Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать

• Название: Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать
• Дата: 26.01.2022
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: ryady_demo.pdf
• Тип: Документы; #342516
• страница: 6 из 10

область
сходимости
в данном случае совпадают:
)
;
(



. Радиус сходимости, очевидно,


R
. Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.
3) Степенной ряд сходится абсолютно в единственной точке, а именно: в точке
0

x
для ряда


0
n
n
n
x
c
; в точке


x
для ряда




0
)
(
n
n
n
x
c
 ; или (вариация) в точке



x
, если ряд записан в виде




0
)
(
n
n
n
x
c

Отдельной взятая точка представляет собой интервал нулевой длины (нулевой интервал), и поэтому интервал и область сходимости этих рядов равны нулю. Радиус сходимости, естественно, тоже нулевой:
0

R
Других вариантов нет.
Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал
)
;
(
b
a
, как вариант, полуинтервал или отрезок.
Следует отметить, что для произвольного функционального ряда, эта классификация в общем случае является неверной.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
43
2.3. Исследование степенного ряда на сходимость
Один из наиболее распространённых методов исследования опирается на признак
Даламбера для произвольных числовых рядов (косвенно освещен в данной книге), и, не вдаваясь в теоретические выкладки, я приведу технический алгоритм действий:
Сначала находим интервал сходимости ряда. Чтобы это сделать, нужно вычислить предел
)
(
)
(
)
(
lim
1
x
v
x
u
x
u
n
n
n




и посмотреть, что получилось:
1) если предел конечен, и отличен от нуля, то интервал сходимости отыскивается из неравенства
1
)
(

x
v
. Далее исследуются концы найденного интервала;
2) если предел равен нулю, то ряд сходится при любом
)
;
(




x
и мы сразу делаем вывод, что область сходимости ряда:





x
;
3) если предел равен бесконечности, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ, что ряд сходится в единственной точке.
На практике чаще встречается 1-й случай, и мы возвращаемся к нашему демонстрационному ряду:
Пример 44
Найти область сходимости степенного ряда


1 2
n
n
n
x
Задание часто формулируют эквивалентно: «Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала».
Решение: с помощью признака Даламбера (подразумевается признак для числовых
рядов) найдём интервал сходимости ряда. Техника вычисления этого предела нам уже бОльшей частью знакома:
x
x
n
n
x
n
n
n
n
n
x
n
n
n
x
n
x
n
x
x
u
x
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n

































1 1
2 1
1
lim
1 2
lim
1 2
lim
)
1
(
lim
)
(
)
(
lim
0 2
0 2
2 2
2
)
5
(
2 2
)
4
(
)
2
(
2 2
1
)
1
(
1
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
44
(4) Сокращаем числитель и знаменатель на
n
x
и выносим оставшийся x за знак предела, причём, выносим его вместе со знаком модуля. Почему со знаком модуля? Дело в том, что выражение под знаком предела
1 2
lim
2 2




n
n
n
n
и так положительно, а вот «икс» может принимать отрицательные значения. Поэтому модуль относится именно к нему.
Кстати, почему x вообще можно вынести за знак предела? Потому что
«динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко не холодно.
(5) Устраняем неопределенность


стандартным способом.
Теперь интерпретируем полученный результат. Так как в пределе получено конечное ненулевое значение, то интервал сходимости найдём из неравенства:
1

x
В левой части неравенства строго результат вычисления предела, а в правой части неравенства – строго единица.
Теперь раскрываем модуль по школьному правилу
a
x
a
a
x





:
1 1



x
– интервал сходимости (причём, абсолютной) исследуемого степенного ряда. Что это означает? Это означает, что если мы возьмём произвольное значение «икс» из этого интервала и подставим его в


1 2
n
n
n
x , то у нас получится абсолютно сходящийся числовой ряд
Во второй части задания нужно исследовать сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:
1) При
1


x
получаем ряд




1 2
)
1
(
n
n
n
В предыдущей главе я поленился исследовать этот знакочередующийся ряд, но, видимо, судьба :) Добиваем признак Лейбница
:
0 1
lim lim
2






n
a
n
n
n
– члены ряда убывают по модулю.
Для всех натуральных номеров справедливо неравенство
2 2
)
1
(
n
n


, а бОльшим знаменателям соответствуют меньшие дроби:
2 2
1
)
1
(
1
n
n


, таким образом, каждый следующий член по модулю меньше предыдущего:
n
n
a
a

1
, т.е. убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
45
Далее исследуем ряд, составленный из модулей:







1 2
1 1
n
n
n
n
a
– сходится (см. обобщенный гармонический ряд
).
В тяжелом случае, когда преподаватель потребует доказать сходимость
«эталонного» ряда, удобно использовать интегральный признак Коши
. Решение получается ну совсем простецкое:
1
)
1 0
(
1 1
lim
1
lim
0 1
1 2




























b
x
x
dx
b
b
b
– конечное число, значит, ряд


1 2
1
n
n
сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Точно так же, к слову, легко проверяется и любой другой «эталонный» ряд.
Вывод: полученный числовой ряд




1 2
)
1
(
n
n
n
сходится абсолютно.
2) Теперь рассматриваем правый конец интервала сходимости – подставляем значение
1

x
в наш степенной ряд


1 2
n
n
n
x
:







1 2
1 2
1 1
n
n
n
n
n
– сходится (по доказанному).
! Напоминаю
, что любой положительный сходящийся числовой ряд является
абсолютно сходящимся. Может, не всем понятен этот момент, проведу формальное
рассуждение:
– для ряда







1 2
1 1
n
n
n
n
a
составим соответствующий ряд из модулей:







1 2
1 1
n
n
n
n
a
. Так как все члены положительны, то модуль можно убрать:


1 2
1
n
n
– а
этот ряд сходится. Таким образом, ряд


1
n
n
a
является сходящимся, то есть, ряд


1
n
n
a
сходится абсолютно.
Таким образом, степенной ряд


1 2
n
n
n
x
сходится, причём абсолютно, на обоих концах найденного интервала.
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
1 1



x
Как вариант, можно записать так: ряд сходится, если


1
;
1


x
. Абсолютность сходимости обычно подразумевается по умолчанию.
Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере
1

R

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
46
Закрепляем алгоритм (не пропускать!!!):
Пример 45
Записать первые три члена ряда





0 1
3
n
n
n
n
x
и найти его область сходимости
Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера (но не
ПО признаку! – для функциональных рядов такого признака не существует):
3 2
1 1
1
lim
3 2
1
lim
3 1
3 1
1 3
lim
)
(
)
(
lim
0 0
1 1
1
x
n
n
x
n
n
n
n
x
n
x
n
x
x
u
x
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n









































В результате опять получен не ноль и не бесконечность, а значит, ряд сходится, при
1 3

x
(составили стандартное неравенство
1
)
(

x
v
).
Теперь слева нам нужно оставить только x , для этого умножаем обе части неравенства на 3:
3

x
И раскрываем модуль по школьному правилу
a
x
a
a
x





:
3 3



x
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала.
1) При










0 1
3
)
3
(
3
n
n
n
n
x
Обратите внимание
, что после подстановки
3


x
в степенной ряд





0 1
3
n
n
n
n
x
у нас сократилась показательная последовательность
n
3
. Это верный признак того, что
мы правильно нашли интервал сходимости.
Полученный числовой ряд знакочередуется, его члены убывают по модулю:
0 1
1
lim lim







n
a
n
n
n
, причём, убывают монотонно:
– для всех номеров


,
3
,
2
,
1
,
0

n
Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
47
Исследуем ряд, составленный из модулей:








1 0
1 1
n
n
n
n
a
– очевидно, что этот ряд расходится вместе с
«эталонным» рядом


1 1
n
n
, но оформление даже такого простого решения никто не отменял.
С точки зрения лаконичности наиболее выгоден признак с неравенством
, но тут он не годится, т.к. нужное нам неравенство не выполнено:
И поэтому используем предельный признак
:
1 1
1
lim
1
lim
1 1
1
lim lim
0




































n
n
n
n
n
b
a
n
n
n
n
n
n
– получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд


0
n
n
a
расходится вместе с рядом


1 1
n
n
Здесь, кстати, легко срабатывает и интегральный признак
Таким образом, ряд





0 1
)
1
(
n
n
n
сходится условно.
2) И «мыльная опера» первого пункта оказывается не напрасной, поскольку со вторым концом интервала результат получается «автоматом»:
При












0 0
1 1
1 3
3 3
n
n
n
n
n
n
x
– расходится.
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
3 3



x
; при
3


x
ряд сходится условно. И, да – первые три члена ряда:
– их я люблю записывать сразу в ответ, чтобы дважды не «марать бумагу».
В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала
)
3
;
3
(
степенной ряд сходится
абсолютно (что подразумевается по умолчанию), а в точке
3


x
, как выяснилось –
условно, и эту особенность желательно указать в ответе.
Пример 46
Найти интервал сходимости степенного ряда





1 2
)
1
(
7
n
n
n
n
x
n
и исследовать его сходимость на концах найденного интервала. Записать первые три члена ряда.
Это пример для самостоятельного решения.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
48
Теперь рассмотрим другие, более редкие случаи:
Пример 47
Найти область сходимости ряда:







1 1
2 3
)!
1
(
)
4
(
n
n
n
x
n
Решение: не поленюсь снова закомментировать каждый шаг:
0 0
)
4
(
2 1
lim
)
4
(
)
2
(
1 1
1
lim
)
4
(
1
lim
)!
2
(
)
4
(
)!
1
(
)
4
(
)
1
(
lim
)!
1
(
)
4
(
)!
1 1
(
)
4
(
)
1
(
lim
)
(
)
(
lim
2 0
2 3
0 2
)
4
(
3
)
3
(
1 2
3 3
2 3
)
2
(
1 2
3 3
2 3
)
1
(
1

































 








































x
n
x
n
n
x
n
n
n
x
n
n
x
n
n
x
n
n
x
n
x
u
x
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Кубы
3 3
,
)
1
(
n
n 
, по правилу действий со степенями, подводим под единую степень. В числителе проявляем смекалку:
1 2
2 2
1 2
3 2
)
4
(
)
4
(
)
4
(
)
4
(











n
n
n
x
x
x
x
, т.е. раскладываем на множители ТАК, чтобы на следующем шаге сократить дробь на
1 2
)
4
(


n
x
. Факториалы расписываем подробно.
(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что
0 1

n
. В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель
2
)
4
( 
x
выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что
2
)
4
( 
x
и так принимает неотрицательные значения при любом «икс».
В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный
ответ: ряд сходится при
)
;
(




x
А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить.
Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается! И этим подарком грех не воспользоваться! – решаем самостоятельно: