В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001

• Название: В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001
• Анкор: 2.pdf
• Дата: 16.03.2019
• Размер: 1.78 Mb.
• Имя файла: 2.pdf
• Тип: Книга; #25894
• страница: 3 из 16

69. Доказать, что G × H — группа. Пусть в группе G n элементов, а в группе H k элементов. Сколько элементов в группе G × ?
71. Доказать, что группы G × H и H × G изоморфны. Найти подгруппы в G × H, изоморфные группами. Пусть группы G и H коммутативные. Доказать, что группа G × H также коммутативная. Пусть G
1
— подгруппа группы G и подгруппа группы H. Доказать, что G
1
× H
1
— подгруппа в G × H.
75. Пусть G и H — произвольные группы. Верно ли, что любую подгруппу в группе G × H можно представить в виде, где G
1
— подгруппа группы G, а H
1

— подгруппа группы H?
76. Доказать, что группа симметрий ромба изоморфна группе Z
2
× Z
2 77. Верны ли равенства 1) Z
2
× Z
3
∼
= Z
6
, 2) Z
2
× Z
4
∼
= Z
8
?
78. Доказать, что Z
m
× Z
n
∼
= Z
mn тогда и только тогда,
когда числа m и n взаимно просты 8. Смежные классы. Теорема Лагранжа
С каждой подгруппой H группы G связано следующее разбиение элементов группы G на подмножества. Для любого элемента x из G рассмотрим множество всех элементов вида xh, где h пробегает всевозможные значения из подгруппы H. Полученное множество, обозначаемое называется левым смежным классом по , порожденным элементом x.
79. Найти все левые смежные классы группы симметрий треугольника по подгруппе а) вращений треугольника

б) отражений относительно одной оси {e, c} (см. примеры и 2, стр. Доказать, что каждый элемент группы входит в некоторый левый смежный класс по подгруппе H.
81. Пусть элемент y входит в левый смежный класс по H, порожденный элементом x. Доказать, что левые смежные классы по H, порожденные элементами x и совпадают. Пусть левые смежные классы по H, порожденные элементами x и y, содержат общий элемент. Доказать, что эти смежные классы совпадают.
Таким образом, левые смежные классы, порожденные любыми двумя элементами, либо не пересекаются,
либо совпадают, и мы получаем разбиение всех элементов группы G на непересекающиеся классы. Это разбиение называют левым разложением группы G по подгруппе Число элементов в подгруппе называют порядком подгруппы. Пусть m — порядок подгруппы H. Если h
1
= h
2
, то xh
1
= xh
2
, поэтому каждый левый смежный класс содержит также m элементов. Следовательно, если m — порядок группы G и r — число левых смежных классов в разложении по , то m · r = n, и нами доказана
Т е орем а 1 (теорема Лагранжа. Порядок подгруппы является делителем порядка группы. Доказать, что порядок любого элемента (см. стр.
24
)
является делителем порядка группы. Доказать, что всякая группа простого порядка циклическая и любой элемент в ней, отличный от e, является образующим. Группа G содержит 31 элемент. Сколько подгрупп может содержать группа G?
86. Доказать, что все группы простого порядка p изоморфны друг другу. Пусть n делится на m. Построить группу порядка содержащую подгруппу, изоморфную данной группе G порядка. Пусть n делится на m. Может ли в группе порядка n
*) Лагранж Жозеф Луи (1736–1813) — французский математики механик

не быть подгруппы порядка Можно построить также правые смежные классы Hx и правое разложение группы G по подгруппе . Если порядок подгруппы H равен m, то все правые смежные классы также содержат m элементов и число их равно натуральному числу n/m, где n — порядок группы. Таким образом,
число правых смежных классов совпадает с числом левых смежных классов.
З а меча ни е. Для практического построения разложе- ний конечной группы не надо строить смежные классы для каждого элемента, так как при этом будут получаться одинаковые классы, а надо брать элементы, еще не вошедшие в построенные уже смежные классы. Так как eH = He =
= H, то сама подгруппа всегда образует как правый, таки левый смежный класс. Построить левое и правое разложение группы симметрий треугольника по подгруппе а) вращений {e, a, б) отражений относительно одной оси {e, c}.
90. Построить левое и правое разложение группы симметрий квадрата по подгруппе а) отражений относительно центра {e, a}, б) отражений относительно диагонали {e, d}.
91. Построить разложение группы всех целых чисел по сложению по подгруппе чисел, делящихся на 3
*)
92. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка а) 4, б) 6, в) 8.
§ 9. Внутренние автоморфизмы
Начнем с примера. Рассмотрим группу симметрий правильного треугольника. Если мы обозначим вершины
¡
¢
£
¢
¡
¤
£
¤
¡
£
Рис. треугольника буквами A, B, C, то каждый элемент этой группы однозначно определяется подстановкой трех букв A, B, Например, отражение треугольника относительно высоты, опущенной из вершины на сторону BC, записывается в виде B C
A C B
. Чтобы перемножить два эле) Мы не указываем здесь, какое разложение требуется построить левое или правое, так как в коммутативной группе оба разложения, очевидно, совпадают

мента группы симметрий треугольника,
достаточно выполнить одну за другой соответствующие подстановки. Таким образом, мы получаем изоморфизм группы симметрий треугольника и группы подстановок трех букв A, B, C. Заметим теперь, что этот изоморфизм определен неоднозначно он зависит оттого, какую именно вершину треугольника мы обозначили через A, какую через B и какую через C. Переобозначение вершин само может рассматриваться как подстановка трех букв A, B, Например, g =
A B C
B C соответствует следующему пере- обозначению вершин:
старое обозначение
A
B
C
новое обозначение
B
C
A
При новом обозначении вершин каждый элемент группы симметрий треугольника получит новое обозначение в виде подстановки букв A, B, C. Например, отражение треугольника относительно вертикальной высоты (рис) обозначается следующим образом:
старое обозначение B C
A C новое обозначение B C
C B A
93. Рассмотрим элемент группы симметрий треугольника, которому при некотором обозначении вершин соответствовала подстановка h. Какая подстановка будет соответствовать этому же элементу группы симметрий треугольника при переобозначении вершин Заметим теперь, что «переобозначение» g превращает элемент h некоторой группы преобразований вне только в рассмотренном примере группы симметрий треугольника, но ив самом общем случае. Таким образом,
исследование переобозначений приводит к следующему определению.
О пределен и е. Пусть G — группа, g — ее элемент.
Определим отображение f
g группы G в себя формулой f
g
(h) = где h — любой элемент группы. Это отображение называется внутренним автоморфизмом группы порожденным элементом g.
94. Докажите, что внутренний автоморфизм группы является изоморфизмом группы на себя. Во что переходит отражение треугольника относительно его высоты при всевозможных внутренних автоморфизмах группы симметрий треугольника. Во что переходит вращение треугольника на при всевозможных внутренних автоморфизмах группы симметрий треугольника. Какие 2 элемента группы симметрий тетраэдра можно перевести друг в друга внутренним автоморфизмом,
а какие нельзя Тот же вопрос для группы вращений тетраэдра. Докажите, что порядки элементов ab ив любой группе равны.
Заметим, что при всяком внутреннем автоморфизме группы (как и при любом изоморфизме) каждая ее подгруппа переходит в подгруппу, вообще говоря, другую
(например, отражения относительно одной высоты треугольника переходят в отражения относительно другой высоты. Однако некоторые особенно симметричные»
подгруппы остаются на месте при всех внутренних автоморфизмах (например, подгруппа вращений треугольника в группе симметрий треугольника. Такие подгруппы мы сейчас и рассмотрим 10. Нормальные подгруппы
О пределен и е. Подгруппа некоторой группы называется нормальной подгруппой,
если она переходит в
себя при всех внутренних автоморфизмах группы. Иными словами, подгруппа N группы G называется нормальной подгруппой в G, если для любого элемента a из N и любого элемента g из G элемент содержится в N Таким образом, подгруппа вращений является нормальной подгруппой в группе симметрий треугольника, а подгруппа отражений относительно высоты, опущенной из вершины A на сторону BC (состоящая из двух элементов),
нормальной подгруппой группы симметрий треугольника не является

99. Докажите, что в коммутативной группе всякая подгруппа является нормальной подгруппой. Является ли нормальной подгруппой группы симметрий квадрата подгруппа центральных симметрий, состоящая из элементов {e, a} (примеры 3, 4, стр.
17
–
18
)?
Т е орем а Подгруппа N группы G является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда левое и правое разложения (см. § 8) группы G по подгруппе совпадают. Доказать сформулированную теорему. Пусть n — порядок группы G, m — порядок подгруппы и m = n/2. Доказать, что H является нормальной подгруппой группы G.
103. Доказать, что пересечение (см. сноску на стр.
28
)
любого числа нормальных подгрупп некоторой группы является нормальной подгруппой группы G.
104. Множество элементов группы G, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы. Доказать, что центр — подгруппа и, более того, нормальная подгруппа группы G.
105. Пусть и N
2
— нормальные подгруппы соответственно в группах и G
2
. Доказать, что N
1
× N
2
— нормальная подгруппа в группе G
1
× Следующий пример показывает, что нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы G может не быть нормальной подгруппой самой группы Пример. Рассмотрим подгруппу группы симметрий квадрата, состоящую из отражений относительно диагоналей и центра (см. примеры 3, 4, стр, подгруппа. Эта подгруппа содержит половину элементов группы симметрий квадрата и является поэтому нормальной подгруппой в ней (см. 102). Подгруппа {e, состоящая из отражений относительно одной из диагоналей, содержит половину элементов подгруппы {e, a, d, f и является, следовательно, нормальной подгруппой в ней.
С другой стороны, подгруппа {e, d} не является нормальной подгруппой всей группы симметрий квадрата, так как при внутренних автоморфизмах d переходит в отражение) В этом случае получающееся разложение будет называться просто разложением по нормальной подгруппе

относительно другой диагонали bdb
−1
= f .
§ 11. Факторгруппы
Начнем с примера. Рассмотрим разложение группы симметрий квадрата по нормальной подгруппе, состоящей из центральных симметрий e и a (см. примеры 3, стр. Легко получить, что разложение нашей группы на 4 смежных класса имеет вид, указанный в табл.
2
Т а блица Обозначим каждый смежный класс ка- кой-нибудь буквой, например, E, A, B, Если умножить любой элемент из класса на любой элемент из класса B, то результат оказывается водном и том же классе C независимо оттого, какие именно элементы классов и B взяты. Из решения следующей задачи вытекает,
что это неслучайно. Пусть есть разложение группы G по нормальной подгруппе N , и пусть элементы и лежат водном смежном классе и элементы и также лежат водном смежном классе. Доказать, что элементы и лежат водном смежном классе.
Таким образом, взяв по представителю из двух смежных классов и перемножив их в определенном порядке, мы попадем в смежный класс, который не будет зависеть от того,
каких именно представителей мы выбрали. Следовательно,
при разложении группы по нормальной подгруппе N на множестве смежных классов можно определить бинарную операцию следующим образом если A = xN , B = yN , то положим A · B = (xy)N . Результат задачи 105 показывает,
что эта операция определена однозначно и не зависит от выбора элементов x и y, порождающих смежные классы и B. Так, в рассмотренном выше примере A · B = В задачах 107–109 речь идет о разложениях по нормальной подгруппе. Пусть T
1
, T
2
, T
3
— смежные классы. Доказать, что T
1
(T
2
T
3
).
108. Пусть нормальная подгруппа обозначена буквой Доказать, что ET = T E = T для любого смежного класса .
109. Доказать, что для любого смежного класса T найдется класс такой, что T T
−1
= T
−1
T = E.
36

Из утверждений задач 107–109 следует, что множество смежных классов с описанной выше бинарной операцией образует группу. Эта группа называется факторгруппой группы G по нормальной подгруппе N и обозначается G/N Очевидно, что G/{e} ∼
= G и G/G ∼
= {}. Очевидно также, что порядок факторгруппы равен натуральному числу, где n — порядок группы G, а m — порядок нормальной подгруппы N . Например, факторгруппа группы симметрий квадрата по подгруппе центральных симметрий содержит 4 элемента. Выяснить, будет ли факторгруппа группы симметрий квадрата по подгруппе центральных симметрий изоморфна группе вращений квадрата или группе симметрий ромба. Найти все нормальные подгруппы и факторгруп- пы
*)
по ним в следующих группах а) группа симметрий треугольника, б) Z
2
× Z
2
, в) группа симметрий квадрата,
г) группа кватернионов (стр. Описать все нормальные подгруппы и факторгруп- пы по ним для группа, б) Z.
113. Найти все нормальные подгруппы и факторгруппы по ним в группе вращений тетраэдра. В прямом произведении групп G
1
× рассмотрим подгруппу G
1
× {e
2
}. Доказать, что это нормальная подгруппа и что факторгруппа по ней изоморфна группе G
2
§ 12. Коммутант
Напомним, что два элемента a и b группы G называются перестановочными (или коммутирующими, если ab = Степень некоммутативности двух элементов группы можно измерять с помощью произведения aba
−1
b
−1
, которое равно единице тогда и только тогда, когда a и b перестановочны
(докажите).
О пределен и е. Элемент называют коммутатором элементов a и b. Коммутантом K(G) группы называется множество всевозможных произведений конечного числа коммутаторов группы G.
*) В дальнейшем найти факторгруппу означает указать какую- либо группу, рассмотренную ранее, которой искомая факторгруппа изоморфна

115. Доказать, что коммутант является подгруппой. Доказать, что коммутант является нормальной подгруппой группы. Доказать, что коммутант совпадает с единичной подгруппой {e} тогда и только тогда, когда группа коммутативна. Найти коммутант в группах а) симметрий треугольника, б) симметрий квадрата, в) в группе кватернионов (стр. Доказать, что коммутант в группе симметрий правильного угольника изоморфен группе Z
n при n нечетном и группе при n четном. Найти коммутант в группе вращений тетраэдра. Доказать, что если нормальная подгруппа в группе вращений или в группе симметрий тетраэдра содержит хотя бы одно вращение вокруг оси, проходящей через вершину, то она содержит всю группу вращений тетраэдра. Найти коммутант в группе симметрий тетраэдра.
Рассмотрим еще 2 группы группу вращений куба и группу вращений правильного октаэдра (рис.
7
).
Рис. 7 123. Сколько элементов в каждой из этих групп Перечислить элементы группы вращений куба. Доказать, что группы вращений куба и октаэдра изоморфны. Сколькими различными способами можно закрасить грани куба 6 цветами (каждую грань своим цветом),
если различными считаются раскраски, которые нельзя совместить друг с другом вращением куба Тот же вопрос для спичечного коробка. Каким из известных вам групп изоморфна группа

Рис. вращений спичечного коробка?
Вычисление коммутанта группы вращений куба удобно провести,
вписав в куб тетраэдр, как это показано на рисунке (рис. При этом,
если соединить оставшиеся вершины, и C
1
, то получится второй тетраэдр. Любое вращение куба либо переводит каждый тетраэдр в себя, либо меняет их местами. Доказать, что все вращения куба, переводящие оба тетраэдра в себя, образуют а) подгруппу, б) нормальную подгруппу группы вращений куба. Доказать, что коммутант группы вращений куба изоморфен группе вращений тетраэдра.
Докажем теперь следующие 3 свойства коммутанта, которые понадобятся нам в дальнейшем. Доказать, что факторгруппа произвольной группы по ее коммутанту коммутативна. Пусть N — нормальная подгруппа группы G и фак- торгруппа G/N коммутативна. Доказать, что N содержит коммутант группы G.
131. Пусть N — нормальная подгруппа группы G и ) — коммутант группы N . Доказать, что K(N ) является нормальной подгруппой в G (сравните с примером на стр 13. Гомоморфизм
Гомоморфизмом группы G в группу F называется отображение такое, что f(ab) = f(a) · f(b) для любых элементов a и b группы G (здесь произведение ab берется в группе G, а произведение f(a) · f(b) в группе F Гомоморфизм отличается от изоморфизма тем, что при гомоморфизме не требуется взаимной однозначности.
П р им ер. Пусть G — группа вращений куба, а группа подстановок двух тетраэдров, вписанных в него
(см. стр. Каждому вращению куба соответствует определенная подстановка тетраэдров при последовательном выполнении двух вращений куба соответствующие подстановки тетраэдров перемножаются. Таким образом, отображение группы вращений куба на группу подстановок двух тетраэдров — гомоморфизм. Пусть f: G → F — гомоморфизм группы G на группу. Если группа G коммутативна, то и F коммутативна.
Доказать. Верно ли обратное утверждение. Доказать, что при гомоморфизме группы G в группу F единица группы G переходит в единицу группы. Доказать, что f(a
−1
) = где f: G → F — гомоморфизм, ив левой части обратный берется в группе а в правой части — в группе F .
135. Пусть f
1
: G → F и f
2
: F → H — гомоморфизмы.
Доказать, что f
2
f
1
: G → H — гомоморфизм.
Важные примеры гомоморфизмов получаются с помощью следующей конструкции естественного гомоморфизма Пусть N — нормальная подгруппа группы G. Рассмотрим следующее отображение f группы G на факторгруп- пу G/N : сопоставим каждому элементу g группы G тот смежный класс T , который содержит элемент g.
136. Доказать, что f: G → G/N — гомоморфизм группы на группу G/N Отображение f называют естественным гомоморфизмом группы G на факторгруппу G/N . Мы показали, что с каждой нормальной подгруппой связан некоторый гомоморфизм. Покажем, что и, обратно, каждый гомоморфизм группы G на группу F можно рассматривать как естественный гомоморфизм G на факторгруппу G/N по подходящей нормальной подгруппе.
Пусть f: G → F — гомоморфизм, тогда множество элементов таких, что f(g) = e
F
, называется ядром гомоморфизма и обозначается Ker f.
137. Доказать, что Ker f — подгруппа группы G.
138. Доказать, что Ker f — нормальная подгруппа группы Рассмотрим разложение группы G по ядру Ker f.
139. Доказать, что и лежат водном смежном классе тогда и только тогда, когда f(g
1
) Теорема. Пусть f: G → F — гомоморфизм группы на группу F , тогда отображение y: G/ Ker f →
F , сопоставляющее каждому смежному классу значение) на каком-нибудь (и тогда любом (см. 139)) его элементе g, является изоморфизмом.
Доказательство этой теоремы содержится в решениях следующих задач. Докажите, что y есть отображение на. Докажите, что y — взаимно однозначное отображение. Докажите, что y — изоморфизм.
Приведем пример применения доказанной теоремы.
П р им ер. В задаче 110 требовалось выяснить изоморфна ли факторгруппа группы симметрий квадрата по
¡
¢
£
¤
Рис. нормальной подгруппе отражений относительно центра группе вращений квадрата или группе симметрий ромба. Каждому элементу группы симметрий квадрата соответствует, некоторая подстановка осей симметрии l
1
, l
2
, рис. При этом диагонали и могут переходить только друг в друга,
а оси и l
4
— также друг в друга. Мы получаем таким образом отображение группы симметрий квадрата в группу подстановок четырех элементов l
1
, l
2
, и Рис. Это отображение является гомоморфизмом на всю группу таких подстановок, что и переходят в и l
3
, аи в и проверьте. Эта группа состоит из четырех подстановок и изоморфна группе симметрий ромба рис. Ядром построенного гомоморфизма являются все симметрии квадрата, переводящие каждую из четырех осей симметрии в себя. Нетрудно проверить, что такими преобразованиями являются только e и центральная симметрия a. Следовательно, по теореме 3 подгруппа отражений относительно центра {e, a} — нормальная подгруппа в группе симметрий квадрата, и соответствующая факторгруппа изоморфна группе симметрий ромба.
Подобным образом можно решить следующие задачи. Доказать, что вращения тетраэдра на вокруг

осей, проходящих через середины противоположных ребер,
вместе с тождественным преобразованием образуют нормальную подгруппу в группе симметрий тетраэдра, и найти соответствующую факторгруппу.
144. Доказать, что вращения куба на вокруг осей,
проходящих через центры противоположных граней, вместе с тождественным преобразованием образуют нормальную подгруппу в группе вращений куба, и найти соответствующую факторгруппу.
145. Пусть на плоскости дан правильный угольник с центром O. Пусть R — группа всех вращений плоскости вокруг точки O. Рассмотрим подгруппу Z
n всех вращений плоскости, переводящих правильный угольник все- бя. Доказать, что это нормальная подгруппа группы R и что R/Z
n
∼
= R.
146. Пусть и N
2
— нормальные подгруппы соответственно в группах и G
2
. Доказать, что N
1
× нормальная подгруппа в G
1
× и (G
1
× G
2
)/(N
1
× N
2
) ∼
=
∼
= (G
1
/N
1
) × (G
2
/N
2
).
147. Могут ли две неизоморфные группы иметь изоморфные нормальные подгруппы и изоморфные фактор- группы по ним. Может ли группа иметь две изоморфные нормальные подгруппы, факторгруппы по которым неизоморфны?