Математика лекции. Лекции. Тема Дифференциальное интегральное исчисление

• Название: Тема Дифференциальное интегральное исчисление
• Анкор: Математика лекции
• Дата: 13.10.2021
• Размер: 184.94 Kb.
• Имя файла: Лекции.docx
• Тип: Документы; #246857
• страница: 2 из 5

1) Пусть у = определена на промежутке Х и некоторой окрестности т. содержащейся в Х.

Определение: Функция у = называется непрерывной в т. если

Это означает что:

1. Определено значение , т.е.

2. .

3. Выполняется равенство

Свойства функций непрерывных в точке.

1. Если х_{о ,} то в этой точке непрерывны также

и (если 2. Если функция у = и функция непрерывна в т. _о причем = (х₀ ), то сложная функция непрерывна в т. х_о.

3. Если функция у = непрерывна в т. то она ограничена в некоторой окрестности

т. х_о.

4. Если функция у = непрерывна в т. х_о то эта функция сохраняет знак значения

х_о) в некоторой окрестности т. х_о.

Определение: функция у = на множестве х, если она непрерывна в каждой т. этого множества т.е. ( х_{0 о}).

2) Определение: Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, то этот предел называется производной функции

у = в т.

Обозначается (х) = =

Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной: tg а =

Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке к оси о_х . Запишем уравнение касательной

у – у₀ = к (х - _о)

АВ = у – у₀ , М₀В = х - _о

tg а =



Определение: (правила дифференцирования): если функции u = u(х), = дифференцируемы в . _о, то в этой точке дифференцируемы также u + u , u : (если _о)

Причем (u + ’ = u’ +

(u ’= u’ u ’

( )’ =

3)

1. Находим (f) функции.

2. Определяем особенности функции (четность, нечетность, периодичность).

3. Точки пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

4. Исследуем поведение функции на границах области определения.(асимптоты).

1. Если = то х = а – вертикальная асимптома;

2. если = A, то у = А – горизонтальная асимптома;

3.если – kx) = b, то у = kx + b – наклонная асиптома.

5. Исследуем на монотонность и экстремизмы.

6. Исследуем на вогнутость и точки перегиба.

7. Строим схематический график.

Пример: Исследовать функцию у =

1.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической.

3. Пересечение с : х = 0, у = -2. Точка (0; -2) - точка пересечения с осью О_у.

С О_{х :} = 0;

Точек пересечения с О_х нет.



4. Наклонные асимптомы

k = = = 1

b = ( - kx) = ( - х) = -1

у = kx + b = 1 х – 1 – наклонная асимптома.

Вертикальная асимптома.

= , значит х = 1 вертикальная асимптома.

6. у’ = =

= 0; х₁ = 0, х₂ = 2



7. Строим график.



1. Определение неопределенного интеграла. Св – во.

2. Определение определенного интеграла.

3. Функции нескольких переменных. Частные производные.

1. Определение: Если функция имеет первообразную F(х), то выражение F(х) + С, где С R называется неопределенным интегралом функций и обозначается символом:



Т.о по определению = F(х) + С, где F’(х) =

Свойства неопределенного интеграла.

1. ( )’ = или d =

2. = k

3. +

4. Метод интегрирования заменой переменной

= φ’(t) dt, где х = φ (t) и все интегралы существуют.

2.Определение. Пусть функция у = определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на n частей точками a = x_о< x₁ < . . . i_{+ 1} - х_i = ∆ х_i,

мелкость разбиения.

Выберем производную точку ξ_{i ∈} и составим интегральную сумму δ =

Если существует и конечен , то он называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается

Таким образом по определению =

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл от функции ≫ 0 на отрезке численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком

Теорема. Пусть функция у = определена и непрерывна на , тогда определенный интеграл от на отрезке вычисляется по следующей формуле:

= F(b) – F(a), где F(x) первообразная функции

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница и сокращенно записывается следующим образом:

= , где F(x) – первообразная функции

= F(b) – F(a)

3. Определение. Переменная z называется функцией независимых переменных х, у в множестве М, если каждой паре (х,у) по некоторому правилу или знаку ставится в соответствие единственное значение z.

z = z = φ(x,y) z = z(х,у) и т.д.

Определение: Пусть имеем независимых переменных х₁, х₂, . . . , х _n принадлежащих множеству М. Если точку (х₁, х₂, . . . , х _n ) обозначить через N, то функцию U= (х₁, х₂, . . . , х _n) иногда называют функцией т. N.

Частные производные.

Пусть функция U= (х, у, z) определена в области D.

Возьмем точку М₀ (х₀, у₀, z₀)∈ D.

Если у = у_0, z = z_0, то функция и будет зависеть от х.

Тогда можно вычислить производную этой функции в т. х = х₀, придадим х ₀ приращение

∆ х, тогда



Эта производная называется частной производной функции (х, у, z) по х в т. (х₀, у₀, z₀).

Частную производную обозначают:

, , U’x и т.д.

Аналогично считая х и z постоянными, а у – переменной, рассмотрим предел

=

Этот предел называется частной производной функции (х, у, z) по у в т. (х₀, у₀, z₀).

Обозначается: , , U’у и т. д.

Аналогично определяется частная производная функции (х, у, z) по z в т. (х₀, у₀, z₀).

Tема 1. 4. Ряды.

1. Понятие числового ряда. Положительные ряды.

2. Признак Доламберо.

3. Абсолютная и условная сходимость рядов.

4. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

1. Определение: пусть а₁, а₂,. . . а_n, . . . бесконечная последовательность чисел. Выражение а₁+ а₂ + . . . + а_n +. . . называется числовым рядом с членами а₁, а₂,. . . а_n, . . .

а_n называется п-ым членом ряда.

- сокращенная запись числового ряда.

Определение: Для ряда а₁+ а₂ + . . . + а_n +. . . результаты последовательного суммирования образуют последовательность частичных сумм:

₁ = а₁, ₂ = а₁ + а₂ , . . ., _n = а₁ + а₂ + . . . + а_n

Если последовательность частичных сумм имеет конечный предел , то он называется суммой ряда и обозначается = а₁ + а₂ + . . . + а_n + . . . или =

Т.о. по определению =

Определение: Ряд называется сходящимся, если он имеет сумму и расходящимся в противном случае.

Теорема. (Необходимый признак сходимости числового ряда):

Если ряд сходится, то а_n = 0.

Определение: Положительным рядом называется ряд

С положительными членами а_n > 0 ( n ∈ N)^{n = 1}

Определение: Пусть дан ряд = а₁ + а₂ + . . . + а_n + а_{n + 1} + . . . (1)

Если в нем отбросить n первых членов, то ряд (2) называется ряд остаток.

2.