Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать

• Название: Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать
• Дата: 26.01.2022
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: ryady_demo.pdf
• Тип: Документы; #342516
• страница: 3 из 10

Пример 22
Исследовать на сходимость ряд





1 2
4 1
n
n
n
n
Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть
n
4 , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение затем комментарии:
Используем признак Даламбера:
)
5
(
2 2
)
4
(
)
3
(
2 1
2
)
2
(
2 1
2
)
1
(
1 1
1 3
lim
4 1
)
1
(
4
)
1
)
1
(
)
1
((
4
lim
4 1
4 1
)
1
(
)
1
(
lim lim












































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1 4
1 1
4 1
1 1
1 1
3 1
lim
4 1
1 1
3
lim
4 1
)
7
(
0 2
0 0
2 0
)
6
(
2 2
2 2














































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
, значит, исследуемый ряд сходится.
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему:
n
n
a
a
1

. Из условия мы видим, что общий член ряда
n
n
n
n
a
4 1
2



. Для того, чтобы получить следующий член ряда нужно ВМЕСТО n подставить
1

n
:
1 2
1 4
1
)
1
(
)
1
(







n
n
n
n
a
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.
(4) Сокращаем на
n
4 . Константу
4 1
выносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.
(5) Неопределенность


устраняется стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что
1 4
1 
с выводом о том, что, по признаку
Даламбера исследуемый ряд сходится.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
23
В рассмотренном примере в общем члене ряда у нас встретился многочлен 2-й степени. Что делать, если там многочлен 3-й, 4-й или более высокой степени? Дело в том, что если дан многочлен более высокой степени, то возникнут трудности с раскрытием скобок. В этом случае можно применять «турбо»-метод решения. Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость
Пример 23







1 2
4
)
1
(
4 3
n
n
n
n
n
Сначала решение, потом комменты. Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
(1) Составляем отношение
n
n
a
a
1

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Рассмотрим трёхчлен
3
)
1
(
)
1
(
2 4




n
n
в числителе и трёхчлен
3 2
4

 n
n
в знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень:
4
)
1
( 
n
, чего делать совершенно не хочется. А для тех, кто не знаком с
биномом Ньютона, эта задача окажется ещё более трудной. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки
3
)
1
(
)
1
(
2 4




n
n
, то получим старшую степень
4
n
. Внизу у нас такая же старшая степень:
4
n
. По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на
4
n
у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены
3
)
1
(
)
1
(
2 4




n
n
и
3 2
4

 n
n
– одного порядка роста. Таким образом, вполне можно обвести отношение
3 3
)
1
(
)
1
(
2 4
2 4






n
n
n
n
простым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов:
1

n
и
2

n
, они тоже одного порядка роста, и их отношение стремится к единице.
На самом деле сию «халтуру» можно было провернуть и в предыдущей задаче, но для многочлена 2-й степени такое решение смотрится всё-таки как-то несолидно. Лично я поступаю так: если есть многочлен (или многочлены) 1-й или 2-й степени, то использую
«длинный» способ решения (Пример
22
). Если попадается многочлен 3-й и более высоких степеней, то чаще применяю «турбо»-метод по образцу Примера
23

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
24
Пример 24





1 1
5 3
2
n
n
n
– исследовать на сходимость.
Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги. После чего разберём типовые примеры с факториалами:
Пример 25
Исследовать сходимость ряда






1 7
)
5
(
)!
1
(
n
n
n
n
В общий член ряда входит и степень, и факториал. Ясно, как день, что здесь надо использовать признак Даламбера. Решаем:
































































0 2
0 0
2 0
2 2
2
)
6
(
2
)
5
(
)
4
(
)
3
(
1
)
2
(
1
)
1
(
1 6
1 10 7
1
lim
7 1
6 10 7
lim
7 1
6 10 7
lim
7 1
)
6
(
7
)
2
(
)
5
(
lim
)!
1
(
)
6
(
7
)!
2
(
)
5
(
7
lim
7
)
5
(
)!
1
(
7
)
5 1
(
)!
1 1
(
lim lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1 7
1 0
1 7
1








, значит, исследуемый ряд расходится.
(1) Составляем отношение
n
n
a
a
1

. Повторяем еще раз. По условию, «энный» член ряда:
n
n
n
n
a
7
)
5
(
)!
1
(




. Для того чтобы получить следующий член, ВМЕСТО n нужно
подставить
1

n
, таким образом:
1 1
7
)
5 1
(
)!
1 1
(








n
n
n
n
a
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Внизу «отщипываем» семерку от степени. Факториалы расписываем подробно
(4) Сокращаем всё, что можно сократить.
(5) Константу
7 1
выносим за знак предела. В числителе раскрываем скобки.
(6) Неопределенность


устраняем стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
25
Пример 26
Исследовать сходимость ряда


1
!
5
n
n
n
Полное решение и образец оформления в конце книги
И в заключение параграфа обещанный коварный ряд с «цепочкой» множителей:
Пример 27
Исследовать сходимость ряда








1
)
1 2
(
5 3
1 2
n
n
n
Сначала для понимания происходящего распишем ряд подробно:
)
1 2
(
5 3
1 2
7 5
3 1
2 5
3 1
2 3
1 2
1 2
)
1 2
(
5 3
1 2
4 3
2 1
1


























n
n
n
n
n
Из разложения мы видим, что у каждого следующего члена ряда добавляется дополнительный множитель в знаменателе, поэтому, если «энный» член ряда
)
1 2
(
5 3
1 2






n
a
n
n
, то следующий член ряда:
)
1 2
)(
1 2
(
5 3
1 2
)
1
)
1
(
2
)(
1 2
(
5 3
1 2
1 1
1


















n
n
n
n
a
n
n
n
Вот здесь часто «автоматом» допускают ошибку, формально по алгоритму записывая:
Правильное же решение таково:
Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
26
1.8. Радикальный признак Коши
Когда эпиграфы излишни, достаточно одного взгляда Огюстена Луи Коши 
Радикал
– это корень (не обязательно квадратный). И сам признак:
Рассмотрим положительный числовой ряд


1
n
n
a
. Если существует предел
D
a
n
n
n



lim
, то:
1) При
1

D
ряд сходится. В частности, ряд сходится при
0

D
2) При
1

D
ряд расходится. В частности, ряд расходится при


D
3) При
1

D
признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.
Когда нужно использовать радикальный признак Коши?
Радикальный признак
Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень
n
n
a «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.
Пример 28
2 3
1 5
6 1
7












n
n
n
n
– исследовать ряд на сходимость.
Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от
n , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:
)
4
(
3
)
2
(
2 3
)
1
(
5 6
1 7
lim lim

























n
n
n
n
n
n
n
n
a
1 216 343 6
7 5
6 1
7
lim
5 6
1 7
lim
3 3
0 0
)
5
(
3











































n
n
n
n
n
n
n
n
, значит, исследуемый ряд
расходится.
(1) Оформляем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, используя свойство степеней:
b
a
b
a
x
x 
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что
0 2

n
(4) В результате у нас получилась неопределенность
3








. Здесь можно было пойти длинным путем: возвести
1 7 
n
в куб, возвести
5 6 
n
в куб, потом разделить числитель и знаменатель на
3
n
. Но есть более эффективное решение:
почленное деление
можно выполнять прямо под степенью-константой
. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на n (старшую степень).
5) Собственно выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
27
Более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 29
Исследовать сходимость ряда
n
n
n
n











1 2
3 1
И еще пара важных типовых примеров из практических работ:
Пример 30












1
)
1
(
2 7
6 1
5
n
n
n
n
– исследовать ряд на сходимость.
Используем радикальный признак Коши:
)
4
(
1 2
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
0 2
7 6
1 5
lim
7 6
1 5
lim lim








































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
1 0
6 5
lim
7 6
1 5
lim
7 6
1 5
lim
2
)
6
(
2 0
0
)
5
(
2
















































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
, значит, ряд сходится.
(1) Помещаем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя формулу сокращенного умножения:
1 2
)
1
(
2 2




n
n
n
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что
0 1

n
(4) Получена неопределенность вида









. Здесь тоже можно выполнять
почленное деление прямо под степенью.
Но с одной оговоркой
. Если коэффициенты при старших степенях одинаковы, например:
2 7
1
lim











n
n
n
n
, то такой фокус не проходит, и надо использовать второй замечательный предел. Но у нас эти коэффициенты разные
(5 и 6), поэтому можно (и нужно) делить почленно (кстати, при разных коэффициентах, наоборот – не «прокатывает» второй замечательный предел).
(5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас стремятся к нулю.
(6) Неопределенность устранена, и простейший предел
2 6
5
lim









n
n
равняется нулю
– по той причине, что основание степени удовлетворяет неравенству
1 6
5 1



. Если у кого-то есть сомнения, позвозводите
6 5
в большие степени на калькуляторе.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
28
Пример 31
2 1
1 2
4 5
n
n
n
n











– исследовать ряд на сходимость.
Это пример для самостоятельного решения.
Иногда для решения предлагается «провокационный» ряд наподобие
2 1
1 2
4 5











n
n
n
или
2 1
2 1
2 4
5











n
n
n
. Здесь в показателе степени нет «эн», только константа. Тут нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель (получатся многочлены), и использовать необходимый признак сходимости в 1-м случае и предельный признак во 2-м.
Лихо запрягли! – едем дальше:
1.9. Интегральный признак Коши
Или просто интегральный признак. Сформулирую его в несколько упрощенной и вольной формулировке:
Рассмотрим положительный числовой ряд


1
n
n
a
. Если существует несобственный интеграл


1
dx
a
x
, то данный ряд сходится или расходится вместе с этим интегралом.
Этот признак тоже достаточный, то есть, не обязан нам помогать во «всех случаях жизни».
Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши
является тот факт, что общей член ряда похож на удачно интегрируемую функцию.
Классика жанра – это интеграл с логарифмом и его производной
x
x
1
)
(ln


: