Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать

• Название: Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать
• Дата: 26.01.2022
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: ryady_demo.pdf
• Тип: Документы; #342516
• страница: 4 из 10

Пример 32
Исследовать сходимость ряда


2
ln
1
n
n
n
Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы:


2
. Затем под интегралом записываем «начинку» ряда с буковкой «икс»:


2
ln
1
x
x
. Чего-то не хватает…, ах, да, еще в числителе нужно прилепить значок дифференциала:


2
ln x
x
dx

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
29
Теперь нужно разобраться с интегралом


2
ln x
x
dx
, при этом возможны три исхода:
1) Если выяснится, что интеграл сходится, то будет сходиться и наш ряд.
2) Если выяснится, что интеграл расходится, то и ряд расходящийся.
3) Если решить интеграл невозможно либо затруднительно, то попытаем счастья с другим признаком. Но тут-то всё заведомо хорошо.
По сути, всё дело сводится к вычислению
несобственного интеграла
, и оформление примера должно выглядеть примерно так:
Используем интегральный признак:
)
(
ln
2




x
x
dx
Подынтегральная функция непрерывна на



;
2







ln
)
(ln
)
(
2
x
x
d
Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 33
Исследовать сходимость ряда





1 3
)
1
(
ln
)
1
(
1
n
n
n
Как вариант, логарифм может находиться под корнем, это меняет способа решения.
Довольно часто исследование можно провести не единственным способом:
Пример 34




1 6
7
)
3 2
(
1
n
n
– исследовать ряд на сходимость.
Мысленно отбрасывая константы, легко прийти к выводу, что данный ряд можно сравнить со сходящимся рядом


1 6
7 1
n
n
с помощью предельного признака сравнения
. Но как устоять перед столь соблазнительным интегралом?! :) Используем интегральный признак Коши:
)
(
)
3 2
(
1 6
7





x
dx

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
30
Подынтегральная функция непрерывна на



;
1 6
6 1
6 1
6 7
5 3
5 1
0 3
)
3 2
(
1
lim
6 2
1
)
3 2
(
(*)






 

























b
b
x
dx
x
Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Внимание!
Полученное значение, в данном случае
6 5
3
,
не является
суммой ряда
!!! (почему-то весьма распространённое заблуждение).
Пример 35
Исследовать сходимость ряда




1 3
2
)
1 5
(
1
n
n
Образец решения в конце книги.
Итак, систематизируем схему работу с произвольным положительным рядом:
1) Если «начинкой» ряда являются многочлены (опционально под корнями), то используем:
– необходимый признак сходимости
(когда порядок роста числителя больше либо
равен порядку роста знаменателя);
– признак сравнения с неравенством
(в подходящих случаях, иногда такие ряды дополнительно содержат логарифмы и некоторые другие, часто ограниченные функции);
– предельный признак сравнения
(чаще всего).
2) Если общий член ряда содержит число в степени, которая зависит от «эн», и/или факториал и/или «цепное» произведение, то следует применить признак Даламбера
3) Если из общего члена ряда «хорошо» извлекается корень «энной» степени, то целесообразно использовать радикальный признак Коши
4) Если общему члену удаётся сопоставить «хорошо решаемый» несобственный интеграл, то уместно использовать интегральный признак Коши
Иногда признаки используются последовательно, так, при исследовании ряда




2
ln
)
1
(
1
n
n
n
сначала нужно обосновать расходимость ряда


2
ln
1
n
n
n
(см.
Пример 32
) и затем использовать предельный признак сравнения
(
признак с неравенством
не годится).
Кроме того, существует и другие признаки сходимости, но они не нашли широкого применения на практике.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
31
1.10. Знакочередующиеся ряды. Условная и абсолютная сходимость
И в самом деле? – почему члены ряда не могут быть отрицательными? Ещё как могут! Если члены числового ряда принимают как положительные, так и отрицательные значения, то такой ряд называют
знакопеременным
Типичный пример:


1
sin
n
n
. Здесь, кстати, сразу можно сказать, что ряд расходится
– для него не выполнен необходимый признак
(предела
n
n
a


lim попросту не существует).
В рамках данного курса мы рассмотрим частный случай знакопеременных рядов, а именно
знакочередующиеся
ряды. Уже из названия понятно, что после положительного члена такого ряда следует отрицательный член, затем снова положительный и так далее – до бесконечности.
Знакочередование чаще всего обеспечивает множитель
n
)
1
(
, который на математическом жаргоне называют «мигалкой». Как вариант, эту функцию выполняют
«родные братья»
1
)
1
(


n
,
1
)
1
(


n
,
2
)
1
(


n
, …..
Подводным камнем
являются «обманки»:
n
2
)
1
(
,
1 2
)
1
(


n
,
3 2
)
1
(


n
и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака.
Совершенно понятно, что при любом натуральном «эн»:
1
)
1
(
2


n
,
1
)
1
(
1 2




n
,
1
)
1
(
3 2




n
. Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решениястепенных рядов, до которых мы ещё доберемся.
Простейшие примеры знакочередующихся рядов:














1 2
1 1
1 1
)
1
(
,
)
1
(
,
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
, распишем для бОльшей наглядности, например, ряд:
7 6
5 4
3 2
1
)
1
(
1













n
n
n
– ну вот, знакочередование налицо.
И перед практическими заданиями я приведу
общую классификацию
«поведения» числовых рядов. Любой числовой ряд


1
n
n
a
может (одно из трёх):
1)
Расходиться
2)
Сходиться условно
. Это означает, что ряд


1
n
n
a
сходится, но ряд, составленный из модулей его членов


1
n
n
a
– расходится. Напоминаю, что модуль «уничтожает» возможные знаки «минус».
3)
Сходиться абсолютно
. Это означает, что ряды






1 1
,
n
n
n
n
a
a
сходятся, причём из сходимости последнего следует сходимость первого (
теорема есть такая
).
Примечание:
из вышесказанного автоматически следует, что любой
положительный сходящийся ряд является абсолютно сходящимся.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
32
1.11. Признак Лейбница
Это достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов:
Если общий член знакочередующегося ряда, монотонно убывая по модулю, стремится к нулю, то ряд сходится.
Таким образом, признак подразумевает выполнение следующих трёх условий:
1) Ряд знакочередуется.
2) Члены ряда убывают по абсолютной величине (по модулю):
0
lim



n
n
a
(пусть,
начиная хоть с какого-то номера «эн»).
3) Это убывание монотонно, т.е. каждый следующий член по модулю не больше, чем предыдущий:
n
n
a
a

1
, а чаще строго меньше:
1 4
3 2
1








n
n
a
a
a
a
a
a
Если все три условия выполнены, то ряд сходится.
Пример 36
Исследовать на сходимость ряд




1
)
1
(
n
n
n
В общий член ряда входит множитель
n
)
1
(
, а значит, нужно использовать признак
Лейбница.
1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно
5 4
3 2
1
)
1
(
1











n
n
n
и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».
2) Убывают ли члены ряда по модулю? Для ответа на этот вопрос нужно решить предел
n
n
a


lim
, который чаще всего является весьма простым.
Как разобраться, чему равен модуль общего члена
n
a ? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить
n
a , нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда
n
a
n
n
)
1
(

. Тупо убираем «мигалку»:
n
a
n
 , и решаем нужный предел:
0
)
(
lim lim








n
a
n
n
n
– члены ряда не убывают по модулю, и из этого факта автоматически следует расходимость ряда (т.к. не существует
предела частичных сумм
n
n
S


lim
).
Разумеется, здесь отпала надобность в рассуждениях о монотонности убывания.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
33
Пример 37
Исследовать сходимость ряда





1 1
)
1
(
n
n
n
Используем признак Лейбница:
1) Данный ряд является знакочередующимся, и для пущей убедительности расписываем несколько членов:
5 1
4 1
3 1
2 1
1
)
1
(
1 1











n
n
n
2) Убираем «мигалку» и вычисляем предел:
0 1
lim lim






n
a
n
n
n
– члены ряда убывают по модулю.
3) Запишем модуль «энного»:
n
a
n
1

и следующего члена:
1 1
1



n
a
n
. Для любого номера «эн» справедливо неравенство
n
n
1 1
1


, то есть каждый следующий член по модулю меньше предыдущего:
n
n
a
a

1
. Как вариант, можно расписать «цепочку»:
1 1
1 5
1 4
1 3
1 2
1 1
1 5
4 3
2 1


















n
n
a
a
a
a
a
a
a
n
n
Таким образом, убывание монотонно.
Все 3 пункта выполнены, значит, ряд сходится по признаку Лейбница.
Но это ещё не всё!
Теперь нужно выяснить,
условно
он сходится или
абсолютно
Для этого составим ряд из модулей – здесь, как и при вычислении предела, нужно убрать множитель, обеспечивающий знакочередование:













1 1
1 1
1
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
a
– полученный ряд расходится (
гармонический ряд
) – тут даже исследования не потребовалось.
Вывод: так как ряд


1
n
n
a
сходится, а


1
n
n
a
расходится, то исследуемый ряд
сходится условно.
Очевидно, что третий «демонстрационный» ряд





1 2
1
)
1
(
n
n
n
тоже сходится по признаку Лейбница, и более того, сходится и







1 2
1 1
n
n
n
n
a
, следовательно, этот знакочередующийся ряд сходится абсолютно. Но то, конечно, была разминка:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
34
Пример 38
Исследовать на сходимость ряд






2 2
)
2
)(
1
(
)
1
(
n
n
n
n
Используем признак Лейбница:
1) По причине множителя
n
)
1
(
ряд знакочередуется:
27 4
1 18 3
1 11 2
1 6
1 1
)
2
)(
1
(
)
1
(
2 2















n
n
n
n
2)
0
)
2
)(
1
(
1
lim lim
2








n
n
a
n
n
n
– члены ряда убывают по модулю.
3) Для любого номера n справедливо неравенство:
, а бОльшим знаменателям соответствуют меньшие дроби:
, то есть, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:
n
n
a
a

1
, а значит, убывание монотонно.
Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем соответствующий ряд из модулей (убираем «мигалку»):
















2 2
3 2
2 2
2 2
1
)
2
)(
1
(
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
Анализируя «начинку» полученного ряда, приходим к выводу, что здесь сподручнее использовать предельный признак сравнения
. Сравним данный ряд с
«эталонным» сходящимся рядом


2 3
1
n
n
:
1 2
2 1
1
lim
2 2
1 1
lim
0 3
0 2
0 2
3 3






















n
n
n
n
n
n
n
n
n
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд


2
n
n
a
сходится вместе с рядом


2 3
1
n
n
Вывод: исследуемый ряд сходится абсолютно.
Хитрецы могут решить задачу короче, а именно сразу установить сходимость


2
n
n
a
, и, сославшись на теорему, сделать вывод о сходимости ряда


2
n
n
a
. Но такая хитрость обычно карается рецензентом, который предписывает провести полное исследование, т.е. сначала рассмотреть знакочередующийся ряд и воспользоваться признаком Лейбница.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
35
Следующие примеры для самостоятельного решения:
Пример 39
Исследовать сходимость числовых рядов а)







1 1
1
)
1
(
n
n
n
n
, б)






1 1
5 3
)
1
(
n
n
n
Не ленимся и
обязательно прорешиваем все примеры! Сейчас у вас есть прекрасная возможность закрепить все разобранные ранее признаки. Причём сделать это здесь, сейчас и отмучиться в самые короткие сроки! Вот такой вот я гуманный учитель 
И мы продолжаем тренироваться, после чего будет ещё одна важная фишка:
Пример 40
Исследовать на сходимость ряд
n
n
n
n
n
2 1
1 7
4 1
3
)
1
(













Решение: далее я не буду нумеровать пункты признака Лейбница – на практике это делать совсем не обязательно.
Поскольку в общем члене присутствует множитель
1
)
1
(


n
, то ряд является знакочередующимся.
Внимание!
К этому пункту ни в коем случае нельзя относиться формально, машинально записывая, что ряд знакочередуется. Помните об «обманках»
n
2
)
1
(
,
1 2
)
1
(


n
,
3 2
)
1
(


n
, и если они есть, то от них нужно избавиться, получив тем самым «обычный» ряд.
Если нарисовался знак «минус», например,
1
)
1
(
1 2




n
, то просто выносим его за значок ряда и пользуется стандартными признаками сходимости положительных рядов.
И только после этого проверяем, убывают ли члены по модулю:
7 4
1 3
lim
7 4
1 3
lim lim
2 2
































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
– да.
Осталось показать монотонность убывания. Неравенство
n
n
a
a

1
здесь обосновать трудно и поэтому мы проявим разумную хитрость, расписав несколько конкретных членов и всю цепочку:
1 3
2 1







n
n
a
a
a
a
a
11 4
4 3
7 4
1 3
19 10 15 7
11 4
)
1
(
2 2
6 4
2









































n
n
n
n
n
n
– не лишним будет взять в руки калькулятор, и убедиться в справедливости первых неравенств (хотя, это, конечно,
некорректная проверка).
Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
36
Теперь исследуем сходимости ряда:
n
n
n
n
n
n
a
2 1
1 7
4 1
3















Просто «вкусняшка» в плане радикального признака Коши
:













































2 2
2 2
7 4
1 3
lim
7 4
1 3
lim
7 4
1 3
lim lim
n
n
n
n
n
n
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1 16 9
4 3
7 4
1 3
lim
2 2
0 0





























n
n
n
, значит, ряд


1
n
n
a
сходится.