Математика лекции. Лекции. Тема Дифференциальное интегральное исчисление
![]()
|
Раздел 1. Математический анализ. Тема 1.1. Дифференциальное интегральное исчисление. 1. Функции одной независимой переменной. Пусть даны два множества произвольной природы Х и У, состоящие из произвольных элементов х и у. Определение. Если каждому эл-ту х ![]() ![]() Пишут: у = f(х) Х – независимая переменная или аргумент; У – зависимая переменная или функция. Множество Х - область определения функции (Д(f)); Множество У - область значений функции (Е(f)). Пример: 1) у = ![]() ![]() Е(f) = ![]() 2) у = ![]() ![]() Д(f) = ( ![]() ![]() ![]() ![]() Е(f) = (- ![]() ![]() Определение. Частным значением функции у =f(х) при х = хо , хо ![]() Обозначается: f(хо). Пример: Выч-ть частное значение функции V = ![]() V(3) = ![]() ![]() ![]() ![]() Существует несколько способов задания функции: 1) аналитический – функциональная зависимость между переменными х и у выражается в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по заданному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Пример: 1) у = ![]() ![]() 2) табличный – функциональная зависимость между переменными описывается в виде таблицы величин – аргумента и функции.
3) графический – если функция задана в виде формулы у = f(х), то ее графиком является мн-во точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношению у = f(х). Пример: у = ![]() ![]() 4) словесный – функция описывается правилом составления. Пример: функция Дирихле f(х) = ![]() 2. Предел функции. Определение 1. (по Гейне). Если для любой последовательности х1, х2, . . .; хп , . . , входящих в область определения функции и сходящихся к а, но отличных от а, соответствующая последовательность значений функции f1 (х), f2 (х), . . ., fп (х), . . . сходится и притом всегда к одному и тому же числу А, то говорят, что функция f(х) стремится к А при х, стремящемся к а, а число А называют пределом функции f(х) в точке а или ее предельным значением в этой точке. Другими словами, А – предел функции f(х) при х ![]() ![]() ![]() Определение 2 (по Коши). Число А называется пределом функции f(х) при х ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Доказать, что ![]() Док – во: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сравнивая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Например, при Е = 1 : б = 0,25 при Е = 0,1 : б = 0,025, т. е. ![]() ![]() ![]() Правила предельного перехода: Рассмотрим функции у = f1 (х) и у = f2 (х), которые при х ![]() ![]() ![]() Теорема 1 (о пределе алгебраической суммы). Предел алгебраической суммы двух функций, имеющих пределы при х ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2 (о пределе произведения). Предел произведений двух функций, имеющих пределы при х ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следствие. ![]() ![]() ![]() Теорема 3 (о пределе частного). Предел частного двух функций, имеющих пределы при х ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример: 1) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2) ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4) ![]() ![]() == ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Первый замечательный предел. Теорема. Рассмотрим функцию f(х) = ![]() ![]() ![]() ![]() Док-во: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1 – 1 ![]() ![]() ![]() 0 ![]() ![]() ![]() 0 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 0 ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() 0 ![]() ![]() ![]() ![]() 0 ![]() ![]() ![]() т. о. , для ![]() ![]() ![]() ![]() 0 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример: 1) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) ![]() ![]() ![]() 4) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Второй замечательный предел. (лекция) Пример: ![]() ![]() ![]() Замена: - ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() Д/з: 1) ![]() ![]() Второй замечательный предел. Доказать что последовательность ![]() Предел этой последовательности следуя математическому Эйлеру обозначается буквой ![]() Обоснуем следующее равенство ![]() ![]() Рассмотрим функцию ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда для любого ![]() ![]() 1 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() С другой стороны ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично проверяется, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вычитая из ![]() ![]() т.о. ![]() ![]() ![]() ![]() т.о. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1. Непрерывность функций одной независимой переменной. 2. Производная. Геометрический смысл. 3. Исследование функций. |