ab=
1 2 3 4 . . . n
2 1 3 4 . . . ат. е. ab = ba (Напомним, что в произведении ab сначала выполняется подстановка b, затем a.)