Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать

• Название: Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать
• Дата: 26.01.2022
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: ryady_demo.pdf
• Тип: Документы; #342516
• страница: 1 из 10

Высшая математика – просто и доступно!
Ряды – рядом!
Экспресс-курс по числовым и степенным рядам
Научитесь решать
наиболее распространённые задания по числовым и степенным
рядам
в самые короткие сроки!
Материал предназначен для студентов-заочников, и других
читателях, нуждающихся в экспресс-подготовке с нулевого (в теме) уровня.
Автор: Александр Емелин

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
2
Оглавление
1. Числовые ряды ............................................................................................................... 3 1.1. Понятие положительного числового ряда............................................................ 3 1.2. Сходимость и расходимость числовых рядов ...................................................... 5 1.3. Как найти сумму ряда? ........................................................................................... 6 1.4. Необходимый признак сходимости ряда ............................................................ 12 1.5. Признак сравнения с неравенством .................................................................... 14 1.6. Предельный признак сравнения .......................................................................... 18 1.7. Признак Даламбера .............................................................................................. 21 1.8. Радикальный признак Коши ................................................................................ 26 1.9. Интегральный признак Коши .............................................................................. 28 1.10. Знакочередующиеся ряды. Условная и абсолютная сходимость .................. 31 1.11. Признак Лейбница .............................................................................................. 32 2. Степенные ряды ........................................................................................................... 39 2.1. Понятие функционального и степенного ряда .................................................. 39 2.2. Сходимость степенного ряда. Интервал, радиус и область сходимости ........ 40 2.3. Исследование степенного ряда на сходимость .................................................. 43 2.4. Понятие суммы степенного ряда......................................................................... 54 2.5. Разложение функций в степенные ряды ............................................................. 56 2.6. Примеры разложения функций в ряд Маклорена.............................................. 57 2.7. Разложение функций в ряд Тейлора по степеням
)
(
a
x 
, где
0

a
............... 63
Решения и ответы ............................................................................................................ 66

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
3
1. Числовые ряды
Даже сам не ожидал, что вступление окажется столь коротким :)
1.1. Понятие положительного числового ряда
В общем виде числовой ряд можно записать так:


1
n
n
a
Здесь:

– математический значок суммы;
n
a –
общий член ряда
(запомните этот простой термин);
n – переменная-«счётчик».
Запись


1
n
означает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас
1

n
, затем
2

n
, потом
3

n
, и так далее – до бесконечности.
Вместо n иногда используют букву k или m .
Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля


0
n
, двойки


2
n
, либо с произвольного натурального числа.
В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто
– в виде суммы его
членов
:
5 4
3 2
1 1









a
a
a
a
a
a
n
n
– и так далее, до бесконечности.
Слагаемые
,...
,
,
,
,
5 4
3 2
1
a
a
a
a
a
– это положительные (для начала ) ЧИСЛА, среди которых могут быть нули. Отсюда и название –
положительный числовой ряд
Пример 1
Записать первые три члена ряда




1
)
1 2
(
n
n
Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.
Сначала
1

n
, тогда:
3 1
1 2



Затем
2

n
, тогда:
5 1
2 2



Потом
3

n
, тогда:
7 1
3 2



Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать только первые три члена, поэтому записываем ответ:
7 5
3
)
1 2
(
1








n
n

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
4
Пример 2
Записать первые три члена ряда




2 2
1 1
n
n
Это пример для самостоятельного решения –
разогреваемся прямо сейчас!
Свериться с образцом можно в конце книги.
Не составляет особого труда расписать и «страшный» на вид ряд:
Пример 3
Записать первые три члена ряда






1 5
)
3 4
(
1
n
n
n
n
На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член
ряда сначала
1

n
, потом
2

n
и
3

n
. В итоге:
5 9
4 5
5 3
5 1
2 5
)
3 4
(
1 3
2 1
1













n
n
n
n
Ответ оставляем в таком виде,
полученные члены ряда лучше не упрощать
, то есть не выполнять действия:
1125 2
5 9
4
,
125 3
5 5
3
,
5 2
5 1
2 3
2 1






Почему? Запись
5 9
4 5
5 3
5 1
2 3
2 1






гораздо проще и удобнее проверять преподавателю. Да и самим закономерность лучше виднА – не запутаетесь. Кстати,
результат целесообразно перепроверить, т.е. заново и ЕЩЁ ВНИМАТЕЛЬНЕЕ подставить значения «эн». Времени займёт немного, а от ошибок убережет наверняка.
Иногда встречается обратное задание
Пример 4
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
81 4
27 3
9 2
3 1




Здесь нет какого-то конкретного алгоритма решения, закономерность нужно
просто увидеть. В данном случае:
Для проверки полученный ряд


1 3
n
n
n
полезно «расписать обратно» в развернутом виде, что опять же, легко сделать устно.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
5
А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:
Пример 5
Записать сумму
21 8
14 4
7 2
5 5
5



в свёрнутом виде с общим членом ряда и выполнить проверку, расписав первые три члена.
1.2. Сходимость и расходимость числовых рядов
Любой (не только положительный) числовой ряд либо
сходится
, либо
расходится
. Что это значит?
1) Ряд


1
n
n
a
сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому
конечному числу S :
S
a
a
a
a
a






5 4
3 2
1
. Пожалуйста:
0 0
0 0
0 1








n
n
– этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного и известного примера сходящегося ряда можно привести бесконечно убывающую
геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы, например:
4 1
4 1
4 1
1 4
1 3
2 0








n
n
. Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:
q
b
S


1 1
, где
1
b – первый член прогрессии, а
1 1



q
– основание прогрессии.
В данном случае:
4 1
,
1 1


q
b
. Таким образом:
Получено конечное число, значит, ряд


0 4
1
n
n
сходится, что и требовалось проверить.
! Если вам не понятно
, как преобразована трёхэтажная дробь, обязательно
загляните в Приложение Школьные формулы!
2) Ряд


1
n
n
a
расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности:







5 4
3 2
1
a
a
a
a
a
либо её вообще не существует, как, например, у ряда:
1 1
1 1
1
)
1
(
1











n
n
– вот, кстати, и пример с отрицательными членами.
Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в Примере
1
:
7 5
3
)
1 2
(
1








n
n
. Здесь совершенно понятно, что каждый следующий член ряда – больше, чем предыдущий, поэтому





7 5
3
, следовательно, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример:
1 1
1 1
1







n
n

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
6
И одна из главных задач темы – это исследование ряда на сходимость
Чем мы и будем заниматься. Точнее, уже начали, поскольку один из очевидных способов такого исследования – это
прямое вычисление суммы ряда
. Если в результате будет получено конечное число, то ряд сходится, если бесконечность либо суммы не
существует, то ряд расходится.
1.3. Как найти сумму ряда?
Хороший вопрос. Дело за хорошим ответом :) Частный пример с геометрической прогрессией мы только что рассмотрели, и сейчас разовьём тему, познакомившись заодно с простейшими свойствами положительных рядов:
Пример 6
Найти сумму ряда











1 6
4 3
2
n
n
n
n
Решение: представим наш ряд в виде суммы двух рядов, распишу подробно:
Почему в данном случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух очевидных свойствах:
1) Если сходятся ряды
2 1
1 1
,
S
b
S
a
n
n
n
n








, то будут сходиться и ряды, составленные из их сумм / разностей:
2 1
1 2
1 1
)
(
,
)
(
S
S
b
a
S
S
b
a
n
n
n
n
n
n












. При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся рядах. В нашём примере мы
заранее знаем, что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в сумму двух рядов.
2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу k можно вынести за пределы ряда:







1 1
n
n
n
n
a
k
ka
, и это не повлияет на его сходимость или расходимость. Зачем выносить?
Чтобы «не мешалась под ногами». Но, иногда, кстати, наоборот – удобнее этого не делать.
На чистовик решение можно оформить так:
(*)
3 2
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 3
2 2
1 2
6 4
3 2
3 3
2 2
3 2
1 1
1





















































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
Значок (*)
обозначает, что решение прервано для промежуточных объяснений

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
7
Дважды используем формулу нахождения суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии:
q
b
S


1 1
, где
1
b – первый член прогрессии,
q
– её основание. У первого ряда
2 1
,
2 1
1


q
b
, у второго
3 2
,
3 2
1


q
b
, и решение быстро завершается:
2 1
1 2
1 2
(*)




Ещё раз призываю заглянуть в Приложение Школьные формулы и хорошо разобраться с упрощением многоэтажных дробей – такой акробатики будет много!
Ответ: сумма ряда
4

S
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти сумму ряда











0 1
10 3
8
n
n
n
n
Каких-либо особых изысков в прогрессиях нет, но однажды мне попался необычный ряд
2
ln
0



n
n
, который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно,
69
,
0 2
ln


q
, и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений:
26
,
3 2
ln
1 1
1 1





q
b
S
Однако школу в сторону.
Строгое определение
сходимости и расходимости ряда в теории даётся через так называемые
частичные суммы
ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы ряда
3 2
1 1









n
n
n
a
a
a
a
a
:
3 2
1 3
2 1
2 1
1
a
a
a
S
a
a
S
a
S






и особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:
n
n
a
a
a
a
S





3 2
1
Если предел частичных сумм произвольного числового ряда


1
n
n
a
равен конечному числу:
S
S
n
n



lim
, то ряд
сходятся
. Если же предел




n
n
S
lim
, либо его не существует, то ряд
расходится
. Значение S (конечное или бесконечное) называют
суммой ряда

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
8
Вернёмся к демонстрационному ряду
4 1
4 1
4 1
1 4
1 2
0









n
n
n
и распишем его частичные суммы:
n
n
S
S
S
S
4 1
4 1
4 1
1 4
1 4
1 1
4 1
1 1
2 2
3 2
1











Предел частичных сумм















n
n
n
n
S
4 1
4 1
4 1
1
lim lim
2
– есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с суммой
3 4

S
. Собственно, и сама формула
q
b
S


1 1
– это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок.
Таким образом, прорисовывается
общий алгоритм решения нашей задачи
: чтобы найти сумму ряда, нужно составить его «энную» частичную сумму
n
S и вычислить предел
n
n
S
S


 lim
. Посмотрим, как это осуществляется на практике:
Пример 8
Найти сумму ряда





1
)
3 2
)(
1 2
(
1
n
n
n
Решение: на первом шаге нужно разложить общий член ряда в сумму дробей. Для этого используем
метод неопределённых коэффициентов
. Представим общий член ряда в виде суммы дробей:
3 2
1 2
)
3 2
)(
1 2
(
1






n
B
n
A
n
n
, где
A
и
B
– пока ещё неизвестные коэффициенты
Приведём правую часть к общему знаменателю:
)
3 2
)(
1 2
(
)
1 2
(
)
3 2
(
)
3 2
)(
1 2
(
1








n
n
n
В
n
A
n
n
, после чего избавляемся от знаменателей:
B
Bn
A
An




2 3
2 1
«Развернём» уравнение в привычном порядке:
1 2
3 2




B
Bn
A
An
и отметим коэффициенты при соответствующих степенях: откуда следует система:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
9
Из 1-го уравнения выразим
A
B


и подставим во 2-е уравнение:
1 3

 A
A
, следовательно:
2 1
2 1
1 2






B
A
A
Таким образом, общий член ряда раскладывается в следующую сумму:























3 2
1 1
2 1
2 1
3 2
2 1
1 2
2 1
3 2
1 2
)
3 2
)(
1 2
(
1
n
n
n
n
n
B
n
A
n
n
a
n
Сразу же приведём трофей к общему знаменателю, выполнив тем самым проверку:






























)
3 2
)(
1 2
(
2 1
2 3
2
)
3 2
)(
1 2
(
)
1 2
(
3 2
2 1
3 2
1 1
2 1
2 1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
)
3 2
)(
1 2
(
1
)
3 2
)(
1 2
(
2 2






n
n
n
n
– в результате получен исходный общий член, значит, разложение в сумму дробей проведено успешно.
Теперь составим частичную сумму
n
n
n
a
a
a
a
a
S






1 3
2 1
. Вообще, это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось:





 




















 




















 















9 1
7 1
2 1
3 3
2 1
1 3
2 1
2 1
7 1
5 1
2 1
3 2
2 1
1 2
2 1
2 1
5 1
3 1
2 1
3 1
2 1
1 1
2 1
2 1
3 2
1
a
a
a
Как записать
n
a совершенно понятно, но вот чему равен предыдущий член
1

n
a
?
В общий член ряда











3 2
1 1
2 1
2 1
n
n
a
n
ВМЕСТО
n подставляем
1

n
:






































1 2
1 1
2 1
2 1
3 2
2 1
1 2
2 1
2 1
3
)
1
(
2 1
1
)
1
(
2 1
2 1
1
n
n
n
n
n
n
a
n
Почти все слагаемые частичной суммы магически сокращается:
Если оформляете задачу от руки, то прямо так и делайте пометки карандашом!
Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:
6 1
3 1
2 1
3 2
1 3
1
lim
2 1
lim
0


















n
S
S
n
n
n
Ответ:
6 1

S
, как вариант, можно записать так:
6 1
)
3 2
)(
1 2
(
1 1






n
n
n

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
10
Пример 9





1
)
1 5
)(
4 5
(
1
n
n
n
– вычислить сумму самостоятельно.
Примерный образец чистового оформления решения в конце книги.
Немного усложним задачу:
Пример 10
Найти сумму ряда





1 2
5 12 9
6
n
n
n
Не нужно забывать, что о том, что ряд может и сойтись. Но в таких заданиях он, как правило, сходится , решаем:
По мотивам предыдущих примеров, попробуемразложить знаменатель на множители. Для этого решим квадратное уравнение (Приложение Школьные формулы):
324 180 144 0
5 12 9
2






D
n
n
0 18 324



D
, значит, уравнение имеет различные действительные корни:
3 1
18 18 12
,
3 5
18 18 12 2
1









n
n
Раскладываем квадратный трёхчлен на множители:
)
5 3
)(
1 3
(
)
1 3
)(
5 3
(
3 1
3 5
3 3
3 1
3 5
9 5
12 9
2











 





 








 





 



n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
– множители удобно расположить в порядке возрастания.
Выполним промежуточную проверку, раскрыв скобки:
5 12 9
5 15 3
9
)
5 3
)(
1 3
(
2 2









n
n
n
n
n
n
n
, ОК, и теперь с лёгким сердцем записываем общий член ряда:
)
5 3
)(
1 3
(
6 5
12 9
6 2






n
n
n
n
a
n
Методом неопределённых коэффициентов разложим его в сумму дробей, при этом запись удобно сразу расположить «наоборот»:
)
5 3
)(
1 3
(
6 5
3 1
3






n
n
n
B
n
A
приведём левую часть к общему знаменателю:
)
5 3
)(
1 3
(
6
)
5 3
)(
1 3
(
)
1 3
(
)
5 3
(








n
n
n
n
n
B
n
A
ликвидируем нижние этажи:
6
)
1 3
(
)
5 3
(




n
B
n
A
– скобки можно не раскрывать, и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
11
Для разнообразия я разделю первое уравнение на 3 и выполню почленное сложение уравнений:
1 1
6 6
6 5
0















B
A
A
B
A
B
A
Коэффициенты получились целые и это радует:
5 3
1 1
3 1
5 3
1 3
)
5 3
)(
1 3
(
6 5
12 9
6 2














n
n
n
B
n
A
n
n
n
n
a
n
Обязательно выполним ещё одну промежуточную проверку:
)
5 3
)(
1 3
(
6
)
5 3
)(
1 3
(
1 3
5 3
)
5 3
)(
1 3
(
)
1 3
(
5 3
5 3
1 1
3 1


















n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
, ОК.
Составим энную частичную сумму и сократим всё, что можно сократить:
Как видите, в этот раз противоположные числа оказались далековато друг от друга, и поэтому на практике лучше перестраховаться и записать побольше членов ряда – чтобы наверняка понять, какие слагаемые сократятся, а какие нет. По той же причине крайне желательно выполнять пометки карандашом.
Опыт показывает, что чаще всего студенты испытывают затруднения с «хвостом» суммы. В этой связи ещё раз повторим принцип, по которому записаны члены
1 2
3
,
,



n
n
n
a
a
a
. Отчего ж не повторить?
В общий член ряда
5 3
1 1
3 1




n
n
a
n
:
– ВМЕСТО «эн» подставляем
3

n
:
4 3
1 10 3
1 5
)
3
(
3 1
1
)
3
(
3 1
3











n
n
n
n
a
n
;
– ВМЕСТО «эн» подставляем
2

n
:
1 3
1 7
3 1
5
)
2
(
3 1
1
)
2
(
3 1
2











n
n
n
n
a
n
;
– ВМЕСТО «эн» подставляем
1

n
:
2 3
1 4
3 1
5
)
1
(
3 1
1
)
1
(
3 1
1











n
n
n
n
a
n
На завершающем этапе находим сумму ряда:
10 7
5 1
2 1
5 3
1 2
3 1
5 1
2 1
lim lim
0 0






















n
n
S
S
n
n
n
Ответ:
10 7

S

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
12
Изящный ряд для самостоятельного решения:
Пример 11
Найти сумму ряда




2 2
1 2
n
n
Что делаем? 1) раскладываем дробь в сумму, 2) составляем частичную сумму
n
S ,
3) вычисляем
n
n
S
S


 lim
. Решение и ответ в конце книги.
Существуют и более трудные задания, где общий член
раскладывается в сумму
трёх дробей
(см. последние примеры), но в «массовых» работах такие вещи не в ходу.
Однако подобный трюк удаётся проделать лишь с малой толикой числовых рядов, и во многих случаях рассмотренная задача требует привлечения серьёзного математического аппарата. Так, для вычисления суммы вроде бы простенького ряда
6 1
2 1
2





n
n
используются функциональные
ряды Фурье
Поэтому на практике многие задачи ставятся в более простой формулировке – в них требуется выяснить, СХОДИТСЯ ЛИ ряд
(в принципе)
или нет.
Для этого используются специальные
признаки
, которые доказаны теоретически.
Существуют
необходимый признак сходимости ряда
,
признаки сравнения
,
признак
Даламбера
,
признаки Коши
, некоторые другие признаки. Когда какой признак
применять? Это зависит от общего члена
n
a , и сейчас мы всё разложим по полочкам:
1.4. Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю:
0
lim



n
n
a
Обратное в общем случае неверно, т.е., если
0
lim



n
n
a
, то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:
если общий член ряда не стремится к нулю
0
lim



n
n
a
, то ряд расходится.
В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела
n
n
)
1
(
lim 


. Вот сразу и доказали расходимость одного ряда!
Вернёмся к ряду




1
)
1 2
(
n
n
из Примера
1
, и вычислим предел:
0
)
1 2
(
lim lim









n
a
n
n
n
Вывод: ряд




1
)
1 2
(
n
n
расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
13
Рассмотрим другие стандартные случаи, когда нужно применять этот признак:
Пример 12
Исследовать ряд




1 3
7
n
n
n
на сходимость
Типовая формулировка задачи. В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены
одного порядка роста
, и это «прямое показание» к вычислению предела
n
n
a


lim
, поскольку он заведомо равен конечному числу, отличному от нуля:
(*)
3 7
lim lim










n
n
a
n
n
n
Для устранения неопределенности


делим числитель и знаменатель на
n :
0 7
1 3
7 1
lim
3 7
lim
(*)
0











n
n
n
n
n
n
n
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Вместо слова «ответ» я привык выделять «вердикт» жирным шрифтом или подчеркивать его карандашом, если выполняю задание от руки.
Пример 13
Исследовать на сходимость ряд






1 2
3 4
1 3
n
n
n
n
Это пример для самостоятельного решения. Здесь числитель более высокого
порядка роста, чем знаменатель, и поэтому можно сразу сказать, что
0
lim



n
n
a
Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ ряд,
то в первую очередь проверяем
(мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу рассмотренных примеров.
Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде


1
n
n
или


1 3
n
n
. Также расходятся ряды, у которых порядок роста числителя больше либо равен, чем порядок роста знаменателя (Примеры
12
-
13
).
Что делать, если
0
lim



n
n
a
? Как я уже отметил выше, если общий член ряда
стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться! И поэтому необходимого признака оказывается не
достаточно . В таких случаях нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости, и о них совсем скоро, после важного знакомства….

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
14
Знакомьтесь:


1 1
n
n
Этот ряд называется
гармоническим рядом
. Легко видеть, что
0 1
lim lim






n
a
n
n
n
,
НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится:











5 1
4 1
3 1
2 1
1 1
1
n
n
Пожалуйста, запомните!
Это «прима-балерина» числовых рядов. Вместе со своим балетом под названием
обобщенный гармонический ряд
:
… «отсчёт» может начинаться с любого номера, например, с
2

n
).
1) Данный ряд расходится при
1


Например, расходятся ряды


1 3
1
n
n
,


1 1
n
n
,


1 1
n
n
2) Данный ряд сходится при
1


Например, сходятся ряды


1 3
1
n
n
,


1 2
1
n
n
,


1 3
1
n
n
. Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма
, например, ряда


1 2
1
n
n
, важен сам факт, что он сходится
Эта «пачка» «эталонных» интегралов уже исследована в теории и активно используется на практике, то есть, при решении практических примеров можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда


1 1
n
n
или сходимость ряда


1 3
1
n
n
1.5. Признак сравнения с неравенством
Этот признак можно разделить на две части.