Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать

• Название: Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать
• Дата: 26.01.2022
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: ryady_demo.pdf
• Тип: Документы; #342516
• страница: 10 из 10

б) Решение: используем признак Лейбница
Данный ряд является знакочередующимся:
– члены ряда убывают по модулю.
Найдём модуль -го члена:. Для любого номера n справедливо неравенство, а
бОльшим знаменателям соответствуют меньшие дроби:
Таким образом, каждый следующий член ряда меньше предыдущего:, т.е. члены
убывают монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем сходимость ряда:
Используем интегральный признак.
Подынтегральная функция непрерывна на.
Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным
интегралом.
Вывод: исследуемый ряд сходится условно.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
75
Пример 46. Решение: с помощью признака Даламбера найдем интервал
сходимости ряда:
Таким образом, ряд сходится при. Умножим обе части неравенства на 7:
и раскроем модуль:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) При получаем числовой ряд
Данный ряд знакочередуется.
– но члены ряда по модулю неограниченно возрастают, следовательно, ряд
расходится.
2) При получаем числовой ряд – расходится, так как не выполнен
необходимый
признак сходимости ряда
().
Ответ: – область сходимости ряда
Пример 48. Решение: найдём интервал сходимости ряда:
Ответ: ряд сходится при
Пример 50. Решение: найдем интервал сходимости ряда:
Таким образом, ряд сходится при
Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на:
В середине нужно оставить только x , вычитаем из каждой части неравенства 3:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) При
Примечание:
n
2 сократились, значит, мы на верном пути.
Полученный числовой ряд является знакочередующимся.
– члены ряда убывают по модулю, причём каждый следующий член по модулю
меньше предыдущего:, т.е. убывание монотонно.
Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
76
Исследуем ряд, составленный из модулей:
Здесь можно использовать
предельный признак сравнения
, но для разнообразия я
пойду другим путём.
Используем
интегральный признак Коши
:
Подынтегральная функция непрерывна на.
Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным
интегралом, и ряд сходится лишь условно
2) При – расходится.
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:, при ряд сходится
условно.
Примечание:
область сходимости окончательно можно записать так:, или даже
так:. Но не нужно :) ;)

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
77
Пример 52. Решение: с помощью признака Даламбера найдем интервал
сходимости ряда:
Таким образом, ряд сходится при
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
78
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) При
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Используем
предельный признак сравнения:
– получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с
гармоническим рядом.
Примечание:
также здесь легко применить и интегральный признак:
2) При – расходится.
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
Пример 54. Решение:
а) Используем разложение для:
б) Используем разложение.
В данном случае:
Очевидно, что оба ряда сходятся на всей числовой прямой:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
79
Пример 56. Решение: используем разложение:
.
Область сходимости ряда:
В данном случае:
Раскрываем наверху скобки:
и умножаем обе части на «икс»:
В итоге искомое разложение функции в ряд:
Область сходимости ряда:
Примечание:
домножение на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости.
Пример 58.
а) Решение: используем разложение:
.
В данном случае:
Конструируем функцию дальше:
Окончательно:
– искомое разложение.
Полученный ряд сходится при
Примечание:
в точке он сходится не исходной функции, а конкретному значению:
б) Решение: используем частный случай биномиального разложения:
для:
Полученный степенной ряд можно исследовать по
обычной схеме
, но есть более
короткий путь. Биномиальный ряд сходится при (см. таблицу), и поскольку, то интервал
сходимости найдём из неравенства:
.
Делим все части на 3 и извлекаем из всех частей кубический корень:
– интервал сходимости ряда.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
80
Исследуем сходимость ряда на концах найдённого интервала:
при получаем ряд;
при получаем ряд.
Оба ряда расходятся, т.к. не выполнен
необходимый признак сходимости
.
Таким образом, область сходимости найденного разложения:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
81
Пример 60. а) Решение: преобразуем функцию:


(*)
10 1
ln
10
ln
10 1
10
ln
10
ln






 













 


x
x
x
Используем разложение:
)
1
(
5 4
3 2
)
1
ln(
1 5
4 3
2












n
n
n







В данном случае
10
x


:
10
)
1
(
5 10 4
10 3
10 2
10 10 10
ln
(*)
1 5
4 3
2










































n
x
x
x
x
x
x
n
n
10
)
1
(
10 5
10 4
10 3
10 2
10 10
ln
1 5
5 4
4 3
3 2
2

















n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
– искомое
разложение:
Найдем область сходимости степенного ряда







1 1
10
)
1
(
n
n
n
n
n
x . Согласно таблице,
использованное разложение сходится при
1 1




. Так как
10
x


, то:
1 10 1



x
10 10



x
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
При


























1 1
1 1
1 1
10 10
)
1
(
)
1
(
10
)
10
(
)
1
(
10
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
– расходится.
При















1 1
1 1
)
1
(
10 10
)
1
(
10
n
n
n
n
n
n
n
n
x
–
сходится условно
.
Таким образом, область сходимости полученного разложения:
10 10



x
б) Решение: Используем разложение:
1 2
)
1
(
7 5
3 1
2 7
5 3











n
arctg
n
n






В данном случае
x


:
1 2
)
1
(
7 5
3 1
2 7
5 3











n
x
x
x
x
x
x
arctg
n
n
– искомый ряд.
Согласно таблице, разложение арктангенса сходится при
1 1




, но поскольку
квадратный корень неотрицателен:
0

 x

, то область сходимости полученного
ряда:
1 0

 x
.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
82
Пример 63. Решение: используем формулу Тейлора:
)
(
!
)
(
)
(
!
3
)
(
)
(
!
2
)
(
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
0 0
)
(
3 0
0 2
0 0
0 0
0













n
n
x
x
n
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
В данном случае:
3 0

x
7
ln
)
3
(
)
(
0

 f
x
f
x
x
x
f
2 1
2
)
)
2 1
(ln(
)
(






7 2
)
3
(
)
(
0




f
x
f
2 2
)
2 1
(
1 2
2 1
2
)
(
x
x
x
f














2 2
2 0
7 2
7 2
)
3
(
)
(













f
x
f
3 3
3 3
2 2
)
2 1
(
!
2 2
)
2 1
(
2 1
2
)
2 1
(
1 2
)
(
x
x
x
x
f



















3 3
0 7
!
2 2
)
3
(
)
(





f
x
f
…
n
n
n
n
x
n
x
f
)
2 1
(
)!
1
(
2
)
1
(
)
(
1
)
(







n
n
n
n
f
x
f
7
)!
1
(
2
)
1
(
)
3
(
)
(
1 0









…
Подставим вычисленные производные в формулу Тейлора:






















)
3
(
!
7
)!
1
(
2
)
1
(
)
3
(
!
3 7
!
2 2
)
3
(
!
2 7
2
)
3
(
!
1 7
2 7
ln
)
2 1
ln(
1 3
3 3
2 2
2
n
n
n
n
x
n
n
x
x
x
x
y
)
3
(
7 2
)
1
(
)
3
(
7 3
2
)
3
(
7 2
2
)
3
(
7 2
7
ln
1 3
3 3
2 2
2

















n
n
n
n
x
n
x
x
x
Интервал сходимости ряда









1 1
7
)
3
(
2
)
1
(
n
n
n
n
n
n
x
можно найти по обычной схеме,
либо из соображений:
2 7
3 

x
(чтобы общий член сократился на
n
7
и
n
2 ). Раскрывая
модуль, получаем корни:
2 13
,
2 1
2 7
3







x
x
x
, и, опуская их подстановку в
степенной ряд, я запишу готовую область сходимости:
2 13 2
1



x
.