В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
f(Москва) = М. Будет ли f отображением всех городов мира навесь русский алфавит? О пределен и е. Отображение f: X → Y называют взаимно однозначным отображением множества X на множество Y , если для каждого y из Y существует, ипритом единственный, прообраз в X. 9. Рассмотрим следующие отображения множества всех целых чисел в множество неотрицательных целых чисел: а) f(n) = б) = в) если n 0, 2|n| − если n < Какие из этих отображений являются отображениями на, взаимно однозначными отображениями? Пусть M — произвольное множество. Произвольное взаимно однозначное отображение множества M на себя : M → M , мы будем для краткости называть преобразованием множества M Два преобразования и будут считаться равными, если g 1 (A) = g 2 (A) для любого элемента A из M . Вместо термина преобразование часто используется термин подстановка. Мы будем использовать этот термин лишь в тех случаях, когда преобразование задано наконечном множестве. Тогда подстановка может быть записана в виде. . . A n A i 1 A i 2 . . . A i где в верхней строке перечислены все элементы данного множества, а нижняя строка показывает, куда каждый их этих элементов переходит. Так как преобразование — это взаимно однозначное отображение, то для каждого преобразования g существует обратное преобразование g −1 , которое определяется следующим образом если g(A) = B, то g −1 (B) = A. Так, в примере, поэтому a −1 = A B C C A B , те. Найти обратные преобразования ко всем симметриям равностороннего треугольника (примеры 1, 2, стр. Пусть g(x) = 2x — преобразование всех действительных чисел. Найти обратное преобразование. Произведение преобразований и определяется так) = g 1 (g 2 (A)) (сначала делается преобразование затем g 1 ). Если и g 2 — преобразования множества M , то g 1 g 2 — также преобразование множества M Определение. Пусть некоторое множество преобразований обладает следующими свойствами 1) если преобразования и содержатся в G, то и их произведение содержится в G; 2) если преобразование g содержится в G, то и обратное ему преобразование содержится в G. Тогда такое множество преобразований будем называть группой преобразований. Нетрудно проверить, что множества преобразований, рассмотренные в примерах 1–6, являются группами преобразований. Доказать, что любая группа преобразований содержит тождественное преобразование e такое, что e(A) = для любого элемента A множества M . 13. Доказать, что eg = ge = g для любого преобразования. Доказать, что для любых трех преобразований g 1 , и имеет место равенство g 1 (g 2 g 3 ) *) § 3. Группы При решении задачи мы составили таблицы умножения для симметрий ромба и прямоугольника. При этом оказалось, что при наших обозначениях симметрий (см. решения) эти таблицы совпадают. Для многих целей такие группы преобразований естественно считать совпадающими. Поэтому мы отвлечемся от природы элементов множества (в нашем случае преобразований) и природы бинарной операции **) (в нашем случае композиции преобразований) и будем рассматривать просто бинарные операции на произвольных множествах, но только такие операции, для которых выполняются основные свойства групп преобразований. При этом произвольную бинарную операцию мы будем обычно называть умножением, и если паре (a, b) соответствует, то будем с называть произведением a и b и) Это равенство справедливо не только для преобразований, но и для любых трех отображений g 1 , g 2 , таких, что g 3 : M 1 → M 2 , g 2 : M 2 → M 3 , g 1 : M 3 → M 4 **) Определение бинарной операции см. на стр 20 писать ab = . В некоторых частных случаях эта операция может называться по-иному, например, композицией, сложением и т. д. О пределен и е. Группой называется множество элементов произвольной природы, на котором задана бинарная операция a · b такая, что выполняются следующие условия) ассоциативность (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c изв существует такой элемент e, что ea = ae = a для любого элемента a из G, такой элемент e называется единицей группы G; 3) для любого элемента a из G существует такой элемент в G, что aa −1 = a −1 a = e, такой элемент называется обратным к элементу Из результатов задач 12–14 мы видим, что всякая группа преобразований является группой (в некотором смысле верно и обратное утверждение (см. 55)). Таким образом, мы уже имеем несколько примеров групп. Все эти группы содержат конечное число элементов, такие группы называются конечными группами. Число элементов в конечной группе называется порядком группы. Группы, содержащие бесконечное число элементов, называются бесконечными группами. Рассмотрим несколько примеров бесконечных групп. П р им ер. Рассмотрим множество всех целых чисел. Под бинарной операцией на этом множестве будем понимать обычное сложение. Тогда мы получим группу. Действительно, роль единичного элемента в этом случае будет играть 0, так как 0 + n = n + 0 = n для любого целого. Кроме того, для каждого n существует обратный элемент −n (называемый в случае сложения противоположным элементом, так как n + (−n) = (−n) + n = Ассоциативность в этом случае следует из законов арифметики. Полученная группа называется группой целых чисел по сложению. Образуют ли группу по умножению 1) все действительные числа, 2) все действительные числа без 0? 16. Образуют ли группу по умножению все положительные действительные числа. Образуют ли все натуральные числа группу а) по сложению, б) по умножению. Доказать, что в любой группе существует единственный единичный элемент. Доказать, что для любого элемента a группы существует единственный обратный элемент a −1 20. Доказать, что 1) e −1 = e, 2) (a −1 ) −1 = Если a и b — элементы некоторой группы, то по определению бинарной операции выражение a · b задает некоторый определенный элемент группы. Поэтому выражения вида · b) · c, a · (b · c), (a · b) · (c · d) также задают некоторые определенные элементы группы. Любые два из полученных элементов можно снова перемножить, получив опять определенный элемент группы, и т. д. При этом чтобы на каждом шаге можно было однозначно восстановить, какая же операция выполнялась последней, будем оба перемножаемых выражения заключать в скобки (выражения, состоящие из одной буквы, можно в скобки не заключать. Всевозможные выражения, которые можно построить таким способом, назовем правильно построенными произведениями. Например, (a · b) · · (c · (a · c)) — правильно построенное произведение, а выражение) не является правильно построенным произведением, так как неясно, в каком порядке должны выполняться операции умножения. Рассматривая произведение a 1 · a 2 · . . . · a нескольких действительных чисел a 1 , a 2 , . . . , a n , мы совсем не ставим скобок, так как оказывается, что результат не зависит от порядка выполнения операций, те. при любой расстановке скобок, дающей правильно построенное произведение, результат, соответствующий этому произведению, будет одними тем же. Оказывается, что это свойство выполняется в любой группе, что вытекает из результата следующей задачи. Пусть бинарная операция a · b обладает свойством ассоциативности, те) для любых элементов. Доказать, что любое правильно построенное произведение, в котором слева направо идут элементы a 1 , a 2 , . . . , a n , задает тот же элемент, что и произведение. . . ((a 1 · a 2 ) · a 3 ) · . . . · a n−1 ) · a Таким образом, если a 1 , a 2 , . . . , a n — элементы некоторой группы, то все правильно построенные произведения, полученные из элементов a 1 , a 2 , . . . , a именно в этом порядке разными расстановками скобок, задают один и тот же элемент, который будем обозначать a 1 · a 2 · . . . · a уже без указания скобок). При умножении действительных чисел выполняется еще одно очень важное свойство, а именно произведение a 1 · a 2 · . . . · a не изменится, если произвольным образом переставить сомножители. Однако в произвольной группе это свойство может не выполняться. О пределен и е. Два элемента a и b группы называются перестановочными или коммутирующими, если ab = ba. Если все элементы группы коммутируют между собой, то такая группа называется коммутативной или абелевой. Существуют некоммутативные группы. Такой группой является, например, группа симметрий треугольника (см. пример 2, где ac = f , ca = d и ac = ca). 22. Выяснить, являются ли коммутативными следующие группы (см. 2, 4–7): 1) группа вращений треугольника) группа вращений квадрата, 3) группа симметрий квадрата) группа симметрий ромба, 5) группа симметрий прямоугольника. Доказать, что в произвольной группе) (ab) −1 = b −1 a −1 , 2) (a 1 · . . . · a n ) −1 = a −1 n · . . . · a −1 Замечание. Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше. Если есть некоторое равенство a = b в произвольной группе обозначающее, что левая и правая части задают один и тот же элемент, то из него можно получить новое равенство, умножив обе части исходного равенства на некоторый элемент c группы G. Однако, так как произведение в группе может зависеть от порядка сомножителей, то можно только либо обе части равенства умножить на некоторый элемент справа ac = либо обе части умножить на некоторый элемент слева = cb. 24. Пусть a, b — произвольные элементы некоторой группы. Доказать, что каждое из уравнений ax = b и ya = b имеет, ипритом ровно одно, решение в данной группе. Условие единственности из задачи 24 можно выразить еще следующим образом если ab 1 = или b 1 a = b 2 a, то b 1 = b 2 25. Пусть a · a = e для любого элемента a группы Доказать, что группа G коммутативная. Под a m , где m — произвольное натуральное число и a произвольный элемент группы G, мы будем понимать произведение, где число сомножителей равно m. 26. Доказать, что (a m ) −1 = (a −1 ) m , где m — натуральное число. Таким образом, (a и (a −1 ) m при натуральном m это один и тот же элемент, который мы будем обозначать. Кроме того, мы положим a 0 = e для любого элемента a. 27. Доказать, что a m · a n = a m+n для любых целых чисел и n. 28. Доказать, что (a m ) n = a mn для любых целых чисел m и n. § 4. Циклические группы Простейшими ив тоже время очень важными группами являются циклические группы, которые мы сейчас и рас- смотрим. О пределен и е. Пусть a — элемент некоторой группы. Наименьшее натуральное число n такое, что a n = называют порядком элемента a. Если такого n не существует, то говорят, что a — элемент бесконечного порядка. Найти порядки всех элементов в группах симметрий правильного треугольника, квадрата и ромба (см. 3, 5, 6). 30. Пусть элемент a имеет порядок n. Доказать, что) элементы e, a, a 2 , . . . , a все различны 2) для любого целого m элемент a совпадает с одним из указанных выше элементов. О пределен и е. Если элемент a имеет порядок n и кроме элементов e, a, a 2 , . . . , a в группе G больше нет элементов, то группа G называется циклической группой порядка n, порожденной элементом a, а элемент a называется образующим этой группы. П р им ер. Пусть на плоскости дан правильный угольник. Рассмотрим все вращения плоскости (без переворачивания, переводящие правильный угольник в себя 31. Доказать, что эти вращения образуют циклическую группу порядка n. 32. Найти все образующие элементы в группах вращений треугольника и квадрата (примеры 1 и 3, стр. 15 и 17 ). 33. Пусть элемент a имеет порядок n. Доказать, что a m = e тогда и только тогда, когда m = nd, где d — произвольное целое число. Пусть a имеет простой порядок p и m — произвольное целое число. Доказать, что либо a m = e, либо элемент a имеет порядок p. 35. Пусть наибольший общий делитель натуральных чисел и n равен d и a имеет порядок n. Доказать, что элемент a имеет порядок n/d. 36. Найти все образующие в группе вращений правильного угольника. Пусть a — элемент бесконечного порядка. Доказать, что элементы . . . , a −2 , a −1 , a 0 = e, a, a 2 , . . . все различны. О пределен и е. Если a — элемент бесконечного порядка и кроме элементов . . . , a −2 , a −1 , e, a, a 2 , . . . в группе больше нет элементов, то G называют бесконечной циклической группой и a — ее образующим. Доказать, что группа целых чисел по сложению (пример 7, стр) является бесконечной циклической группой. Найти все ее образующие. П р им ер. Пусть n — натуральное число. Рассмотрим всевозможные остатки, которые могут получаться при делении целых чисел нате. числа 0, 1, 2, . . . , n − 1. Зададим на множестве этих остатков следующую бинарную операцию. Будем складывать данные остатки как обычно, а за результат принимать остаток отделения полученного числа на n. Эту операцию будем называть сложением по модулю n. Так, по модулю 4 будет 1 + 2 = 3, а 3 + 3 = 2. 39. Составить таблицы сложения по модулю а) 2, б) в) 4. 40. Доказать, что остатки с операцией сложения по модулю n образуют группу, причем эта группа циклическая порядка Рассмотрим снова произвольную циклическую группу порядка n: e, a, a 2 , . . . , a n−1 41. Доказать, что a m · a r = a k , где 0 m < n, 0 r < n и < n, тогда и только тогда, когда по модулю n имеет место равенство m + r = Из результата предыдущей задачи вытекает, что умножению элементов в произвольной циклической группе порядка соответствует некоторым образом сложение остатков по модулю n. Точно также умножению элементов в бесконечной циклической группе соответствует сложение целых чисел (см. 27). Здесь мы подошли к важному понятию в теории групп — понятию изоморфизма 5. Изоморфизм О пределен и е. Пусть даны две группы и G 2 , и пусть имеется взаимно однозначное отображение f элементов группы на элементы группы см. § 2), причем такое, что умножению в соответствует умножение в те. если f(a) = a , f(b) = b , f(c) = c ив группе тов группе G 2 . Тогда f называют изоморфизмом группы на группу G 2 , а группы, между которыми можно установить изоморфизм, называют изоморфными. Условие того, что взаимно однозначное отображение f является изоморфизмом, можно записать еще следующим образом) = f(a) · f(b) для любых элементов a и b группы здесь произведение ab берется в группе G 1 , а произведение f(a) · f(b) в группе G 2 42. Какие из следующих групп изоморфны 1) группа вращений квадрата, 2) группа симметрий ромба, 3) группа симметрий прямоугольника, 4) группа остатков с операцией сложения по модулю 4? 43. Пусть f: G 1 → G 2 — изоморфизм. Доказать, что обратное отображение f −1 : G 2 → также изоморфизм. Пусть f 1 : G 1 → и f 2 : G 2 → G 3 — изоморфизмы. Доказать, что f 2 f 1 : G 1 → также изоморфизм. Из последних двух задач следует, что две группы, изоморфные третьей группе, изоморфны между собой. Доказать, что любая циклическая группа порядка n изоморфна группе остатков при делении нас операцией сложения по модулю n. 46. Доказать, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел по сложению. Пусть f: G → F — изоморфизм. Доказать, что f(e G ) = e F , где и e F — единицы групп G и F . 26 48. Пусть f: G → F — изоморфизм. Доказать, что f(g −1 ) = для всех элементов g группы G. 49. Пусть f: G → F — изоморфизм и f(g) = h. Доказать, что g и h имеют равные порядки. Если изучается сама групповая операция, а природа элементов, из которых составлены группы, не играет роли, то изоморфные группы можно не различать. Так, например, мы будем говорить, что существует лишь одна с точностью до изоморфизма (см. 45) циклическая группа порядка которую мы будем обозначать Z n , и одна с точностью до изоморфизма (см. 46) бесконечная циклическая группа, которую мы будем обозначать Если группа изоморфна группе G 2 , то мы будем писать. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы, содержащие: а) 2 элемента, б) 3 элемента. Привести пример двух групп с одинаковым числом элементов и неизоморфных. 52. Доказать, что группа всех действительных чисел по сложению изоморфна группе положительных действительных чисел по умножению. Пусть a — произвольный элемент группы G. Рассмотрим отображение f a множества элементов группы G в себя, определенное следующим образом a (x) = ax для любого элемента x из G. Доказать, что f a является преобразованием множества элементов группы G ( те. взаимно однозначным отображением множества элементов группы G на себя. Пусть для каждого элемента a группы G построено преобразование см. задачу 53). Доказать, что множество всех этих преобразований f a образует группу с обычной операцией произведения преобразований. Доказать, что группа G изоморфна построенной в предыдущей задаче группе преобразований 6. Подгруппы Рассмотрим в группе G некоторое подмножество элементов. Может оказаться, что само является группой относительно той же бинарной операции, которая задана на G. 27 В этом случае H называют подгруппой группы G. Так, например, группа вращений правильного угольника является подгруппой группы всех симметрий правильного n- угольника. Если a — элемент группы G, то множество всех элементов вида a является подгруппой группы G (эта подгруппа циклическая, мы ее рассмотрели в § 4). 56. Пусть H — подгруппа группы G. Доказать, что: а) единичные элементы в G и совпадают б) если a элемент подгруппы H, то элементы, обратные кв и совпадают. Для того чтобы H было подгруппой группы G (относительно той же бинарной операции, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия 1) если a и b содержатся в H, то элемент ab (произведение в группе содержится в H; 2) e (единичный элемент группы G) содержится в H; 3) если a содержится в H, то ив группе содержится в H. Доказать. З а меча ни е. Из условий 1 и 3 вытекает условие 2. 58. Найти все подгруппы в группах 1) симметрий правильного треугольника, 2) симметрий квадрата. Найти все подгруппы в циклических группах а) б) Z 8 , в) Z 15 60. Доказать, что все подгруппы в Z n имеют вид e, a d , a 2d , . . . , a n d −1 d , где d — делитель n и a — образующий группы Z n 61. Доказать, что все подгруппы бесконечной циклической группы имеют вид {. . . , a −2r , a −r , e, a r , a 2r , . . . }, где a — образующий, a r — произвольное натуральное число. Доказать, что в любой бесконечной группе бесконечно много подгрупп. Доказать, что пересечение любого числа подгрупп *) некоторой группы G также является подгруппой группы Пример. Рассмотрим правильный тетраэдр, вершины которого обозначены буквами A, B, C и D. Если посмотреть со стороны точки D на треугольник ABC, то) Пересечение нескольких множеств — это множество всех тех элементов, которые содержатся одновременно во всех данных множествах точки A, B, C могут идти почасовой стрелке или против (рис. 5 ). Соответственно этому мы будем различать две ориентации тетраэдра. ¡ ¢ £ ¡ ¢ £ Рис. 5 64. Сохраняют ли ориентацию тетраэдра следующие преобразования a = A B C D B C A D — вращение на вокруг высоты b = A B C D D C B A — вращение на вокруг оси, проходящей через середины ребер AD и BC, c = A B C D A C B D — отражение относительно плоскости, проходящей через ребро AD и середину ребра BC; преобразование, порождающее циклическую подстановку вершин d = A B C D B C D Все симметрии правильного тетраэдра, очевидно, образуют группу, которая называется группой симметрий тетраэдра. Сколько элементов в группе симметрий тетраэдра. В группе симметрий тетраэдра найти подгруппы, изоморфные: а) группе симметрий треугольника, б) циклической группе Z 4 67. Доказать, что все симметрии тетраэдра, сохраняющие ориентацию, образуют группу. Сколько в ней элементов Группа симметрий тетраэдра, сохраняющих ориентацию, называется группой вращений тетраэдра. В группе вращений тетраэдра найти подгруппы, изоморфные циклическим группам а) Z 2 , б) Z 3 § 7. Прямое произведение Из двух групп можно образовать новую группу. О пределен и е. Прямым произведением двух групп и H (обозначается G × H) называется множество всевозможных упорядоченных пар (g, h), где g — произвольный элемент из G и h — произвольный элемент из H, со следующей бинарной операцией (g 1 , h 1 ) · (g 2 , h 2 ) = (g 1 g 2 , где произведение берется в группе G, а в H. |