Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать

• Название: Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать
• Дата: 26.01.2022
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: ryady_demo.pdf
• Тип: Документы; #342516
• страница: 7 из 10

Пример 48
Найти область сходимости ряда






1 1
10
)
2
(
)!
2
(
n
n
n
x
n

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
49
Наверное, у некоторых возникло ощущение, что «тут всё понятно», но это ощущение обманчиво, и поэтому со всей серьёзностью изучаем оставшиеся примеры параграфа – впереди нас ждёт важная информация и новые технические приёмы:
Пример 49
Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала









1 1
5
)
1 3
(
)
2
(
)
1
(
n
n
n
n
n
x
Решение: в общий член степенного ряда входит множитель
1
)
1
(


n
, обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела
)
(
)
(
lim
1
x
u
x
u
n
n
n



мы убираем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».
Найдём интервал сходимости:




5 2
2 3
1 3
lim
5 2
2 3
1 3
lim
5 2
5 1
3
)
2
(
5 1
)
1
(
3
)
2
(
lim
)
(
)
(
lim
0 0
1 1
1





































x
n
n
x
n
n
x
n
x
n
x
x
u
x
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
И коль скоро, получено конечное значение, то составляем стандартное неравенство:
1 5
2 

x
Слева нам нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 5:
5 2 

x
Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:
5 2
5




x
В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:
2 5
2 2
2 5







x
Таким образом:
3 7



x
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
50
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) Подставляем значение
7


x
в наш степенной ряд









1 1
5
)
1 3
(
)
2
(
)
1
(
n
n
n
n
n
x
, распишу максимально подробно:
)
1 3
(
)
1
(
5
)
1 3
(
5
)
1
(
)
1
(
5
)
1 3
(
)
5
(
)
1
(
5
)
1 3
(
)
2 7
(
)
1
(
1 1
1 1
1 1
1 1









































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Будьте предельно внимательны!
Множитель
1 2
)
1
(


n
не обеспечивает
знакочередование, при любом натуральном «эн»:
1
)
1
(
1 2




n
. Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, так как он (или любая другая константа) никак не влияют на сходимость или расходимость числового ряда.
И ещё раз заметьте, что после подстановки
7


x
в общий член степенного ряда у нас сократился показательный множитель
n
5
. Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.
Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд




1 1
3 1
n
n
. И сейчас я предлагаю оценить всё изящество
«обычного» признака сравнения
. Для любого натурального n справедливо неравенство
n
n
3 1
3


, а меньшим знаменателям соответствуют бОльшие дроби:
n
n
3 1
1 3
1


, значит, по признаку сравнения, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом


1 1
3 1
n
n
Годятся здесь и предельный
, и интегральный признаки, но таки они длиннее!
2) Исследуем правый конец интервала:


















1 1
1 1
1 3
)
1
(
5
)
1 3
(
)
2 3
(
)
1
(
3
n
n
n
n
n
n
n
n
x
, и для полученного знакочередующегося ряда выполняем рутинную проверку:
0 1
3 1
lim lim







n
a
n
n
n
– члены ряда убывают по модулю, причём каждый следующий член по модулю:
2 3
1 1
)
1
(
3 1
1






n
n
a
n
меньше предыдущего
1 3
1


n
a
n
, т.е. убывание монотонно.
Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница
, однако лишь условно, так как








1 1
1 3
1
n
n
n
n
a
– расходится (по доказанному).
Ответ:
3 7



x
– область сходимости исследуемого степенного ряда, при
3

x
ряд сходится условно.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
51
Пример 50
Найти область сходимости ряда






1 3
1 2
)
3
(
2
n
n
n
n
x
Это пример для самостоятельного решения. И не отвлекаясь, на «одном дыхании» разбираем ещё пару задач:
Пример 51
Найти область сходимости






1 5
2 3
9
)
1
(
n
n
n
n
x
n
Решение: сначала найдем интервал сходимости ряда:














































































5 5
5 5
2 5
5 2
5 2
5 2
2 0
5 2
5 1
)
1
(
2 1
3
)
1
(
3
lim
9
)
1
(
3
)
1
(
9 3
)
1
(
lim
3
)
1
(
9 9
)
1
(
3 9
)
1
(
)
1
(
1 1
lim
3 9
)
1
(
3
)
1
(
9
)
1
)(
1
(
lim
)
(
)
(
lim
n
n
n
n
x
n
n
x
n
x
n
x
x
n
n
x
n
n
x
n
x
u
x
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
9
)
1
(
3 1
1 3
1
lim
9
)
1
(
3
)
1
(
3
lim
9
)
1
(
2 0
5 5
0 0
5 2
5 5
5 5
2





















































x
n
n
n
x
n
n
n
n
x
n
n
Последний предел можно оформить и
«турбо»-методом
:
1 3
)
1
(
3
lim
1 5
5















n
n
n
, пояснив, что числитель и знаменатель одного порядка роста.
Итак, ряд сходится при
1 9
)
1
(
2


x
. Умножаем обе части неравенства на 9:
9
)
1
(
2


x
и извлекаем из обеих частей корень, вспоминая старое школьное
a
a 
2
:
9
)
1
(
2


x
3 1 

x
, ну вот мы и вышли на знакомую тропинку.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
52
Раскрываем модуль:
3 1
3




x
и прибавляем ко всем частям единицу:
1 3
1 1
1 3







x
4 2



x
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) Если
2


x
, то получается следующий числовой ряд:




























1 5
1 5
1 5
2 1
5 2
3 3
9 9
3 9
)
3
(
3 9
)
1 2
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Множитель
n
2
)
1
(
бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении
«эн»
1
)
1
(
2


n
. И в третий раз обращаю внимание на то, что в результате подстановки сократились
n
9
, а значит, интервал сходимости найден правильно.
По «первой оглядке» для полученного числового ряда




1 5
3
n
n
n
следует применить предельный признак
. Но какой ряд подобрать для сравнения? Об этой методике я уже рассказывал в начале книги, повторим:
Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого:
2 5
5
n
n 
. Таким образом, старшая степень знаменателя равна
2 5
. Старшая степень числителя, очевидно, 1.
Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя:
2 3
1 2
5


Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом







1 3
1 2
3 1
1
n
n
n
n
, который сходится. Используем предельный признак сравнения
:
1 3
1
lim
3 1
lim lim
0 5
5 3













n
n
n
n
b
a
n
n
n
n
n
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд




1 5
3
n
n
n
сходится вместе с рядом


1 3
1
n
n
…но захочется ли вам «городить» такое решение?

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
53
Для любого n справедливо неравенство
5 5
3
n
n


, а бОльшим знаменателям соответствуют меньшие дроби, следовательно:
3 5
5 1
3
n
n
n
n
n



, значит, по признаку сравнения
, исследуемый ряд сходится вместе с рядом


1 3
1
n
n
. Всё!
Точнее, почти всё:)
2) Осталось выяснить, что происходит на другом конце интервала.
При
3 9
)
3
(
3 9
)
1 4
(
4 1
5 2
1 5
2















n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
– сходится, только что отмучились

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
4 2



x
Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения:
Пример 52





1 2
1 2
n
n
n
n
x
– наверное, вы поняли, что нужно сделать  Но, кроме шуток, иногда текст и правда не пишут.
И в заключение параграфа остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы опирались на признак Даламбера и составляли предел
)
(
)
(
lim
1
x
u
x
u
n
n
n



. Всегда ли надо делать именно так? Нет, далеко не всегда. Нередко интервал сходимости рассчитывают с помощью предела
)
(
)
(
lim
1
x
u
x
u
n
n
n



, но чтобы вас не путать, я намеренно разобрал единственный вариант.
Кроме того, в некоторых случаях невероятно выгодно привлечь на помощь радикальный признак Коши и составить предел, при этом алгоритм решения остаётся точно такими же! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» извлекается корень «энной» степени как, например, для ряда, а дальше всё как «по Даламберу».
Ну а теперь лучше немного отвлечься, чтобы со свежим «незамыленным» взглядом перейти к заключительной части курса.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
54
2.4. Понятие суммы степенного ряда
Начнем подходить к теме с воспоминаний. Как мы помним, любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд


1
n
n
a
сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу:
S
a
a
a
a
a






5 4
3 2
1
Далее мы рассматривали уже не числовые, а функциональные ряды, точнее говоря, их частную разновидность. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился:


1 2
n
n
n
x . В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при
1 1



x
. И возникает вопрос: если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся ряды функциональные?
Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ.
В частности, суммой степенного ряда


1 2
n
n
n
x
в его области сходимости
1 1



x
является вполне определённая функция
)
(x
f
:
)
(
5 4
3 2
2 5
2 4
2 3
2 2
x
f
x
x
x
x
x






Особо подчёркиваю, что данный факт справедлив только в найденной области
1 1



x
, вне этого промежутка степенной ряд


1 2
n
n
n
x
будет расходиться, т.е. при любом
1

x
сумма соответствующего числового ряда будет бесконечна.
Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Но прежде откройте или распечатайте Приложение Разложение функций в степенные
ряды.
Это рабочий справочный материал
, в который придётся часто заглядывать.
Я выпишу разложение синуса в степенной ряд для простейшего случая
x


:
)!
1 2
(
)
1
(
!
7
!
5
!
3
sin
1 2
1 7
5 3












n
n
x
n
x
x
x
x
x
и область сходимости этого ряда:





x
(по какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).
Теперь вспоминаем школьный график синуса
x
y
sin

:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
55
Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел….
Но красота только начинаются! Если начертить график бесконечного многочлена
)!
1 2
(
)
1
(
!
7
!
5
!
3 1
2 1
7 5
3












n
n
x
n
x
x
x
x
y
, то получится… та же самая синусоида!
Говорят, что степенной ряд







1 1
2 1
)!
1 2
(
)
1
(
n
n
n
n
x
сходится к функции
x
y
sin

, причём сходится при любом «икс». Почему при любом? Если исследовать этот степенной ряд на сходимость
(чем мы недавно занимались), то выяснится, что его область сходимости:





x
А что значит вообще «сходится»? По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если мы возьмём первые три члена ряда
!
5
!
3 5
3
x
x
x
y



и начертим график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду. А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда:
!
199
!
7
!
5
!
3 199 7
5 3
x
x
x
x
x
y






и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать (на достаточно длинном промежутке). Чем больше членов ряда – тем лучше приближение. И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд







1 1
2 1
)!
1 2
(
)
1
(
n
n
n
n
x
сходится к функции
x
y
sin

при любом значении «икс».
Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса:
1 2
)
1
(
7 5
3 1
2 7
5 3











n
x
x
x
x
x
arctgx
n
n
Область сходимости ряда:
1 1



x
Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена
1 2
)
1
(
7 5
3 1
2 7
5 3











n
x
x
x
x
x
y
n
n