В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
УДК 517.545, А 47 ББК Алексеев В. Б. А Теорема Абеля в задачах и решениях — М МЦНМО, 2001. — 192 с. 115 илл Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения й и й степени с одним неизвестными почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах. При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики — теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги — дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весьма- териал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями. Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов, и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математичекского кружка. ББК 22.144 ISBN 5–900916–86–3 c Алексеев В. Б, 2001 c МЦНМО, 2001 Оглавление Предисловие 5 Введение 7 Глава I. Группы 1. Примеры 2. Группы преобразований 3. Группы 4. Циклические группы 5. Изоморфизм 6. Подгруппы 7. Прямое произведение 8. Смежные классы. Теорема Лагранжа 9. Внутренние автоморфизмы 10. Нормальные подгруппы 11. Факторгруппы 36 § 12. Коммутант 37 § 13. Гомоморфизм 14. Разрешимые группы 15. Подстановки 46 Глава II. Комплексные числа 1. Поля и многочлены 2. Поле комплексных чисел 3. Единственность поля комплексных чисел 4. Геометрические представления комплексных чисел 5. Тригонометрическая форма комплексных чисел 6. Непрерывность 7. Непрерывные кривые 8. Отображение кривых. Основная теорема алгебры комплексных чисел 9. Риманова поверхность функции w = √ z 82 § 10. Римановы поверхности более сложных функций 3 § 11. Функции, выражающиеся в радикалах 12. Группы Галуа многозначных функций. . . . . 105 § 13. Группы Галуа функций, выражающихся в радикалах. 107 § 14. Теорема Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Указания, решения, ответы. . . . . . . . . . . . . Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4 Предисловие В курсе средней школы подробно изучаются алгебраические уравнения с одним неизвестным й степени (линейные) и й степени (квадратные. При этом оказывается, что для решения таких уравнений существуют общие формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и радикалов. А существуют ли подобные формулы для решения алгебраических уравнений более высоких степеней, знают очень немногие. Оказывается, что для уравнений й и й степени такие формулы тоже существуют. Методы решения этих уравнений мы рассмотрим во Введении. Если же рассмотреть общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени вышей, то оказывается, что оно неразрешимо в радикалах, те. не существует формулы, выражающей корни такого уравнения через коэффициенты с помощью арифметических операций и радикалов. Это и есть теорема Абеля. Одна из целей данной книги — познакомить читателя с доказательством теоремы Абеля. Мы не будем здесь подробно рассматривать результаты, полученные несколько позже французским математиком Эваристом Галуа, который рассмотрел не общие, а конкретные алгебраические уравнения с фиксированными числовыми коэффициентами и для таких уравнений нашел условие, при котором корни уравнения можно выразить через коэффициенты с помощью арифметических операций и радикалов. Тем, кто захочет ближе познакомиться с результатами Галуа, можно рекомендовать книги Постникова ММ. «Теория Галуа» и Ван дер Вардена Б. Л. «Алгебра» *) *) П ост ник о в ММ, Теория Галуа, Физматгиз, Ванде р Варде н Б. Л, Алгебра, М, Наука, 1979. 5 Из общих результатов Галуа можно, в частности, получить и теорему Абеля. Однако в этой книге мы пойдем по другому пути, который позволит читателю познакомиться с двумя очень важными разделами современной математики теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Читатель узнает, что такое (в математике) группа, поле и какими свойствами они обладают. Узнает, что такое комплексные числа и почему именно так, а не иначе они определяются. Узнает, что такое риманова поверхность ив чем состоит основная теорема алгебры комплексных чисел Автор будет сопровождать читателя на этом пути, но даст ему широкую возможность испытать свои собственные силы. Для этого читателю будет предложено большое число задач. Задачи расположены непосредственно в основном тексте книги и являются фактически составной частью основного текста. Задачи имеют сплошную нумерацию, которая выделена полужирным шрифтом. Если какие-то задачи окажутся читателю не под силу, то ему на помощь придут Указания, решения и ответы». Книга содержит много понятий, возможно новых для читателя. Чтобы читатель мог легче в них ориентироваться, в конце книги приведен алфавитный список понятий с указанием страниц, на которых эти понятия определяются. Книга написана на основе лекций, прочитанных враз- ные годы профессором Московского университета Владимиром Игоревичем Арнольдом и автором в Московской фи- зико-математической школе-интернате №18 при МГУ. Автор благодарен В. И. Арнольду, высказавшему ряд ценных замечаний при подготовке рукописи этой книги. В. Б. Алексеев Введение Мы начнем эту книгу с рассмотрения вопроса о том, как решаются алгебраические уравнения с одним неизвестным от й до й степени. Методы решения алгебраических уравнений й и й степени были известны еще математикам древнего мира, методы решения алгебраических уравнений й и й степени были разработаны лишь в XVI веке. Общим алгебраическим уравнением с одним неизвестным степени n называется уравнение видав котором a 0 = При n = 1 получаем линейное уравнение a 0 x + a 1 = 0, a 0 = Это уравнение имеет, очевидно, единственное решение x = при любых значениях коэффициентов. При n = 2 получаем квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, a = вместо a 0 , a 1 , мы пишем здесь a, b, c, как принято в школе. Разделив обе части этого уравнения на a и положив p = b a , q = c a , получим приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0. (1) *) Коэффициенты a 0 , a 1 , . . . , a можно пока считать произвольными действительными числами После преобразований получаем x 2 + px + p 2 4 = p 2 4 − q и + p 2 2 = p 2 4 − В курсе средней школы далее рассматривается только случай. Если же p 2 4 − q < 0, то говорят, что равенство) не может иметь место и уравнение ( 1 ) не имеет действительных корней. Чтобы не возникало таких исключений, нам удобнее будет рассматривать в дальнейшем алгебраические уравнения не в области действительных чисел, а в более широкой области комплексных чисел. Подробно (вместе с определением) мы будем рассматривать комплексные числа в главе II. Пока читателю достаточно знать или принять на веру следующие утверждения о комплексных числах) множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, те. действительные числа содержатся среди комплексных чисел, также как, например, целые числа содержатся среди действительных) комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в натуральную степень, причем все эти операции обладают всеми основными свойствами соответствующих операций для действительных чисел) если z — комплексное число, неравное нулю, и n натуральное число, то существует ровно n корней й степени из z, те комплексных чисел w таких, что w n = При z = 0 имеем n √ 0 = 0. Если и w 2 — корни й степени из числа z, то w 2 = Ниже мы не только будем интересоваться как действительными, таки комплексными корнями уравнений, но ив качестве коэффициентов этих уравнений будем рассматривать произвольные комплексные числа. При этом приведенные выше рассуждения о линейных и квадратных уравнениях останутся в силе, что вытекает из указанного выше свойства 2 комплексных чисел. Продолжим рассмотрение квадратного уравнения. В области комплексных чисел равенство ( 2 ) при любых значениях и q равносильно равенству x + p 2 = ± p 2 4 − q, 8 где под p 2 /4 − q понимается какое-нибудь одно определенное значение корня второй степени. Таким образом − p 2 ± p 2 4 − Переходя к a, b, c, получим x 1,2 = −b ± √ b 2 − Для дальнейшего нам понадобятся два факта, относящиеся к уравнениям й степени) теорема В и е та комплексные числа ив томи только в том случае являются корнями уравнения x 2 + px + q = 0, если x 1 + x 2 = −p, x 1 · x 2 = q. Действительно, если и x 2 — корни уравнения x 2 + px + q = 0, то выполняется равенство ( 3 ). Отсюда x 1 + x 2 = −p, x 1 · x 2 = Обратно, если x 1 + x 2 = −p, x 1 · x 2 = q то, заменяя p ив уравнении x 2 + px + q = 0 их выражениями через и получим x 2 − (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = (x − x 1 )(x − x 2 ) = 0, и, следовательно, и являются корнями уравнения x 2 + + px + q = 0; 2) квадратный трехчлен ax 2 + bx + c является полным квадратом те для некоторого комплексного числа x 0 ) тогда и только тогда, когда корни уравнения ax 2 + bx + c совпадают (оба они должны равняться x 0 ). Это имеет место в томи только в том случае (см. формулу ( 4 )), когда b 2 − 4ac = 0. Выражение называется дискриминантом квадратного трехчлена. Рассмотрим теперь приведенное уравнение й степени x 3 + ax 2 + bx + c = Общее уравнение й степени сводится к приведенному делением на a 0 .) Сделаем замену x = y + d, где d мы выберем позднее. Получим + d) 3 + a(y + d) 2 + b(y + d) + c = 0. *) Франсуа Виет (1540–1603) — французский математик Раскрыв все скобки и приводя подобные относительно y члены, получим уравнение y 3 + (3d + a)y 2 + (3d 2 + 2ad + b)y + (d 3 + ad 2 + bd + c) = Коэффициент при в этом уравнении равен 3d + a. Поэтому если мы возьмем d = − a 3 , то после замены x = y мы приведем уравнение к виду y 3 + py + q = где p и q — некоторые многочлены от a, b, Пусть y 0 — корень уравнения ( 6 ). Представив его в виде y 0 = a + b (где a и b пока неизвестны, получим a 3 + 3 ab(a + b) + b 3 + p( a + b) + q = и a 3 + b 3 + ( a + b)(3ab + p) + q = Посмотрим, можно ли на a и b наложить дополнительное условие ab = В этом случае получим для a и b два уравнения a + b = y 0 , ab = По теореме Виета для любого такие a и b действительно существуют (возможно, комплексные) и являются корнями уравнения w 2 − y 0 w − p 3 = Если мы возьмем такие a и b (пока еще неизвестные нам), то уравнение ( 7 ) приведется к виду a 3 + b 3 + q = Возводя обе части уравнения ab = в ю степень и объединяя полученное уравнение сбудем иметь a 3 + b 3 = −q, a 3 · b 3 = − p 3 27 , 10 откуда по теореме Виета и являются корнями уравнения Таким образом − q 2 + q 2 4 + p 3 и b 3 = − q 2 − q 2 4 + p 3 где опять под q 2 4 + p 3 понимается одно определеннoe значение корня й степени. Отсюда корни уравнения ( 6 ) выражаются формулой y 1,2,3 = 3 − q 2 + q 2 4 + p 3 27 + 3 − q 2 − q 2 4 + p 3 причем для каждого из трех значений первого корня й степени *) нужно брать соответствующее значение второго так, чтобы выполнялось условие ab = Полученная формула носит название формулы Кардано **) . Подставив в нее вместо p и q их выражения через a, b, c и вычитая a 3 , получим формулу для корней уравнения (Делая затем замену a = a 1 a 0 , b = a 2 a 0 , c = a 3 a 0 , получим формулу для корней общего уравнений й степени. Рассмотрим теперь приведенное уравнение й степени x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = Общее уравнение сводится к приведенному делением на a 0 .) Сделав замену переменной x = y − a 4 , подобную замене, сделанной в случае уравнения й степени, приведем уравнение ( 9 ) к виду y 4 + py 2 + qy + r = где p, q и r — некоторые многочлены от a, b, c, Уравнение ( 10 ) будем решать методом, который носит название метода Феррари. Преобразуем левую часть) См. указанное выше свойство 3 комплексных чисел) Дж. Кардано (1501–1576) — итальянский математик) Л. Феррари (1522–1565) — итальянский математик, ученик Кар- дано уравнения ( 10 ) следующим образом 2 + qy + r − p 2 4 = и y 2 + p 2 + a 2 − 2 a y 2 + p 2 + a 2 − qy + p 2 4 − r = где a — произвольное число. Постараемся теперь подобрать так, чтобы многочлен й степени относительно y 2 ay 2 − qy + ap + a 2 + p 2 4 − r стоящий в квадратных скобках, стал полным квадратом. Как было отмечено выше, для того чтобы он был полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого многочлена равнялся нулю, те Раскрывая скобки, получим для нахождения a уравнение 3-й степени, которое мы умеем решать. Если в качестве взять один из корней уравнения ( 12 ), то выражение, стоящее в квадратных скобках в ( 11 ), будет полным квадратом. В этом случае левая часть уравнения ( 11 ) является разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов й степени относительно После этого остается решить два получившихся уравнения 2-й степени. Таким образом, уравнение й степени всегда может быть решено и, более того, можно, аналогично случаю й степени, получить формулу, выражающую корни общего уравнения й степени через коэффициенты уравнения с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень и извлечения корней натуральной степени. Долгое время математики пытались найти метод решения в радикалах общего уравнения й степени. Однако в г. норвежский математик Нильс Генрик Абель (1802– 1829) доказал следующую теорему. Т е орем а А бел я. Общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени вышей неразрешимо в радикалах, те. не существует формулы, выражающей корни общего уравнения степени вышей через коэффициенты с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень и извлечения корней натуральной степени. Мы сможем доказать эту теорему в конце книги. Однако для этого нам потребуются такие математические понятия, как группа, разрешимая группа, функция комплексного переменного, риманова поверхность и т. д. Со всеми этими и другими математическими понятиями мы и познакомим читателя в дальнейшем на страницах этой книги. Начнем мыс рассмотрения очень важного в математике понятия группы Глава I Группы Исследование алгебраических уравнений вначале века привело математиков к необходимости выделения особого математического понятия — понятия группы. Новое понятие оказалось настолько плодотворным, что не только проникло почти вовсе разделы современной математики, но и стало играть важную роль в некоторых разделах других наук, например в квантовой механике ив кристаллографии. Исследования, связанные с понятием группы, выросли в отдельную ветвь современной математики — теорию групп. Что же представляет собой понятие группы в математике Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с рассмотрения некоторых примеров 1. Примеры Уже в арифметике мы сталкиваемся с операциями, которые двум данным числам ставят в соответствие третье число. Так операция сложения паре чисел (3, 5) ставит в соответствие число 8, а паре (2, 2) число 4. Операция вычитания, если ее рассматривать на множестве всех целых чисел, также ставит в соответствие каждой паре целых чисел определенное целое число. При этом здесь надо указать не только пару чисел, но и порядок этих чисел. Так, паре, 3) вычитание ставит в соответствие число 2, а паре (3, 5) число −2. Таким образом, пары (5, 3) и (3, 5) должны рассматриваться как различные. Пары, в которых задан порядок элементов, мы будем называть упорядоченными парами. О пределен и е. Пусть M — некоторое множество элементов произвольной природы. Если каждой упорядоченной паре элементов из M поставлен в соответствие определенный элемент также из M , то говорят, что на M задана бинарная операция. Бинарными операциями являются, например, сложение на множестве натуральных или на множестве целых чисел, вычитание на множестве целых чисел. Вычитание на множестве натуральных чисел бинарной операцией не является, так как, например, упорядоченной паре (3, 5) вычитание не ставит в соответствие никакого натурального числа. На множестве 1) всех четных натуральных чисел) всех нечетных натуральных чисел, 3) всех отрицательных целых чисел рассмотрите операции а) сложения, б) вычитания, в) умножения. В каких случаях получится бинарная операция? *) Рассмотрим еще несколько примеров бинарных операций. К этим примерам мы будем часто обращаться вдаль- нейшем. П р им ер. Пусть A, B и C — вершины равностороннего треугольника ABC (рис. Повернем треугольник ¡ ¢ £ Рис. вокруг его центра O на в направлении, указанном стрелкой. Тогда вершина перейдет в вершину B, B в ив. Таким образом, треугольник совместится со своим первоначальным положением (если не учитывать названия вершин, те. поворот на вокруг точки O является преобразованием, переводящим данный треугольник в себя. Обозначим это преобразование через a. Его можно записать в виде a = A B C B C A , где в верхней строчке перечислены все вершины треугольника, а нижняя строчка показывает, куда каждая из них переходит. Поворот на в том же направлении вокруг точки O также является) Часть предлагаемых в дальнейшем задач носит практический характер и служит для лучшего уяснения на примерах новых понятий. Другие задачи являются теоретическими, и результаты их используются в дальнейшем. Поэтому если читателю не удается решить какую-либо задачу, то ему необходимо ознакомиться с ее решением по «Указаниям, решениями ответам преобразованием, переводящим треугольник в себя. Обозначим это преобразование через b, тогда b = A B C C A Имеется еще одно вращение, переводящее треугольник в себя, отличное от a и b, — это поворот на 0 ◦ . Обозначим это преобразование через e, тогда e = A B C A B C . Легко видеть, что существует только 3 различных вращения плоскости, переводящих равносторонний треугольник ABC в себя, а именно e, a и Пусть и g 2 — произвольные преобразования треугольника. Тогда под g 1 · или просто g 1 g 2 ) мы будем понимать преобразование g 3 , которое получится, если сначала Т а блица выполнить преобразование и затем преобразование мы будем называть произведением или композицией преобразований и Можно составить таблицу умножения (табл. 1 ), где каждая строка, а также каждый столбец соответствует некоторому вращению, переводящему треугольник ABC в себя. На пересечении строки, соответствующей преобразованию и столбца, соответствующего преобразованию g 2 , мы будем ставить преобразование, равное g 1 · g 2 . Так, например, в выделенную клетку табл. 1 мы должны поставить преобразование, которое получится, если сначала повернуть треугольник на 240 ◦ , а затем еще на 120 ◦ . Следовательно · b — поворот нате. совпадает с e. Тот же результат мы получим, если будем рассуждать следующим образом: преобразование b переводит вершину A в C, а преобразование переводит затем вершину C в A. Таким образом, преобразование a · b переведет вершину A в A. Точно также можно получить, что вершина B переходит в B, а переходит в C. Отсюда ab = A B C A B C , те. Заполнить полностью таблицу Любое преобразование некоторой фигуры в себя, сохра- *) Имеются ввиду вращения плоскости без выхода в пространство, те. вращения только вокруг некоторых осей, перпендикулярных к плоскости няющее расстояния между всеми ее точками, называется симметрией данной фигуры. Так, рассмотренные в примере вращения равностороннего треугольника являются его симметриями. П р им ер. Кроме вращений, у равностороннего треугольника имеется еще 3 симметрии, а именно, отражения относительно осей l 1 , ирис. Эти преобразования мы обозначим соответственно c, d, f , так что c = A B C A C B , d = A B C C B A , f = A B C B A C . Здесь можно по-разному понимать композицию двух преобразований. Рассмотрим, например, композицию преобразований c · d. Можно считать, ¡ ¢ £ ¤ £ ¥ £ ¦ ¡ ¢ £ ¤ £ ¥ £ ¦ ¡ ¢ £ ¤ £ ¥ £ ¦ Рис. что при выполнении преобразования d ось переходит в новое положение (а именно, в положение старой оси l 3 , и после этого преобразование c рассматривать как отражение относительно нового положения оси те. относительно старой оси l 3 . С другой стороны, можно считать, что осине связаны жестко с фигурой и не преобразуются вместе с ней и, следовательно, в рассматриваемом примере после выполнения преобразования d преобразование c должно выполняться как отражение относительно старой оси Именно так мы и будем рассматривать в дальнейшем композицию преобразований. При таком подходе оказываются справедливыми рассуждения о вершинах фигуры, аналогичные рассуждениям, приведенным непосредственно перед задачей 2. Такие рассуждения удобно использовать для вычисления композиций преобразований. Составить таблицу умножения для всех симметрий правильного треугольника. П р им ер. Пусть e, a, b и c обозначают соответственно вращения квадрата на 0 ◦ , на 180 ◦ , на и на в направлении, указанном стрелкой (рис. Составить таблицу умножения для вращений квадрата Пример. Пусть d, f , g и h обозначают отражения квадрата относительно осей, указанных на рис. 4 ¡ ¢ £ ¤ Рис. Рис. 4 5. Составить таблицу умножения для всех симметрий квадрата. П р им ер. Пусть ABCD — ромб, не являющийся квадратом. Найти все симметрии данного ромба и составить для них таблицу умножения. П р им ер. Пусть ABCD — прямоугольник, не являющийся квадратом. Найти все симметрии данного прямоугольника и составить для них таблицу умножения 2. Группы преобразований Пусть X и Y — два множества элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу x из X поставлен в соответствие однозначно определенный элемент y из Y . Тогда говорят, что задано некоторое отображение f множества в множество Y ( f: X → Y ). Элемент y называют образом элемента x, а x — прообразом элемента y, и записывают Определение. Отображение f: X → Y называют отображением множества X на множество Y , если для каждого элемента y из Y существует элемент x из X такой, что f(x) = y, те. у каждого y из Y есть прообраз в X. 8. Пусть отображение f ставит в соответствие каждому городу мира первую букву из его названия на русском языке (например, |