Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать

• Название: Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать
• Дата: 26.01.2022
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: ryady_demo.pdf
• Тип: Документы; #342516
• страница: 5 из 10

Вывод: исследуемый ряд сходится абсолютно.
Пример 41
Исследовать на сходимость ряд





1
)!
1 2
(
)
1
(
n
n
n
Это пример для самостоятельного решения. Вроде бы прост, да не очень ;)
В ряде случаев следует проявить аккуратность с обоснованием монотонности убывания. В частности, для ряда
!
4 1
!
3 1
!
2 1
1 1
!
)
1
(
0










n
n
n
выполнено условие
нестрогой монотонности
n
n
a
a

1
, т.к. первые два члена равны по модулю, и поэтому при оформлении решения следует поставить знак нестрого неравенства:
!
1
)!
1
(
1
n
n


– для любого номера «эн».
Более того, члены некоторых рядов могут даже поначалу возрастать!
Пример 42
Исследовать сходимость ряда







1 4
1
!
7
)
1
(
n
n
n
n
n
Очевидно, что ряд знакочередуется, но вот предел:
?!
!
7
lim lim
4







n
n
a
n
n
n
n
– чему он равен? Дело в том, что не существует стандартных приёмов для решения подобных пределов. ЧТО на бесконечности растёт
быстрее – числитель или знаменатель? Если числитель
4 7
n
n

растёт быстрее факториала, то





!
7
lim
4
n
n
n
n
. Если факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль:
0
!
7
lim
4




n
n
n
n
. А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?
Распишем несколько первых модулей:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
37 7
!
1 1
7 4
1 1



a
2 784
!
2 2
7 4
2 2



a
6 27783
!
3 3
7 4
3 3



a
…
Создается стойкое впечатление, что





!
7
lim
4
n
n
n
n
, но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?
Обратимся к теории математического анализа:
– Факториал растёт быстрее, чем показательная последовательность
)
1
( 
a
a
n
, иными словами:
0
!
10
lim



n
n
n
или




n
n
n
10
!
lim
. Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста.
– Факториал растёт быстрее, чем степенная последовательность
)
0
(



n
или многочлен, иными словами:
0
!
lim
10



n
n
n
или




10
!
lim
n
n
n
. Вместо
10
n
можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. То есть и здесь факториал более высокого порядка роста.
– Факториал растёт быстрее произведенияпоказательной
)
1
( 
a
a
n
и степенной
)
0
(



n
последовательностей (наш случай). А также быстрее произведения и бОльшего количества таких множителей
– Показательная последовательность
)
1
( 
a
a
n
растёт быстрее, чем степенная последовательность
)
0
(



n
, например:
0 2
lim
10



n
n
n
,




100 3
lim
n
n
n
А есть ли что-нибудь «круче» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность
n
n
растёт быстрее, чем !
n . На практике встречается редко, но информация лишней не будет.
Таким образом, наше решение (вы о нём ещё помните? :)) можно записать так:
0
!
7
lim lim
4







n
n
a
n
n
n
n
– члены ряда монотонно убывают по модулю (так как !
n более высокого порядка роста, чем
4 7
n
n

). Значит, ряд сходится по признаку Лейбница.
Достаточно! О том, что члены начинают убывать лишь с некоторого номера
«эн», лучше благоразумно умолчать – по той причине, что найти этот номер не так-то просто, а лишние вопросы вам ни к чему ;) Ещё труднее показать монотонность убывания, поэтому просто констатируем этот факт. Здесь вас с высокой вероятностью «простят».

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
38
Исследуем ряд, составленный из модулей членов:








1 4
1
!
7
n
n
n
n
n
n
a
А тут уже работает старый добрый признак Даламбера
:
1 0
)
1
(
7
lim
)
1
(
3 2
1 7
3 2
1 7
7 1
1
lim
!
7
)!
1
(
)
1
(
7
lim lim
4 0
4 4
1 1



















































n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Таким образом, ряд


1
n
n
a
сходится.
Вывод: исследуемый ряд сходится абсолютно.
Разобранный пример можно решить другим способом, а именно сразу исследовать сходимость ряда:








1 4
1
!
7
n
n
n
n
n
n
a
Используем признак Даламбера:
…
только что печатал
…
Таким образом, ряд


1
n
n
a
сходится, и по соответствующей теореме, сходится и ряд











1 4
1 1
!
7
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
a
Вывод: исследуемый ряд сходится абсолютно.
Но напоминаю, что при втором способе решения есть риск, что преподаватель не оценит хитро… смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует. Ввиду сложности применения признака Лейбница.
Сладкая парочка для закрепления материала:
Пример 43
Исследовать сходимость числовых рядов а)





1 2
1 3
)
1
(
n
n
n
n , б)







1 1
)
1
ln(
)
1
(
)
1
(
n
n
n
n
Под буквой «а» ряд из той же оперы, но попроще (перечитайте справку выше)

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
39
2. Степенные ряды
Они подкрались незаметно :)
2.1. Понятие функционального и степенного ряда
Обычный числовой ряд
, которыми мы только что занимались, состоит из чисел:
5 4
3 2
1 1









a
a
a
a
a
a
n
n
Все члены ряда
,...
,
,
,
,
5 4
3 2
1
a
a
a
a
a
– это ЧИСЛА.
Функциональный
же
ряд
состоит из ФУНКЦИЙ:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
5 4
3 2
1 1









x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
n
n
В
общий член
)
(x
u
n
такого ряда помимо многочленов, факториалов и других подарков непременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так:





1 2
)
1
(
sin
n
n
n
x
Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:
2 6
sin
2 5
sin
2 4
sin
2 3
sin
2 2
sin
2
)
1
(
sin
5 4
3 2
1 1
















x
x
x
x
x
n
x
n
n
Как видите, все члены функционального ряда
),...
(
),
(
),
(
),
(
),
(
5 4
3 2
1
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
– это
функции.
Наиболее популярная разновидность функционального ряда – это
степенной ряд
Членами степенного ряда являются целые положительные степени (0, 1, 2, 3, …) переменной x либо двучлена
)
(
)
(
const
x




, умноженные на числовые коэффициенты
n
c :
3 3
2 2
1 0
0








x
c
x
c
x
c
c
x
c
n
n
n
)
(
)
(
)
(
)
(
3 3
2 2
1 0
0
















x
c
x
c
x
c
c
x
c
n
n
n
, и, если константа
0


– отрицательна, то обычно пишут:




0
)
(
n
n
n
x
c
 .
Как вы правильно догадываетесь,
n
c – это старая знакомая «начинка» числовых рядов
, зависящая только от «эн».
В практических заданиях многие степенные ряды «начинаются» с 1-го члена, и поэтому далее я буду часто использовать обозначения











1 1
1
)
(
,
)
(
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
c
x
c
x
c



© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
40
Простейшие примеры:
5 4
3 2
5 4
3 2
1









x
x
x
x
x
n
x
n
n
5
)
2
(
2 4
)
2
(
2 3
)
2
(
2 2
)
2
(
2
)
2
(
2
)
2
(
2 2
5 5
2 4
4 2
3 3
2 2
2 1
2















x
x
x
x
x
n
x
n
n
n
В общем случае степенной ряд содержит и нулевой член
0
c (число), причём, иногда его приходится записывать «белой вороной» за пределами суммы. Например:
5 4
3 2
1 1
5 4
3 2
1











x
x
x
x
x
n
x
n
n
, ибо с
0

n
нумерацию тут не начать.
Кроме того, степени могут «идти с пропусками»:
!
5
!
4
!
3
!
2
!
10 8
6 4
2 1
2









x
x
x
x
x
n
x
n
n
3
)
1
(
5 3
)
1
(
4 3
)
1
(
3 3
)
1
(
2 3
)
1
(
3
)
1
(
5 13 4
10 3
7 2
4 1
2 3





















x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
Это тоже степенные ряды (при желании их можно переписать в стандартном
виде – с отсутствующими степенями и нулевыми коэффициентами).
2.2. Сходимость степенного ряда. Интервал, радиус и область сходимости
Не нужно пугаться такого обилия терминов, они вытекают друг из друга и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.
Прошу любить и жаловать степенной ряд


1 2
n
n
n
x
Переменная x может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:
Если
1

x
, то







1 2
1 2
1 1
n
n
n
n
n
Если
1


x
, то




1 2
)
1
(
n
n
n
Если
3

x
, то


1 2
3
n
n
n
Если
5 1


x
, то




















1 2
1 2
1 2
5
)
1
(
5
)
1
(
5 1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
И так далее.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
41
Очевидно, что, подставляя в
2
n
x
n
то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые из них будут сходиться, а некоторые расходиться.
И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд


1 2
n
n
n
x
будет сходиться. Такое множество и называется
областью сходимости ряда
Для любого степенного ряда
(временно отвлекаемся от конкретного примера)
возможен один из трёх случаев:
1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором конечном интервале
)
;
(
b
a
Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервала
)
;
(
b
a
и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд
. Интервал
)
;
(
b
a
, как легко догадаться, называют
интервалом
сходимости
степенного ряда.
Радиус сходимости
, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:
2
a
b
R


Пусть, например,
)
2
;
4
(


– это интервал сходимости некоего степенного ряда.
Тогда геометрически ситуация выглядит так:
Радиус же сходимости этого степенного ряда равен:
1 2
4 2
2
)
4
(
2








R
Широко распространен тривиальный вариант, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:
Здесь интервал сходимости степенного ряда:
)
3
;
3
(
, радиус сходимости ряда:
3 2
6 2
)
3
(
3





R

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
42
А что будет происходить на концах интервала
)
;
(
b
a
? В точках
a
x  ,
b
x  степенной ряд (тот или иной) может как сходиться, так и расходиться, и для выяснения этого вопроса нужно проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об
области сходимости ряда
:
– Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то
область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости:
)
;
(
b
a
– Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала (хотя
бы
условно
) и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал


b
a;
или


b
a;
– Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала (хотя
бы условно), то область сходимости ряда представляет собой отрезок
 
b
a;
То есть,
область сходимости
ряда – это его интервал абсолютной сходимости + концы интервала, на которых ряд сходится абсолютно или условно.
С двумя другими случаями всё короче и проще:
2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении
x . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получится абсолютно сходящийся числовой ряд
Интервал сходимости
и