В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
1. 276. По условию P (z) = (z − z 0 ) k · Q(z), где многочлен Q(z) не делится на z − z 0 . Отсюда P (z) = (см. 274 в) = ((z − z 0 ) k ) · Q(z) + (z − z 0 ) k · Q (z) = (см. 275) = k(z − z 0 ) k−1 Q(z) + (z − z 0 ) k Q (z) = = (z − z 0 ) k−1 (kQ(z) + (z − z 0 )Q (z)). Многочлен, стоящий в последней скобке, не делится на z − z 0 , так как иначе многочлен должен был бы делиться на z − z 0 . Таким образом, многочлен P (делится на (z − и не делится на (z − z 0 ) k . Что и требовалось доказать. Ответа, б) ±i, в) ± √ 2 2 + i √ 2 2 . г) ± √ 6 2 + i √ 2 2 164 здесь и — положительные значения корней. Непрерывным образом верхней (соответствеино нижней) полуокружности при отображении w = √ z, начинающимся в точке, является дуга AB (соответственно дуга AC) (рис. 64 ). Кривая AB оканчивается в точке i, кривая AC — в точке Ответа, б) w(−1) = −i. 279. При 0 t 1 2 w 0 (t) может принимать два значения w 0 (t) = = ±i √ 1 − 2t (значение корня берется положительным. При 2 < t 1 w 0 (t) может принимать также два значения w 0 (t) = ± √ 2t − 1. При t = 1 2 w 0 (t) принимает одно значение w 1 2 = Ответ (см. риса) Непрерывные образы — ломаные и AOC, б) непрерывные образы — ломаные DOB и DOC. 280. Пусть C 1 — непрерывный з кривой C при отображении w = √ z, и пусть изменение аргумента вдоль кривой равно Тогда кривая C является образом кривой при отображении z = поэтому (см. 262 а = 2f 1 . Отсюда f 1 = f 2 Ответ. f 2 ¡ ¢ Рис. Рис. 65 281. Пусть w = √ z и w 0 (t) — непрерывный образ данной кривой. Так как i = cos p 2 + i sin p 2 , то (и w 0 (1)) может принимать два значения cos p 4 + i cos p 4 = √ 2 2 + i √ 2 и cos 5 p 4 + i sin 5 p 4 = − √ 2 2 − i √ 2 По условию w 0 (0) = −1, и можно считать Arg w 0 (0) а) Изменение аргумента вдоль данного отрезка равно, очевидно, p 2 Поэтому (см. 280) изменение аргумента вдоль кривой w 0 (t) равно и аргумент w 0 (1) равен p +Ответ = − √ 2 2 − i √ 2 2 165 б) z(t) = cos − 3 pt 2 + i sin − 3 pt 2 . Чтобы Arg z(t) изменялся непрерывно, можно выбрать f(t) = − 3 pt 2 . Изменение аргумента вдоль кривой) − f(0) = − 3 p 2 . Следовательно, изменение аргумента вдоль кривой w 0 (t) (см. 280) равно и аргумент w 0 (1) равен p + Ответ = √ 2 2 + i √ 2 в) = 5 pt 2 . Изменение аргумента вдоль данной кривой) − − f(0) = 5 p 2 . Изменение аргумента вдоль кривой w 0 (t) равно. Аргумент) равен p +Ответ = √ 2 2 + i √ 2 2 282. Пусть w = √ z, w 0 (t) — непрерывный образ данной кривой и w 0 (0) = 1. Надо определить w 0 (1). Можно считать Arg w 0 (0) = а) Изменение Arg z(t) равно 2 p. Поэтому изменение Arg w 0 (t) равно (см. 280). Arg w 0 (1) = 0 + p = Ответ = б) z(t) = cos(−4 pt) + i sin(−4pt). Изменение Arg z(t) равно −4p. Изменение) равно −2 p. Arg w 0 (1) = 0 − 2 p = Ответ = в) Данная кривая — окружность единичного радиуса, центр которой сдвинут в точку z = 2 (см. 246 а. Эта кривая ни разу не обходит вокруг точки z = 0, поэтому изменение Arg z(t) равно 0. Отсюда изменение) также равно Ответ = 1. 283. Пусть w 0 (t) — непрерывный образ кривой C при отображении w = √ z. Так как z(1) = z(0), то w 0 (1) = w 0 (0), или w 0 (1) = Рис. и для выполнения равенства w 0 (1) = необходимо и достаточно, чтобы изменение w 0 (t) было равно 2 pk, где k — целое число. Для этого изменение Arg z(t) должно быть равным 4 pk (см. 280), те. кривая C должна обходить вокруг точки z = 0 2k раз. Пусть кривая L 1 — непрерывный образ кривой C 1 , а L 2 — непрерывный образ кривой при отображении w = √ z. Если кривые и начинаются водной и той же точке рис, то кривая L −1 1 L 2 , является непрерывным образом кривой C −1 1 C 2 . Начало и конец кривой L −1 точки A и B) будут совпадать тогда и только тогда, когда кривая обходит вокруг точки z = 0 четное число раз (см. 283). 285. Пусть C — некоторая кривая, не проходящая через разрез и идущая из точки в точку z 1 . Предположим, что, выбирая разные значения в точке и определяя функцию по непрерывности вдоль кривой C, мы получили одинаковые значения в точке z. Рассмотрим тогда кривую C −1 , те. кривую C, проходимую в противоположном направлении. Получим, что значение в начальной точке кривой в точке z) в обоих случаях одно и тоже, но значения в конечной точке (в точке z 0 ), определенные по непрерывности, различны. Этого не может быть в силу однозначности образа, так как кривая C не проходит через точку z = 0. Значит, наше предположение о том, что = 2 √ z, неверно. Пусть z — произвольная точка, не лежащая на разрезе, и пусть C 1 — непрерывная кривая, идущая из точки z в точку z и не пересекающая разрез. Проведем непрерывную кривую C 2 , не пересекающую разрез, из точки в точку z . (рис) По условию выбрано значение w = 1 √ z . Это означает, что если мы выберем и определим по непрерывности вдоль кривой C 2 , то получим именно w . Но тогда значение, определенное по непрерывности вдоль кривой при условии = w совпадает, как легко видеть, со значением, определенным по непрерывности вдоль кривой при условии w 0 . То есть значение при любом z, не лежащем на разрезе, оказывается равным. Пусть C 1 — непрерывная кривая, идущая из точки в точку, и не пересекающая разрез (рис. Пусть w 1 = √ z 1 — значение функции, определенное по непрерывности вдоль кривой при условии w 0 . Так как кривая не пересекает разрез, то значения и соответствуют одной и той же ветви функции. Кривая один раз обходит вокруг точки z = 0. Поэтому значения и w 1 , различны (см. 283). Так как и соответствуют одной и той же ветви функции, то и соответствуют разным ветвям. ¡ ¢ ¡ £ ¡ ¤ ¥ ¤ ¦ Рис. Рис. 68 288. Если z 0 = 0, то окружности с центром в точке и с достаточно малым радиусом ни разу не обходят вокруг точки z = 0. Поэтому изменение Arg z(t) вдоль таких окружностей равно 0 и, следовательно, изменение Arg w 0 (t) равно 0, те. значение не изменяется. Изменение) вдоль окружностей с центром в точке z = 0 равно В этом случае изменение Arg w 0 (t) равно p. Поэтому значение при обходе вокруг точки z = 0 меняется на противоположное. Кривая z(t) является образом кривой w 0 (t) при отображении z(w) = w 3 . Поэтому, если f 1 — изменение аргумента вдоль кривой w 0 (t), то f = см. 262 б. Отсюда f 1 = f 3 290. Если z 0 = 0, то окружности с центром в точке и с достаточно малым радиусом ни разу не обходят вокруг точки z = 0. 167 Поэтому изменение Arg z(t) вдоль таких окружностей равно 0. Но тогда и изменение Arg w 0 (t) равно 0 (см. 289), те. значение функции w = 3 √ z не изменяется. Значит, любая точка z = 0 не является точкой разветвления. Изменение Arg z(t) вдоль любой окружности с центром в точке z = 0 равно 2 p. Поэтому изменение Arg w 0 (t) в этом случае равно 2 p 3 Следовательно, при однократном обходе вокруг точки z = 0 значение функции w = 3 √ z умножается нате. точка z = является точкой разветвления многозначной функции 3 √ z. Ответ. z = 0. 291. Пусть z(t) — непрерывная кривая, не проходящая через разрез и идущая из точки z = 1 в данную точку. Пусть w 0 (t) — непрерывный образ этой кривой при отображении w = 3 √ z и Arg w 0 (0) выбран равным f 0 . Если изменение Arg z(t) равно f, то изменение Arg равно см. 289). Поэтому Arg w 0 (1) = f 0 + f 3 . По условию можно считать f 0 = 0 для ветви для ветви f 2 (z) и f 0 = для ветви f 3 (z). a) f 0 = 0, f = p 2 , Arg w 0 (1) Ответ. f 1 (i) = cos p 6 + i sin p 6 = √ 3 б = p 2 , Arg w 0 (1) Ответ. f 2 (i) = cos 5 p 6 + i sin 5 p 6 = − √ 3 в 0, f = 0, Arg w 0 (1) = Ответ. f 1 (8) = г − 2 p 3 , f = 0, Arg w 0 (1) = Ответ. f 3 (8) = 2 cos 2 p 3 − i sin 2 p 3 = −1 − д − 2 p 3 , f = − p 2 , Arg w 0 (1) = Ответ. f 3 (−i) = cos 5 p 6 − i sin 5 p 6 = − √ 3 2 − i 2 292. Также как для функции w = √ z, доказывается, что после проведения разреза из точки z = 0 в ∞, например, по отрицательной части действительной оси функция w = 3 √ z распадается натри однозначные непрерывные ветви. При однократном обходе вокруг точки z = 0 (против часовой стрелки) Arg w изменяется на, при двукратном обходе на 4 p 3 и только после обхода точки z = 0 три раза значение функции w = 3 √ z становится равным исходному. Поэтому схема римановой поверхности функции w = 3 √ z выглядит так, как показано на рис. Саму риманову поверхность можно условно изобразить так, как показано на рис. 70 (на самом деле 3 выделенные точки должны быть склеены в одну точку. Предположим сначала, что кривая C не проходит через точку z = 0. Пусть f(t) — функция, описывающая непрерывное изменение z(t) (см. теорему 6, стр, и r(t) = |z(t)|. Тогда f(t) и r(t) — 168 непрерывные функции и z(t) = r(t)(cos f(t) + i sin Пусть r(t) — положительное действительное значение n √ r(t). Тогда непрерывная функция (см. 243) и n непрерывных кривых с параметрическими уравнениями w k (t) = r(t) = cos f(t) n + 2 pk n + i sin f(t) n + 2 pk n , k = 0, 1, . . . , n − являются, непрерывными образами кривой z(t) при отображении w(z) = n √ z (м. 229). Так как w k (0) для этих кривых принимает все n значений n √ z(0), то одна из этих кривых начинается в точке Если кривая C проходит через точку z = 0, то точки, в которых z(t) = 0, разбивают кривую C на части. В этом случае построим, как выше, по одному непрерывному образу для каждой части, причем для начальной части возьмем образ, начинающийся в точке w 0 . Если z(t) = 0, то и w(z(t)) = 0. Поэтому полученные образы можно объединить в единую непрерывную кривую, которая и будет искомой. Рис. Рис. 70 294. См. решения 280 и 289. Ответ. См. решение 290. Ответ. z = 0. 296. w 0 (t) при каждом t является одним из значений n √ z(t). Поэтому все значения n √ z(t) приданном это (см. 232) w 0 (t), w 0 (t) × e n , w 0 (t) · e 2 n , . . . , w 0 (t) · e n−1 n . Так как значение n √ z в начальной точке кривой z(t) может быть выбрано n способами, то имеется ровно n непрерывных образов кривой z(t) при отображении w = n √ z (однозначность может нарушаться только в точке z = 0, но кривая через нее не проходит. Такими n непрерывными образами являются кривые w 0 (t), w 1 (t) = w 0 (t) e n , w 2 (t) e 2 n , . . . , w n−1 (t) = w 0 (t) · e Ответ. w 0 (t), w 1 (t) = w 0 (t) · e n , w 2 (t) = w 0 (t) · e 2 n , . . . , w n−1 (t) = = w 0 (t) · e n−1 n 297. Ответ. f i (z) = f 0 (z) · e Решение. Пусть z(t) — любая кривая, не проходящая через разрез и идущая из точки z = 1 в произвольную точку. Из решения задачи получаем, что если значение функции в начальной точке этой кривой умножить на e k n , то значение в конечной точке, определенное по непрерывности, также умножится на e k n . Поэтому f i (z) = f 0 (z) · e i n 169 298. При решении задачи 297 мы получили, что n ветвей функции связаны следующим соотношением f i (z) = f 0 (z) · e i n (i = 0, 1, . . . , n − 1). Единственной точкой разветвления функции n √ z является точка z = 0. При однократном обходе этой точки аргумент функции n √ z изменяется на см. 294), те. значение функции умножается на e n . Поэтому схема римановой поверхности функции n √ z имеет вид, указанный на рис 299. Arg(z − 1) изменяется на 2 p при обходе вокруг точки z = 1 и не изменяется при обходе вокруг любой другой точки (по окружности достаточно малого радиуса. Поэтому Arg √ z − 1 изменяется на p при обходе вокруг точки z = 1 и не изменяется при обходе вокруг любой другой точки. Следовательно, единственной точкой разветвления является точка z = 1, при обходе которой значение функции − умножается на −1. Также как для функции w = √ z, доказывается, что после проведения какого-либо разреза из точки z = 1 в ∞ на полученной плоскости с разрезом выделяются однозначные непрерывные ветви функции w = √ z − 1. Схема римановой поверхности функции − 1 показана на рис 300. См. решение 299. Единственной точкой разветвления является точка −i (так как z + i = z − (−i)), при обходе которой значение функции n √ z + i умножается на e n . Схема римановой поверхности функции n √ z + i показана на рис 301. Указание. Рассмотрите отображение w = n √ f (z) как композицию двух отображений = f(z) и w = √ t (см. Рис. Рис. Рис. 73 302. Отображение w(z) = n √ f (z) можно представить как композицию двух отображений) = и w( t) Если C — непрерывная кривая на плоскости z, тона плоскости имеется ровно один образ C = f (C) этой кривой. Так как f (z) непрерывная функция, то C — непрерывная кривая. Если кривая с уравнением w 0 (t) — один из непрерывных образов кривой C при отображении w( t) = n √ t, то кривые с уравнениями w i (t) = w 0 (t) e i n (i = 1, . . . , n − 1) также являются непрерывными образами кривой при отображении w( t) = n √ t (см. 296) и, следовательно, являются непрерывными образами кривой C при отображении w(z) = n √ f (Поэтому, если значение функции w(z) = n √ f (z) в начальной точке кривой C умножить на e i n , то значение в конечной точке кривой определенное по непрерывности, также умножится на e i n . Таким образом, если w 0 (z) — непрерывная однозначная ветвь функции n √ f (z), то все непрерывные однозначные ветви — это w 0 (z), w 0 (z) e n , w 0 (z) · e 2 n , . . . , w 0 (z) · e Ответа) При обходе точек z = 0 или z = i Arg(z(z − i)) изменяется на 2 p (см. 260), a Arg √ z(z − i) изменяется на p (см. 280), те. значение функции − i) умножается на −1. Для выделения однозначных непрерывных ветвей функции − i) достаточно провести непе- ресекающиеся разрезы из точек z = 0 ив (доказательство такое же, как для функции w = √ z). Схема римановой поверхности функции − i) показана на рис. 74 б) См. рис. Указание+ Рис. Рис. 75 304. См. 303. а) Так как z 2 − 1 = (z − 1)(z + 1), то при обходе точек z = 1 и z = −1 значение функции 1 умножается на e 3 = = cos 2 p/3 + i sin 2p/3. Искомая схема изображена на рис. 76 б) При обходе точки z = 0 значение функции − 1) 2 z умножается на e 3 . При обходе точки z = 1 Arg((z − 1) 2 z) изменяется на 4 p и ¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ ¢ § ¤ ¥ ¦ ¢ ¨ ¤ ¥ ¦ Рис. 76 Arg 3 √ (z − 1) 2 z изменяется на 4 p/3 т. е. значение функции − 1) 2 z умножается на e 2 3 . Искомая схема изображена на рис. 77 в) См. рис. Указание. Однозначными непрерывными ветвями функции √ z 2 во всей плоскости являются w 0 (z) = z, w 1 (z) = −z. При обходе вокруг точки z = 0 Arg изменяется на 4 p и нате. значение функции √ z 2 не изменяется. Искомая схема состоит из двух несоединяющихся листов ¥ ¦ ¢ § ¤ ¥ ¦ ¢ ¨ ¤ Рис. Рис. 78 306. Задача решается также, как и задача 304. а) См. рис. 79 У казан и e. z 2 + 2 = (z − i √ 2)(z + i √ 2). б) См. рис. в) См. рис 171 г) См. рис. Указание. д) См. риc. 83 . Указание Рис. Рис. Рис. Рис. 82 307. См. рис. Указание. При обходе вокруг точки z = 0 Arg z изменяется на 2 p, Arg 1/z — на −2p (см. 260 б) и Arg √ 1/z на − p, т. е. значение функции умножается на −1. 308. а) См. рис. б) При обходе точки z = 1 Arg z − 1 z + 1 изменяется ¡ ¢ £ ¢ ¤ £ Рис. на 2 p, а при обходе точки z = −1 на −2 p (см. 260). Поэтому при обходе точки z = 1 значение функции − 1 z + умножается на а при обходе точки z = −1 умножается на e −1 3 = e 2 3 . Искомая схема изображена на рис. в) См. рис 309. Пусть в некоторой точке зафиксировано произвольное значение, и пусть z 1 — некоторая другая точка. Если и C 2 — произвольные непрерывные кривые, идущие изв и не пересекающие разрезов (рис, то, очевидно, кривую можно непрерывно деформировать в кривую Рис. Рис. не проходя через точки разветвления. Так как функция w(z) обладает свойством монодромии, то значения w(z 1 ), определенные по непрерывности вдоль кривых и совпадают. Следовательно значение w(z 1 ) определяется по непрерывности одинаково вдоль любой кривой, идущей изв и не пересекающей разрезов. См. рис. Пусть с й ветви при движении по AB мы переходим на ю ветвь. Посмотрим на какую ветвь мы переедем с й ветви при движении по CD. Так как у функции w(z) конечное число ¡ Рис. точек разветвления, то кривые AB и можно выбрать настолько короткими, а кривые и BD настолько близкими к разрезу, что внутри кривой CABDC не будет точек разветвления функции w(z). В таком случае кривую CABD можно, очевидно, непрерывно деформировать в кривую CD, не проходя через точки разветвления. Так как функция) обладает свойством монодромии, то функция w(z) в точке одинаково определяется по непрерывности вдоль кривых и CABD. Начиная с й ветви и двигаясь по кривой CABD, мы сначала находимся на й ветви, затем переходим на ю ветвь и затем движемся пой ветви. Таким образом, по кривой CABD, а следовательно, и по кривой CD мыс й ветви переходим на ю ветвь, |