Математика лекции. Лекции. Тема Дифференциальное интегральное исчисление

• Название: Тема Дифференциальное интегральное исчисление
• Анкор: Математика лекции
• Дата: 13.10.2021
• Размер: 184.94 Kb.
• Имя файла: Лекции.docx
• Тип: Документы; #246857
• страница: 3 из 5

Теорема: ( признак Доламбера): пусть для положительного ряда существует предел D = . Тогда при D > 1 ряд расходится, при D < 1 – сходится, при D = 1 – может вести себя как угодно.

Док –во: Пусть D > 1. Тогда для О (D) = (1; + ∞) по определению предела = D найдется номер n₀ ∈ N,

∈ О (D), т.е.

> 1, > при n ≫ n₀

при n = n₀ : >

при n = n₀ +1 : > >
≫ при n ≫ n₀

Значит ≫ 0, т.е. не вып – ся необходимый признак сходимости и ряд расходится.

Пусть D < 1. Рассмотрим произвольную q , которая удовлетворяет неравенству D = D найдется номер n₀ ∈ N, начиная с которого

0 ≪ D < q < 1

∈ О (D), т.е. < q при n ≫ n₀ ⟹ < q при n ≫ n₀

при n = n₀ : q

при n = n₀ +1 : < q < q²

при n = n₀ + k : < q^k

т. к. q = < 1, то ряд сходится, следовательно сходится ряд

также сходится, т. к. добавление конечного числа членов не влияет на сходимость. Для обобщенного гармонического ряда

Вып – ся D= = = ( = 1

Однако такой ряд может сходится при α > 1 и расходится при α ≪ 1.

3. Определение: Знакочередующийся ряд – это ряд, у которого чередуются положительные и отрицательные члены. Такой ряд записывается в виде

a₁ - a₂ + a₃ – a₄ + . . . +(-1)^n-1 a_n , где или (-1)^n-1 a_{n ,} где a_{n >} 0

Теорема. (признак Лейбница): Если для знакочередующегося ряда (-1)^n-1 a_n последовательность монотонно убывает и стремится к 0, то ряд сходится.

Доказательство: Пусть S_{n =} a₁ – a₂ + a₃ – a₄ + . . . + (- 1)^{n – 1} a_n - n – ая частичная сумма ряда.

Рассмотрим последовательность четных частичных сумм т. к.

S _2n = a₁ – a₂ + a₃ – a₄ +. . . + a_2n-1 – a_2n = a_{1 –} ( a₂ – a₃) - . . . – (a_{2n - 2} - a_{2n – 1}) - a_2n < a₁

возрастает, т.е. S _{2n ≪} S_{2(n + 1)}. В самом деле

S_{2(n + 1)} = (a₁ – a₂ +. . . + a_{2n –n1} - a_2n) + a_{2n + 1} -a_{2(n + 1)} = S_2n + (a_{2n + 1} - a_{2n + 2}) ≫ S_2n

Ограниченная сверху, монотонно возрастающая последовательность сходится, т.е.

S_2n = S. Отметим, что нечетные частичные суммы сходятся.

S _{2n + 1} = (a₁ – a₂ + a₃ + + a_2n-1 – a_2n) + a_{2n + 1} = S _2n + a_{2n + 1} → S

↓ ↓

S 0

Следовательно, S_n = S, т. е. ряд сходится.

Определение: Ряд с членами произвольных знаков называется знакопеременным рядом.

Определение: Ряд a_n - называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд абсолютных величин (*) расходится.

4. Определение: Ряд вида a₀ + a₁ x + a₂ x² + a₃ x³ +. . . + a_n xⁿ + . . . = a_n xⁿ (1) называется степенным рядом, где a₁, a₂ , . . . ,a_n - коэффициенты ряда.

Определение: Совокупность тех значений х , при которых ряд (1) сходится называется областью его сходимости.

S_n (x) = a₀ + a₁x + . . . + a_nxⁿ - частичная сумма степенного ряда.

S = S (x) = a_nxⁿ или f(x) = a_nxⁿ - сумма ряда.

Для любой бесконечно дифференц – ой функции f(x) справедлива формула Маклорена:

f(x) = f(0) + x + x² + . . . + xⁿ + R_n (x), где

R_n (x) = + х^{n + 1} - остаточный член ряда Маклорена.

стр. 516 – 518 (самостоятельно).

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Определение. Уравнение вида (1) F (x, y, y’) =0, где х – независимая переменная, у – искомая функция, у’ - ее производная, называется дифф – ым уравнением 1-го порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у’, то его можно записать:

у’ = f(x, у) (2)

Уравнение (2) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно у’.

Определение: Решением дифф –го уравнения 1-го называется функция у = φ (х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Теорема Коши: Если в урав – ие у’ = f(x, у) функция f(x, у) и ее частная производная

f _у (x, у) определены и непрерывны в области G плоскости хОу, то какова бы ни была внутренняя т. (х₀, у₀) из G, существует ед-ое решение у = φ (х) уравнения, удовлетворяющее условию у = у₀ при х = х_0, называемых начальными.

Определение: Общим решением уравнения (2) в некоторой области G, называется функция у = φ (х, С), где С произвольная постоянная, если она является решением уравнения (2) при любом значении постоянной С и если при любых начальных условиях, таких что что (х₀, у₀) ∈ G существует единственное значение постоянной С = С₀ , такое что функция у = φ (х, С₀) удовлетворяет начальным условиям: φ (х₀, С₀) = у₀.

Определение: Частным решением уравнения (2) в некоторой обл. G, называется функция у = φ (х, С₀), которая получается из общего решения у = φ (х, С) при определенном значении постоянной С = С₀ .

Пример: Рассмотрим уравнение у’= 3х² , удовлетворяющее всем условиям теоремы Коши.

Функция у = х³ + С, где С – произвольная постоянная является общим решением данного уравнения во всей плоскости Оху.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение: Уравнение вида у’ = f₁ (x) и f₂ (у) (3), где f₁ (x) и f₂ (у) - непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для отыскания решения уравнение (3) нужно разделить в нем переменные, т.е. перепишем (3) в виде: = = f₁ (x) ∙ f₂ (у). Разделим на f₂ (у) и умножим на последнее уравнение. Получим:

= f₁ (x) отсюда интегрированием получим выражение

= + С, где С = const, которое называется общим решением уравнения (3).

Пример: Решить уравнение у’= . Здесь f₁ (x) = , f₂ (у) = у

= , = ⟹ = + С, С ≠ 0

или потенцируя находим , или у = ± ,

если ± = С, то у = Сх – общее решение этого уравнения.

Пусть требуется выделить из общего решения частное, удовлетворяющее начальным условиям х₀ =1, у₀ =2. Подставляя эти значения в общее решение, получили:

2 = С ∙ 1 ⟹ С = 2 т.о. искомое частное решение у = 2х

Линейные уравнения.

Определение: Уравнение вида (4) у’ + p(х) у = f(x), где р(х) и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифф – ым уравнением 1-го порядка.

Если f(x) = 0, то уравнение (4) называется линейным однородным уравнением. Если f(x) ≠ 0, то ур-ние (4) называется линейным неоднородным уравнением.

Для нахождения общего решения ур-ния (4) применяется метод вариации постоянной.

Сначала находим общее решение линейного однородного уравнения

у’ + p(х) у = 0, которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получили:

= - р(х) , = - +

Отсюда потенцируя, получили:

У = ± или у = , (*) где С = const.

Теперь получим общее решение линейного неоднородного уравнения.

Будем искать его в виде (*), где С будем считать непостоянной а функцией от х, т.е.

у = (*’)

Чтобы найти С(х) подставим (*’) в (4), получим:

- C(х) р(х) + р(х)С(х) = f(x)

= f(x)

Чтобы (*’) было решением (4) нужно чтобы С(х) удовлетворяло последнему рав-ву. Интегрируя его, получим:

С(х) = + С_{1 ,} где С_1, = const.

Подставляя С(х) в (*’), получим общее решение уравнения (4).

у(х) = +

Пример: Найти общее решение уравнения у’ + 3у = е^2х

Решаем сначала соответствующее однородное уравнение.

у’ + 3у = 0

= -3у, = - 3dx, = - = - 3х + ⟹ у = ±С₁е^{- 3х} общее решение однородного уравнения.

Ищем общее решение неоднородного уравнения в виде

у = С(х) е^{- 3х}

у’ = С’(х) е^{- 3х} - 3С(х) е^{- 3х}

Подставляем в исходное уравнение выражения для у и у’.

С’(х) е^{- 3х} - 3С(х) е^{- 3х} + 3С(х) е^{- 3х} = е^2х

С’(х) е^{- 3х} = е^2х

С’(х) = е^5х или dС = е^5х dx ⟹ С(х) = е^5х + С₂ , где С₂ = const.

Т.о. общее решение исходного уравнения имеет вид:

У = С(х) е^{- 3х} = ( е^5х + С₂) е^-3х ⟹ у = = е^2х + С₂ е^{- 3х}

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Определение: Уравнение вида F(x, y, y’, y”) = 0, где х – независимая переменная, у – искомая функция, y’ и y” – ее производные, называется дифференциальным уравнением 2-го порядка.

Обычно изучают уравнение, которое могут быть записаны в виде:

Y” = f(x, y, y’) (1)

Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Отметим три частных вида уравнения (1), когда решение его с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такое преобразование урав-ия (1) называется понижением порядка.

1). Уравнение вида y” = f(x). Уравнение не содержит у и y’.

Введем функцию z(x), положив z(x) = y’. Тогда z’(x) = y” и уравнение превращается в уравнение первого порядка: z’(x) = f(x) с искомой функцией z(x). Решая его, находим

z(x) =