Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать

• Название: Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать
• Дата: 26.01.2022
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: ryady_demo.pdf
• Тип: Документы; #342516
• страница: 8 из 10

существует и совпадает с графиком арктангенса
arctgx
y 
только на отрезке


1
;
1

(т.е. в области сходимости ряда):
Вне отрезка


1
;
1

ряд






0 1
2 1
2
)
1
(
n
n
n
n
x
расходится, и о графике речи не идёт вообще, т.к. при
1

x
каждое значение бесконечного многочлена бесконечно.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
56
Исходя из вышесказанного, можно сформулировать две взаимно обратные
задачи:
– найти сумму ряда (функцию) по известному разложению;
– разложить функцию в ряд (если это возможно) и найти область сходимости ряда
На практике гораздо чаще предлагают второе задание (оно проще), и в рамках настоящего экспресс-курса я рассмотрю именно его.
2.5. Разложение функций в степенные ряды
Итак, приступим к увлекательному занятию – разложению различных функций в степенные ряды. Сначала пара формул, затем практические задания.
Если функция
)
(x
f
в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням
)
(
a
x 
, то это разложение единственно и задается формулой:
Обозначения: в тематических источниках вместо буквы «а» часто используют
букву
0
x . Надстрочный индекс
)
(n
в последнем слагаемом обозначает
производную
«энного» порядка
Данная формула получила английскую фамилию и называется разложением функции
)
(x
f
в
ряд Тейлора
(ударение на 1-й слог) по степеням
)
(
a
x 
На практике процентах так в 90, даже больше, приходится иметь дело с частным случаем ряда Тейлора, когда
0

a
:
!
)
0
(
!
3
)
0
(
!
2
)
0
(
!
1
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
3 2










n
n
x
n
f
x
f
x
f
x
f
f
x
f
Эта формула получила фамилию шотландскую и называется разложением функции
)
(x
f
в
ряд Маклорена
(ударение на 2-й слог). Разложение Маклорена также называют
разложением функции
)
(x
f
в ряд Тейлора по степеням
x .
Вернемся к Таблице разложений (см. Приложение) и выведем разложение экспоненциальной функции для простейшего случая
x


:
!
!
3
!
2
!
1 1
3 2







n
x
x
x
x
e
n
x
Как оно получилось? По формуле Маклорена:
!
)
0
(
!
3
)
0
(
!
2
)
0
(
!
1
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
3 2










n
n
x
n
f
x
f
x
f
x
f
f
x
f
Рассмотрим функцию
x
e
x
f

)
(
и сразу вычислим:
1
)
0
(
0

 e
f
Теперь начинаем находить
производные в точке
0

a
: первую производную, вторую производную, третью производную и т.д. Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
57
x
x
e
e
x
f




)
(
)
(
1
)
0
(
0



e
f
x
x
e
e
x
f
x
f







)
(
)
)
(
(
)
(
1
)
0
(
0



e
f
x
x
e
e
x
f
x
f







)
(
)
)
(
(
)
(
1
)
0
(
0



e
f
… и так далее, при этом совершенно понятно, что:
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(










n
f
f
f
f
f
Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение! Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но
далеко не все выводятся именно так).
2.6. Примеры разложения функций в ряд Маклорена
В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд
Маклорена и нахождение области сходимости полученного ряда. Нет, мучиться с нахождением производных не придется, ибо есть таблица:
Решение'>Пример 53
Разложить функцию
2
cos
)
(
x
x
f

в ряд Маклорена и указать область сходимости полученного ряда.
Решение: используем табличное разложение:
В нашем случае
2
x


, таким образом:



































)!
2
(
2
)
1
(
!
6 2
!
4 2
!
2 2
1 2
cos
)
(
2 6
4 2
n
x
x
x
x
x
x
f
n
n
)!
2
(
2
)
1
(
!
6 2
!
4 2
!
2 2
1 2
2 6
6 4
4 2
2













n
x
x
x
x
n
n
n
– искомое разложение.
Как определить область сходимости полученного ряда? Здесь, конечно, не нужно проводить длинное исследование степенного ряда






0 2
2
)!
2
(
2
)
1
(
n
n
n
n
n
x
. Проще воспользоваться табличной информацией: поскольку разложение косинуса сходится при любом «альфа»:






, и аргумент
2
x


определён при любом «икс», то область сходимости нашего ряда будет такой же:





x

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
58
Разминочные ряды для самостоятельного решения:
Пример 54
Разложить функции в ряд по степеням x . а)
x
e
y
2


, б)
)
sin(
2
x
y 
Заметьте, что формулировка этой задачи эквивалента предыдущей. Единственное, область сходимости здесь очевидна, и поэтому даже как-то неудобно предлагать её найти.
ОБЯЗАТЕЛЬНО прорешиваем эти задания – если вдруг у кого обнаружатся трудности, то лучше разобраться с ними прямо сейчас. Особо аккуратно со знаками!
Помним, что чётная степень «съедает» знак минус, а из-под нечётной он «выскакивает».
Перейдём к более содержательным заданиям:
Пример 55
Разложить функцию
x
x
x
f
2
sin
)
(

в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
Решение тоже незамысловато,
главное, быть внимательным
, чтобы что-нибудь не потерять. «Конструировать» ряд начинают, как правило, с «солидной» функции.
…нормальная пошла терминология, пора за диссертацию садиться  Используем табличное разложение:
)!
1 2
(
)
1
(
!
7
!
5
!
3
sin
1 2
1 7
5 3












n
n
n






В данном случае
x
2


:
)
2
(
)!
1 2
(
)
1
(
!
7
)
2
(
!
5
)
2
(
!
3
)
2
(
2 2
sin
1 2
1 7
5 3












n
n
x
n
x
x
x
x
x
Раскрываем наверху скобки:
!
5 2
!
3 2
2 2
sin
5 5
3 3




x
x
x
x
Делим обе части на «икс»:
x
n
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
)!
1 2
(
2
)
1
(
!
7 2
!
5 2
!
3 2
2 2
sin
1 2
1 2
1 7
7 5
5 3
3













И после почленного деления в правой части получаем искомое разложение
функции в ряд Маклорена:
)!
1 2
(
2
)
1
(
2
sin
)
(
2 2
1 2
1











n
x
x
x
x
f
n
n
n

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
59
Найдём область сходимости полученного ряда. Поскольку разложение синуса сходится при любом «альфа»:






и значение
x
2


определено при любом
«икс», то разложение
x
2
sin тоже сходится на всей числовой прямой:





x
Но дальше возникает «закавыка» с делением на «икс»:
x
x
x
f
2
sin
)
(

– так как x не входит в область определения функции, то значение
0

x
вроде бы надо исключить из области сходимости.
Но на самом деле тут есть нюанс – ведь речь идёт об области сходимости РЯДА.
Вот и давайте подставим «проблемное» значение
0

x
непосредственно в разложение:
2
!
7 0
2
!
5 0
2
!
3 0
2 2
6 7
4 5
2 3








– получено конечное число, а значит, ряд сходится! Но сходится он здесь не к функции
x
x
x
f
2
sin
)
(

(как при всех других «икс»), а к конкретному числовому значению
2
)
(

x
f
Впрочем, нас об этом никто не спрашивал (кроме вас ), и на чистовик лучше записать единственную строчку: область сходимости:





x
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 56
Разложить функцию
x
x
y
3
cos

в ряд по степеням x и найти область сходимости полученного ряда.
Примерный образец чистового оформления задания в конце книги.
Рассмотрим типовые разложения логарифма:
Пример 57
Разложить функцию
)
1
ln(
)
(
2
x
x
f


в ряд по степеням x . Найти область сходимости полученного ряда.
Решение: находим в таблице похожее разложение:
)
1
(
4 3
2
)
1
ln(
1 4
3 2










n
n
n






Но у нас разность, что делать? Трюк прост – перепишем функцию немного по- другому:
))
(
1
ln(
)
1
ln(
)
(
2 2
x
x
x
f





Таким образом,
2
x



и всё путём:
)
(
)
1
(
)
1
ln(
2 1
2








n
x
x
n
n
Главное, не запутаться в знаках:
3 2
)
1
ln(
6 4
2 2






x
x
x
x
. – искомое разложение.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
60
Теперь нужно определить область сходимости полученного ряда. Согласно таблице, ряд гарантированно сходится при
1


. В данном случае
2
x



:
1 2

 x
минус испаряется:
1 2

x
и модуль тоже, так как квадрат и так неотрицателен:
1 2

x
поскольку
x
x 
2
, то, извлекая квадратный корень из обеих частей:
1 2

x
1 1
1





x
x
– получаем интервал сходимости нашего ряда.
Осталось исследовать ряд на концах найденного интервала. Значения
1
,
1


 x
x
не входят в область определения функции
)
1
ln(
)
(
2
x
x
f


, но вдруг здесь такая же метаморфоза, как с функцией
x
x
x
f
2
sin
)
(

, разложение которой сошлось и при
0

x
?
Вопрос решается прямой подстановкой «проблемных» значений непосредственно в найденное разложение
3 2
2 6
4 2






n
x
x
x
x
n
. Если
1

x
, то получаем:


















1 2
6 4
2 1
1 3
1 2
1 1
1 3
1 2
1 1
n
n
n
n
n
– гармонический ряд
, который расходится. И он же получается при
1


x
Таким образом, область сходимости нашего ряда:
1 1



x
И ещё немного по теме.
Простейшее разложение
)
1
(
4 3
2
)
1
ln(
1 4
3 2










n
x
x
x
x
x
x
n
n
сходится ещё в одной точке:
1 1



x
. Здесь при
1


x
получается гармонический ряд, а вот при
1

x
знакочередующийся сходящийся ряд





1 1
)
1
(
n
n
n
, причём его сумма в точности равна
2
ln
!
Таким образом, сумма многих числовых рядов
отыскивается с помощью степенных рядов!
Интересно отметить, что разложение в ряд такого логарифма:
– сходится уже на обоих концах интервала:
1 1



x
. При подстановках
1

x
,
1


x
получается тот же самый сходящийся ряд





1 1
)
1
(
n
n
n

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
61
Парочка рядов для самостоятельного решения:
Пример 58
Разложить функцию в ряд по степеням x и указать область сходимости. а)
x
e
y
x
2 2
1



, б)
3 3
1 1
x
y


Не теряйте по невнимательности степени и знаки!
Это чуть ли не главный
залог успеха в подобных заданиях.
Не редкость, когда перед разложением функцию целесообразно преобразовать.
Классический пример:
x
x
f
2
sin
)
(

. Перед тем как раскладывать её в ряд, нужно понизить степень с помощью известной тригонометрической формулы:
)
2
cos
1
(
2 1
sin
)
(
2
x
x
x
f



. Решать я этот пример не буду, потому что чего тут решать?:)





























!
6
!
4
!
2 2
1
!
6
!
4
!
2 1
1 2
1
)
2
cos
1
(
2 1
6 4
2 6
4 2
x
x
x
x
x
x
x
Продолжаем наращивать квалификацию! Типовое биномиальное разложение:
Пример 59
Разложить функцию
x
x
y
3 2
6


в степенной ряд и найти его область сходимости.
Решение: смотрим в таблицу и находим наиболее похожее разложение:
1 1
1 3
2








n





, после чего начинаем колдовать.
Поскольку вверху должна быть единица, то представляем нашу функцию в виде произведения:
x
x
y
3 2
1 6



Теперь в знаменателе нужно устроить


1
, для этого выносим двойку за скобки и сокращаем на два:





 







 


x
x
x
x
y
2 3
1 1
3 2
3 1
2 1
6
Таким образом,
2 3x


, и дробь раскатывается скатертью-самобранкой:




















 




2 3
2 3
2 3
2 3
1 3
2 3
1 1
3 3
2 6
3 3
3 2
2 2
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
2 3
1 1





n
n
n
x
– искомое разложение.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
62
Найдём область сходимости. Здесь можно пойти длинным и надежным путем, т.е. провести стандартное исследование степенного ряда





0 1
1 2
3
n
n
n
n
x
. А можно поступить проще. В таблице указано, что биномиальный ряд сходится при
1 1




В нашем случае
x
2 3


, поэтому:
1 2
3 1



x
Умножаем все части неравенства на
3 2
:
3 2
3 2



x
– и интервал сходимости выкатился на блюдечко с голубой каёмочкой.
Что происходит с рядом





0 1
1 2
3
n
n
n
n
x
на концах интервала? Выполняем прямую подстановку:
Если
3 2

x
, то получаем:






























0 0
0 1
1 1
0 1
1 1
2 2
2 2
3 2
2 3
2 3
2 3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
– данный ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости
При
2 3
2 3
3 2
0 1
1
















n
n
n
n
x
– расходится по той же причине.
Таким образом,