В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001

• Название: В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001
• Анкор: 2.pdf
• Дата: 16.03.2019
• Размер: 1.78 Mb.
• Имя файла: 2.pdf
• Тип: Книга; #25894
• страница: 16 из 16

1
, w
2
, . . . , w n
— все значения w(z
0
), и пусть z
1
, . . . . . . , z точки разветвления функции w(z). Занумеруем листы схемы римановой поверхности функции w(z) так, чтобы значение w i
= соответствовало i-му листу. Тогда каждой подстановке значений w естественным образом соответствует подстановка листов. Докажем,
что при таком соответствии группы и практически совпадают. Пусть подстановка g из группы порождена некоторой непрерывной кривой C, начинающейся и кончающейся в точке И пусть кривая C пересекает по порядку разрезы (при которых строилась риманова поверхность, идущие из точек разветвления z
i1
, z i2
, . . . . . . , z im
. Если точке разветвления z соответствует подстановка листов g j
, то легко понять, что кривой C соответствует подстановка листов (а вместе с этими значений w i
), равная g
cm im
· . . . · g c2
i2
· g c1
i1
, где c
i
= 1, если разрез пересекается против часовой стрелки, и c
i
= −1, если разрез пересекается почасовой стрелке (см.
замечание 1 на стр. Отсюда g = g cm im
· . . . · g и g содержится в. Обратно, если дан элемент g = g cm im
· . . . · g группы здесь c
i
= ±1)
*)
, то легко построить кривую C, порождающую такую же подстановку значений w в группе G
1
. Например, на рис.
112
показана кривая, соответствующая подстановке g
−1 2
g
3
g
−1 1
336. Пусть z
0
— точка разветвления функции h(z), и пусть обходу вокруг точки соответствуют подстановки и листов схем
¡
¢
£
¤
Рис. римановых поверхностей функций f (z) и g(z). Если не является точкой разветвления какой-нибудь из функций f (z) или g(z), то соответствующая подстановка или будет тождественной.
Если ветви функции h(z) занумерованы двумя индексами h i,j
(z) так, как сказано в теореме 8, утверждение а) (стр.
104
),
то при обходе вокруг точки первые и вторые индексы переставляются независимо (теорема 8, утверждение б. Причем подстановка первых индексов есть d
1
, подстановка вторых индексов d
2
. Таким образом, обходу вокруг точки разветвления соответствует подстановка листов схемы римановой поверхности функции h(z), которую можно рассматривать как пару подстановок (d
1
, d
2
). Так как и являются соответственно элементами групп F и G, то пара (d
1
, d
2
) является элементом прямого произведения F × G. Такие пары, соответствующие всем точкам разветвления функции h(z), порождают некоторую подгруппу в группе F × G.
*) Из определения группы стр) легко вывести, что любой элемент этой группы может быть представлен в указанной форме

337. Схема, построенная формальным методом, может иметь листы, на которых заданы совпадающие ветви. Объединим такие листы в пачки. В силу однозначности при обходе любой точки разветвления мыс листов одной пачки будем переходить в схеме, построенной формальным методом, на листы одной и той же пачки. Следовательно,
любая подстановка d листов схемы, построенной формальным методом, соответствующая обходу вокруг некоторой точки разветвлесия,
переводит пачки друг в друга, не разрывая их. Если подстановки и переводят пачки друг в друга, не разрывая их, то легко видеть,
что и подстановка также переставляет пачки, не разрывая их.
Поэтому все подстановки d листов схемы, построенной формальным методом, входящие в группу H
1
, переставляют пачки, не разрывая их. Поставим в соответствие каждой подстановке d i
. подстановку d пачек. Легко видеть, что если подстановке d соответствует подстановка пачек d а подстановке d j
— подстановка пачек d j
, то пoдcтaнoвкe d
i d
j соответствует подстановка пачек d i
d j
. То есть построенное отображение группы на порожденную ею группу подстановок пачек является гомоморфизмом. Так как каждой пачке соответствует лист истинной схемы римановой поверхности функции h(z) (теорема утверждение в) и переходы между листами истинной схемы — это в точности переходы между пачками, то построенный нами гомоморфизм можно рассматривать, как гомоморфизм группы на группу. См. 336 и 337. По условию группы F и G (см. 336) разрешимы.
Но тогда разрешима также группа F × G (см. 167). Так как группа группа подстановок листов схемы, построенной формальным методом, — может рассматриваться как подгруппа в группе F × см. 336), то группа также разрешима (см. 162). Так как существует гомоморфизм группы на группу группу подстановок листов истинной схемы римановой поверхности функции h(z) (см. 337), то группа также разрешима (см. 163).
339. Указание. См. теорему 9 (стр. Если F и H — группы
Галуа для схем римановых поверхностей функций f (z) и h(z), то также, как в задаче 337, доказывается существование гомоморфизма группы F на группу . Далее воспользуйтесь результатом задачи 163.
340. Каждому листу схемы римановой поверхности функции f (соответствует пачка из n листов в схеме римановой поверхности функции) (теорема 10, утверждение астр. Подстановки листов схемы римановой поверхности функции h(z), соответствующие обходам вокруг точек разветвления функции h(z), переставляют пачки, не разрывая их (теорема 10, утверждение б. Но тогда и все подстановки группы H переставляют пачки, не разрывая. Поэтому каждой подстановке d группы H соответствует подстановка d пачек. Причем, если подстановке соответствует подстановка пачек подстановке d
2
— подстановка пачек d
2
, то подстановке соответствует подстановка пачек d
1
d
2
. Мы получаем гомоморфизм группы на порожденную ею группу подстановок пачек. Подстановка пачек,
соответствующая обходу вокруг произвольной точки z
0
, совпадает с подстановкой листов при обходе вокруг точки в схеме римановой поверхности функции f (z) (теорема 10, утверждение в. Поэтому

группа подстановок пачек, порожденная группой H, совпадает с группой (точнее, изоморфна F Таким образом, построенный выше гомоморфизм является, по существу, гомоморфизмом группы H на группу F .
341. Ядром гомоморфизма, построенного в решении задачи являются подстановки группы H, переводящие каждую пачку в себя.
Пусть и d
2
— две такие подстановки. Если листы в пачках перенумерованы так, что f i,k
(z) = f i,0
(z) ·
e k
n
, то обе подстановки, и d
2
, циклически сдвигают листы в каждой пачке (см. теорему 10, утверждение г. Рассмотрим произвольную пачку. Если подстановка циклически сдвигает листы в этой пачке на l листов, а подстановка d
2
— на k листов, то обе подстановки, и d
2
d
1
, циклически сдвигают листы в данной пачке на l + k листов. Таким образом, подстановки и одинаково переставляют листы в каждой пачке, те. Если f — гомоморфизм, построенный в решении задачи и Ker f — его ядро, то факторгруппа H/ Ker f изоморфна группе теорема 3, стр. Так как группа Ker f коммутативна (см. 341), а группа F разрешима, то разрешима также и группа H (см. 166).
343. Обозначим P
z
(w) = 3w
5
− 25w
3
+ 60w − z. Если w
0
— кратный корень уравнения P
z
(w) = 0, то является корнем уравнения, где P
z
(w) — многочлен, являющийся производной от многочлена P
z
(w) (относительно w) (см. 276). Имеем P
z
(w) =
= 15w
4
− 75w
2
+ 60 = 15(w
4
− 5w
2
+ 4) = 15(w − 2)(w − 1)(w + 1) ×
× (w + 2). Так как уравнение P
z
(w) = 0 имеет 4 корня кратности 1:
w
0
= −2, −1, 1, 2, то кратными корнями уравнения P
z
(w) = кратности 2) могут быть только значения w
0
= −2, −1, 1, Подставляя эти значения в уравнения 25w
3
+ 60w − z = получаем, что они будут корнями (кратности 2) соответственно при z = −16, −38, 38, Ответ. Корнями кратности 2 являются значения w
0
= −2 при z = −16, w
0
= −1 при z = −38, w
0
= 1 при z = 38, w
0
= 2 при z = 16.
344. Обозначим P
z
(w) = 3w
5
− 25w
3
+ 60w − z. Положим z = и рассмотрим однозначное отображение плоскости w в некоторую комплексную плоскость t, задаваемое равенством t = P
z0
(w). Пусть C окружность радиуса r на плоскости w с центром в точке w
0
(рис.
113
)
и C — образ окружности C при отображении t = P
z0
(w). Разложим многочлен P
z0
(w) = 3w
5
− 25w
3
+ 60w − на линейные множители
(см. 269). Получим P
z0
(w) = 3(w − w
1
)(w − w
2
)(w − w
3
)(w − w
4
) ×
× (w − w
5
), где все w i
— корни уравнения P
z0(w)
= 0. При обходе по окружности C против часовой стрелки аргумент сомножителя w − w не изменяется, если w лежит вне окружкости C, и увеличивается на 2
p, если w лежит внутри окружности C. Поэтому при обходе окружности C против часовой стрелки аргумент функции увеличивается на 2
pm, где m — число корней (с учетом кратностей)
уравнения P
z0
(w) = 0, лежащих внутри окружности C. Поэтому кривая образ окружности C при отображении t = P
z0
(w) — обходит вокруг точки t = 0 m раз (рис. Так как по условию задачи центр окружности C — точка w
0
— является корнем уравнения P
z0
(w) = 0,
184

то m
1. Существует такое r > 0, что окружность радиуса r с центром в точке t = 0 целиком содержится внутри кривой C (рис.
114
).
Возьмем теперь другое комплексное число и рассмотрим еще одно отображение t = P
z
0
(w). Пусть C
— образ окружности C при отображении t = P
z
0
(w). Так как P
z
0
(w) = 3w
5
− 25w
3
+ 60w − z
0
=
= 3w
5
− 25w
3
+ 60w − z
0
+ (z
0
− z
0
) = P
z0
(w) + (z
0
− z
0
), то кривая
C
получается из кривой сдвигом на вектор z
0
− см. 246). Если длина вектора z
0
− меньше r, то кривая C сдвинется так мало,
что полученная из нее кривая будет обходить вокруг точки t = столько же раз, сколько и кривая C . (Представьте себе, что, наоборот,
сдвигается точка t = 0; рис) Так как кривая C обходит вокруг точки t = 0 m раз, то и кривая C будет обходить вокруг точки t = 0 m раз. Отсюда, рассуждая как и выше, получаем, что внутри окружности C лежит m
1 корней уравнения P
z
0
(w) = 0 (с учетом кратностей).
¡
¢
£
¤
¥
Рис. Рис. 114 345. Пусть z
0
— произвольная точка, отличная от z = ±38 и z =
= ±16. Тогда имеется ровно 5 различных образов точки z при отображении. Пусть это будут точки w
1
, w
2
, w
3
, w
4
, w
5
. Если непрерывная кривая C выходит из точки z
0
, то из каждой точки w i
(i =
1, . . . , 5) выходит хотя бы один непрерывный образ кривой C при отображении w(z). Если бы из некоторой точки w выходило два непрерывных образа кривой C (расходящихся именно в точке w i
), то кривая C имела бы по крайней мере 6 непрерывных образов. Этого не может быть, так как уравнение й степени не может иметь более пяти корней. Следовательно, точка не является точкой неоднозначности функции Рассмотрим теперь 5 кругов D
1
, D
2
, D
3
, D
4
, некоторого радиуса с центрами в точках w i
. Выберем r настолько малым, чтобы эти круги не пересекались и не касались друг друга. В силу результата задачи 344 существует круг с центром в точке такого радиуса, что у любой точки из этого круга имеется по крайней мере по одному и, следовательно, ровно по одному образу в каждом из кругов D
1
, D
2
, D
3
, D
4
, D
5
, построенных на плоскости w. Если C непрерывная кривая, целиком лежащая в круге D
0
, то все образы всех ее точек лежат в кругах D
i
(i = 1, . . . , 5). Но тогда непрерывный образ кривой C при отображении w(z) не может перескочить из одного

круга в другой, те. любой непрерывный образ C кривой C целиком содержится водном из кругов D
i
(i = 1, . . . , 5). Если кривая лежащая целиком в круге D
0
, начинается и кончается водной и той же точке z
0
, то ее непрерывный образ C должен начинаться и кончаться в некоторых точках, являющихся образами точки при отображении w(z). Так как кривая C лежит целиком в некотором круге D
i
(i = 1, . . . , 5) ив этом круге имеется ровно один образ точки z
0
, то кривая начинается и кончается водной и той же точке.
Таким образом, если C — замкнутая кривая, целиком лежащая в круге D
0
, то значение функции w(z) в конечной точке кривой определенное по непрерывности, совпадает со значением в начальной точке. В частности, это справедливо для всех окружностей с центром в точке радиуса, меньшего, чем r. Следовательно, точка не является точкой разветвления функции w(z).
346. Из решения задачи 343 следует, что при z = z
0
= 38 уравнение) имеет четыре корня w
1
, w
2
, w
3
, причем один из них (пусть, например, w
1
) имеет кратность 2, остальные корни простые. Пусть точка лежит вблизи точки z
0
. Тогда из решения задачи получаем,что вблизи точки лежат два образа точки при отображении w(z), а вблизи точек w
2
, и лежит п одному образу точки z
0
. Пусть окружность C малого радиуса с центром в точке начинается и кончается в точке z
0
. Также как при решении задачи 345, получаем, что непрерывные образы окружности C при отображении w(z), начинающиеся вблизи точек w
2
, и w
4
, оканчиваются в исходной точке, а непрерывные образы, начинающиеся вблизи точки водном из образов точки z
0
, могут заканчиваться в другом образе точки z
0
, также лежащем вблизи точки w
1
. Поэтому в точке с трех листов римановой поверхности нет переходов на другие листы и только два листа могут соединяться между собой. Проведем какую-нибудь непрерывную кривую C из точки в точку так, чтобы она не проходила через образы w(z) точек z =
= ±38 и z = ±16. Такую кривую провести можно, так как точки z =
±38 и z = ±16 имеют конечное число образов. Пусть теперь C — образ кривой C при однозначном отображении z(w) = 3w
5
− 25w
3
+ Так как z(w) — непрерывная функция и C — непрерывная кривая,
то и C — непрерывная кривая. Так как z и w при отображении связаны соотношением 3w
5
− 25w
3
+ 60w − z = 0, таким же, как при отображении w(z), то кривая C в свою очередь является непрерывным образом кривой C при отображении w(z). Так как кривая не проходит через образы точек z = ±38 и z = ±16, то кривая C не проходит через точки z = ±38 и z = ±16. Начальная и конечная точки кривой C — это z(w
0
) = и z(w
1
) = z
1
. Таким образом, кривая C искомая. В силу результата задачи 347 с любого листа римановой поверхности функции w(z) можно перейти на любой другой лист по некоторой кривой, не проходящей через точки z = ±38 и z = При этом переходы с листа на лист при пересечении разрезов совпадают с переходами, указанными в той точке разветвления, из которой проведен данный разрез (см. замечание 1 на стр. Следовательно

соединения листов в точках разветвления должны быть такими, чтобы получалась единая связная схема. Так как точки, отличные от z = ±38 и z = ±16, не являются точками разветвления (см. 345), а в каждой из точек z = ±38 и z = ±16 могут соединяться только листа (см. 346), то для получения связной схемы необходимо, чтобы соединения были в каждой из точек z = ±38 и z = ±16, те. все четыре точки являются точками разветвления. Все различные связные схемы показаны на рис. Любые связные схемы римановой поверхности функции w(z) приводятся к этим трем схемам перестановкой листов и точек разветвления. (Мы здесь не утверждаем, что все 3 схемы могут быть реализованы.)
¡
¢
£
¤
¡
¢
£
¤
¡
¢
£
¤
Рис. 115 349. Докажем, что группа подстановок листов для всех трех схем,
показанных на рис, содержит все элементарные транспозиции
(см. стр, те. транспозиции (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5). Для первой схемы это очевидно, так как эти транспозиции просто соответствуют точкам разветвления. Во второй и третьей схемах одной из точек разветвления соответствует транспозиция (1, 2). Транспозиции (2, и (3, 4) получаются в обоих случаях как произведения (2, 3) = (1, 2) ×
× (1, 3) · (1, 2) и (3, 4) = (1, 3) · (1, 4) · (1, 3). Транспозиция (4, 5) получается для второй схемы как произведение (4, 5) = (1, 4) · (1, 5) ·
(1, 4), а для третьей схемы она просто соответствует одной из точек разветвления.
Таким образом, искомая группа во всех трех случаях содержит все элементарные транспозиции и, следовательно (теорема 4, стр.
47
),
совпадает со всей группой подстановок й степени. Из результата задачи 349 получаем, что группа Галуа для функции w(z) — это группа всех подстановок й степени, которая неразрешима (см. теорему 5, стр. С другой стороны, если функция) выражается в радикалах, то соответствующая ей группа Галуа должна быть разрешимой (теорема 11, стр. Из полученного противоречия и вытекает, что функция w(z) не может быть выражена в радикалах. Указание. Если бы такая формула существовала, то, подставив в нее значения a
0
= 3, a
2
= −25, a
4
= 60, a
1
= a
3
= 0 и a
5
= мы получили бы, что функция w(z) (см. 350) выражается в радикалах. Функция w
1
(z), выражающая корни уравнения (
14.2
) через параметр z, имеет риманову поверхность, которая состоит из отдельного листа, на котором w
1
(z) ≡ 0, и 5 листов, которые составляют схему римановой поверхности функции w(z), выражающей корни

уравнения 25w
3
+ 60w − z = через параметр z. Поэтому группа Галуа, соответствующая функции, совпадает с группой Галуа, соответствующей функции, тес группой S
5
, всех подстановок й степени, которая неразрешима (см. 349). С другой стороны, если функция выражается в радикалах, то соответствующая ей группа Галуа должна быть разрешимой (см. теорему 11, стр. Из полученного противоречия вытекает, что функция w
1
(z) не выражается в радикалах и общее алгебраическое уравнение степени n при n > неразрешимо в радикалах

Предметный указатель
Абеля теорема 12, алгебраическая форма комплексного числа алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени n общее аргумент комплексного числа ассоциативность 21
Безу теорема бинарная операция Вектор 65
— свободный ветвь функции взаимно однозначное отображение
19
Виета теорема внутренний автоморфизм Гомоморфизм 39
— естественный группа 21
— бесконечная 21
— — циклическая 25
— вращений додекаэдра 44
— — квадрата 17
— — куба 38
— — тетраэдра 29
— — треугольника 15
— Галуа 108
— знакопеременная 49
— коммутативная 23
— конечная 21
— подстановок значений функции — листов схемы римановой поверхности преобразований 20
— разрешимая 44
— симметрий квадрата 18
— — прямоугольника 18
— — ромба 18
— — тетраэдра 29
— — треугольника 17
— симметрическая 46
— целых чисел по сложению 21
— циклическая порядка n группы изоморфные Действительная часть комплексного числа деление многочленов с остатком дистрибутивность 52
Еcтественный гомоморфизм единица группы Знакопеременная группа Изменение аргумента вдоль кривой
75
изоморфизм групп 26
— полей 62
Кардано формула 11
коммутант коммутативная группа коммутатор коммутирующие элементы 23, комплексного числа алгебраическая форма 60
— — геометрические представления тригонометрическая форма комплексное число корень алгебраического уравнения — кратности k 81
— многочлена Лагранжа теорема левое разложение группы по подгруппе левый смежный класс лист Метод Феррари мнимая часть комплексного числа
60
многочлен 54
— неприводимый 63
— приводимый модуль комплексного числа 66
Муавра формула Непрерывная кривая 73
— функция 70 189

непрерывный образ кривой нечетная подстановка нормальная подгруппа Образ подмножества 42
— элемента образующий 24, обратное преобразование обратный элемент общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени n однозначная непрерывная ветвь основная теорема алгебры комплексных чисел отображение 18
— взаимно однозначное 19
— на Параметрическое уравнение кривой перестановочные элементы 23, подгруппа 27
— нормальная подстановка 19, 46
— нечетная 48
— циклическая 47
— четная поле полный прообраз подмножества порядок группы 21
— подгруппы 31
— элемента правое разложение группы по подгруппе правый смежный класс преобразование множества 19
— обратное 19
— тождественное произведение многозначных функций многочленов 55
— преобразований 19
— функций производная многочлена прообраз элемента прямое произведение Разложение группы по нормальной подгруппе 35
— по подгруппе левое 31
— — правое разность в поле 53
— многозначных функций 98
— многочленов 55
— функций разрешимая группа риманова поверхность 85, Свойство монодромии симметрическая группа симметрия фигуры сложение по модулю n смежный класс левый 31
— правый сопряженные комплексные числа
60
сумма многозначных функций 98
— многочленов 55
— функций суперпозиция функций схема римановой поверхности Теорема Абеля 12, 112
— Безу 80
— Виета 9
— Лагранжа точка неоднозначности 94
— разветвления транспозиция 47
— элементарная тригонометрическая форма комплексного числа Умножение по модулю n уравнение кривой параметрическое
73
Факторгруппа Феррари метод формула Кардано 11
— Муавра функция, выражющаяся в радикалах Центр группы цикл циклическая группа Частное в поле 53
— двух многозначных функций 98
— — функций четная подстановка Элементарная транспозиция Ядро гомоморфизма 40 190

Валерий Борисович Алексеев
ТЕОРЕМА АБЕЛЯ В ЗАДАЧАХ И РЕШЕНИЯХ
Верстка А. Переверзевой
Издательство Московского Центра непрерывного математического образования, Москва, Б. Власьевский пер, Лицензия ИД №01335 от 24.03.2000 г.
Подписано в печать 28.02.2001 г.
Формат 84 × 108 1
/
32
. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 6,0. Тираж Заказ Отпечатано ОАО «Типография
”
Новости“ »
107005, Москва, ул. Фридриха Энгельса, Вы можете приобрести книги издательства МЦНМО
в Математическом библиоклубе» по адресу
Большой Власьевский пер, д. Тел. [phone]. E-mail: [e-mail]