Математика лекции. Лекции. Тема Дифференциальное интегральное исчисление

• Название: Тема Дифференциальное интегральное исчисление
• Анкор: Математика лекции
• Дата: 13.10.2021
• Размер: 184.94 Kb.
• Имя файла: Лекции.docx
• Тип: Документы; #246857
• страница: 1 из 5

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.1. Дифференциальное интегральное исчисление.

1. Функции одной независимой переменной.

Пусть даны два множества произвольной природы Х и У, состоящие из произвольных элементов х и у.

Определение. Если каждому эл-ту х Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие элемент у У, то говорят что на множестве Х определена функция со значениями в множестве У.

Пишут: у = f(х)

Х – независимая переменная или аргумент;

У – зависимая переменная или функция.

Множество Х - область определения функции (Д(f));

Множество У - область значений функции (Е(f)).

Пример: 1) у = : Д(f) = (

Е(f) =

2) у = = :

Д(f) = ( (3; 4) (4; + )

Е(f) = (- ; + ).

Определение. Частным значением функции у =f(х) при х = х_о , х_о Х наз. То значение у, которое соответствует данному значению х_о .

Обозначается: f(х_о).

Пример: Выч-ть частное значение функции

V = при R = 3

V(3) = = 36

Существует несколько способов задания функции:

1) аналитический – функциональная зависимость между переменными х и у выражается в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по заданному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

Пример: 1) у = ; 2) S = Vt; 3) у =

2) табличный – функциональная зависимость между переменными описывается в виде таблицы величин – аргумента и функции.

Пример:	цена	р (руб.)	100	120	140	160	. . .
	спрос	q (тыс.шт.)	20	18	16	14	. . .

3) графический – если функция задана в виде формулы у = f(х), то ее графиком является мн-во точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношению у = f(х).

Пример: у = - графиком является полуокружность.



4) словесный – функция описывается правилом составления.

Пример: функция Дирихле f(х) =

2. Предел функции.

Определение 1. (по Гейне). Если для любой последовательности х₁, х_{2, . . .;} х_{п , . . ,} входящих в область определения функции и сходящихся к а, но отличных от а, соответствующая последовательность значений функции f₁ (х), f₂ (х), . . ., f_п (х), . . . сходится и притом всегда к одному и тому же числу А, то говорят, что функция f(х) стремится к А при х, стремящемся к а, а число А называют пределом функции f(х) в точке а или ее предельным значением в этой точке.

Другими словами, А – предел функции f(х) при х а, если из условия

а) всегда следует равенство ) = А

Определение 2 (по Коши). Число А называется пределом функции f(х) при х а (или в точке а), если для любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа Е можно найти такое положительное число б, что для всех значений х, входящих в область определения функции, отличных от а и удовлетворяющих условию б, имеет место неравенство: Е.

Пример. Доказать, что = 6

Док – во: б (Е) 0 : б Е ; Е ; 4 Е;



Сравнивая б и заключаем, что в качестве б можно взять .

Например, при Е = 1 : б = 0,25

при Е = 0,1 : б = 0,025, т. е. Е б (Е) 0

Правила предельного перехода:

Рассмотрим функции у = f₁ (х) и у = f₂ (х), которые при х х₀ имеют пределы, т.е.

= А₁ = А₂

Теорема 1 (о пределе алгебраической суммы).

Предел алгебраической суммы двух функций, имеющих пределы при х х_{0 ,} равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

(f₁ (х) f₂ (х)) = f₁ (х) f₂ (х) = А₁ А₂

Теорема 2 (о пределе произведения).

Предел произведений двух функций, имеющих пределы при х х_0, равен произведению пределов этих функций, т. е.

(f₁ (х) f₂ (х)) = f₁ (х) f₂ (х) = f₂ (х) А₂

Следствие. (с f (х)) = с f (х), с – const.

Теорема 3 (о пределе частного).

Предел частного двух функций, имеющих пределы при х х_0, равен частному пределов этих функций, если f₂ (х) = А₂ 0, т.е.

= =

Пример: 1) = = разделим числитель и знаменатель на старшую степень х : х⁴ 0 при х

= = = = =

2) = ) = разложим числитель и знаменатель на множители

= = = = = -

3) = ) = умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения

+3) ( +2) 0

= = = = = = = =

4) умножим и разделим на сопряженный



== = = = =

Первый замечательный предел.

Теорема. Рассмотрим функцию f(х) = . Эта функция в точке х = 0 не определена, тем не менее ее предел при х 0

= 1

Док-во: АОВ = х, 0

АОВ сектор АОВ АОС



= = 1

= х ОА² = х

= = = 1 tg х

х tg х

tg х; (т.к. 0

1 ; 1 ;

= = BN; = = АС

1 – 1 1 –

0 1 –

0 1 – 2 2 ( (т. к. tg х);

0 1 – выполняется 0

Если то 0 - и выполняется

0 1 –

0 1 –

т. о. , для (0) =( - ; ) выполняется

0 1 – при х 0

или теорема доказана.

Пример: 1) = =

;

2) tg 3х = = = =

3) = =

4) = = = = =

Второй замечательный предел.

(лекция)

Пример:

( ( =

Замена: - = 4





= ( = 1 =

= =

Д/з: 1) =

Второй замечательный предел.

Доказать что последовательность сходится.

Предел этой последовательности следуя математическому Эйлеру обозначается буквой

и называется «числом Эйлера».

Обоснуем следующее равенство =

Рассмотрим функцию целочисленного аргумента

и

Тогда для любого выполняется:

1 = =(( ( = ( = 1 -

С другой стороны

= = ( = (

Аналогично проверяется, что

возрастает, последовательность убывает и 1



Вычитая из члены последнего неравенства получаем 0

т.о. и последовательности имеют общий предел, который и обозначается .

т.о. ( = ( =

1. Непрерывность функций одной независимой переменной.

2. Производная. Геометрический смысл.

3. Исследование функций.