Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать

• Название: Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать
• Дата: 26.01.2022
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: ryady_demo.pdf
• Тип: Документы; #342516
• страница: 9 из 10

область сходимости полученного разложения:
3 2
3 2



x
Для самостоятельного решения:
Пример 60
Разложить по степеням x . Найти область сходимости ряда. а)
)
10
ln(
x

, и «арки» у нас как-то досадно затерялись, пусть будут: б)
x
arctg
;)
Да, задача, бывает сформулировано и так – безо всяких там терминов и
)
(x
f
…и что-то эти задачи у меня уже начали вызывать улыбку  Поэтому обязательно прорешайте – сегодня хорошо должно быть всем!
Указание:
в пункте а) использовать свойство логарифма:
b
a
ab
ln ln
)
ln(



© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
63
2.7. Разложение функций в ряд Тейлора по степеням
)
(
a
x 
, где
0

a
Это задание является более сложным и встречается значительно реже. Но я всё- таки решил включить его в курс, 2-3 примера не помешают.
Вытащим из чулана общую формулу Тейлора:
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(





a
x
a
f
a
f
x
f
Напоминаю, что вместо буквы «а» на практике часто можно встретить букву
0
x .
В чём сложность разложения функции по степеням
)
(
a
x 
при
0

a
? Сложность состоит в том, что нам не удастся воспользоваться табличными разложениями, и придётся работать ручками, а именно самостоятельно находить и вычислять
производные
:
Пример 61
Разложить функцию
2 3
4
)
(
2 3




x
x
x
x
f
в ряд Тейлора по степеням
)
1
( 
x
Решение: в данном случае
1

a
, и нам предстоит ручная работа по конструированию разложения:
4 2
3 4
1
)
1
(
)
(





 f
a
f
3 8
3
)
2 3
4
(
)
(
2 2
3









x
x
x
x
x
x
f
8 3
8 3
)
1
(
)
(







f
a
f
8 6
)
3 8
3
(
)
(
2







x
x
x
x
f
14 8
6
)
1
(
)
(






f
a
f
const
x
x
f






6
)
8 6
(
)
(
6
)
1
(
)
(




f
a
f
0
)
6
(
)
(
)
4
(



x
f
, и все производные, начиная с четвёртой, будут нулевыми.
Теперь подставляем весь найденный скарб в формулу Тейлора и упрощаем коэффициенты, не забывая, что такое факториал
:




























0 0
0
)
1
(
!
3 6
)
1
(
!
2 14
)
1
(
!
1 8
4
)
(
!
3
)
(
)
(
!
2
)
(
)
(
!
1
)
(
)
(
2 3
4
)
(
3 2
3 2
2 3
x
x
x
a
x
a
f
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
x
x
x
x
f

– искомое разложение.
Для проверки раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:











)
1 3
3
(
)
1 2
(
7 8
8 4
2 3
2
x
x
x
x
x
x
2 3
4 1
3 3
7 14 7
8 8
4 2
3 2
3 2














x
x
x
x
x
x
x
x
x
– в результате получен исходный многочлен, что и требовалось проверить.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
64
Рассмотрим более содержательные примеры.
Пример 62
Разложить функцию
3 1
)
(


x
x
f
в ряд Тейлора по степеням
)
1
( 
x
. Найти область сходимости полученного ряда.
Решение: используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням
)
(
0
x
x 
:
)
(
!
)
(
)
(
!
3
)
(
)
(
!
2
)
(
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
0 0
)
(
3 0
0 2
0 0
0 0
0













n
n
x
x
n
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
В данном случае
1 0


x
, и, засучив рукава, снова приступаем к работе:
2 1
3 1
1
)
1
(
)
(
0





 f
x
f
2
)
3
(
1 3
1
)
(













x
x
x
f
2 0
2 1
)
1
(
)
(






f
x
f
3 2
)
3
(
2 1
)
3
(
1
)
(














x
x
x
f
3 0
2 2
1
)
1
(
)
(






f
x
f
После нескольких «подходов» становится ясно, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому хорошо бы уловить некоторую закономерность. Найдем ещё третью производную:
)
(

 x
f
4 0
2 3
2 1
)
1
(
)
(








f
x
f
и проанализируем найденные трофеи:
…,
3
)
3
(
2 1
)
(




x
x
f
,
4
)
3
(
3 2
1
)
(






x
x
f
Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе «накручивается» факториал, а в знаменателе растёт степень.
Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную
«энного» порядка. Записываем вышесказанное на языке формул:
1
)
(
)
3
(
)
(



n
n
x
x
f

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
65
Как проверить, правильно ли составлена энная производная? Подставьте в неё значения
1

n
,
2

n
,
3

n
и вас должны получиться в точности первая, вторая и третья производные. После того, как мы убедились в том, что энная производная составлена правильно, подставляем в неё наше значение:
1
)
(
0
)
(
2
!
)
1
(
)
1
(
)
(






n
n
n
n
n
f
x
f
Теперь нужно МЕГАВНИМАТЕЛЬНО подставить все труды в формулу Тейлора и провести упрощения:
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
!
2 2
2 1
)
1
(
!
1 2
1 2
1 3
1
)
(
1 2
3 2

















n
n
n
x
x
x
x
x
f
Найдём область сходимости полученного степенного ряда







0 1
2
)
1
(
)
1
(
n
n
n
n
x
. Это стандартная задача
, которой я вас «нагрузил по полной», и поэтому пора бы их уже решать в уме! Из того соображения, что на концах интервала сходимости должны сократиться «двойки в степени эн» (на чём я неоднократно заострял внимание), интервал сходимости и в самом деле легко «углядеть» устно:
1 3



x
На левом конце интервала получаем числовой ряд:































0 1
0 0
1 0
1
)
1
(
2 1
2 2
2
)
1
(
)
1
(
2
)
2
(
)
1
(
2
)
1 3
(
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
– расходится.
На правом конце то же самое.
Таким образом, область сходимости найденного разложения:
1 3



x
И финальный пример для самостоятельного решения:
Пример 63
Разложить функцию
)
2 1
ln(
x
y


в ряд Тейлора по степеням
)
3
( 
x
. Найти область сходимости полученного ряда.
….Как ваше настроение? Я так и знал, что на высоте! И это неспроста:
Теперь вы сможете справиться почти со всеми типовыми задачами темы!
Дополнительную информацию можно найти в
соответствующем разделе
портала mathprofi.ru (ссылка на карту раздела). Из учебной литературы рекомендую:
К.А. Бохан (том 2) – попроще, Г.М. Фихтенгольц (том 2) – посложнее.
Желаю успехов!

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
66
Решения и ответы
Пример 2. Решение:
Примечание
: обратите внимание, что переменная-«счётчик» в данном примере
«заряжается» со значения.
Пример 5. Решение: в числителе находятся степени «двойки», а в знаменателе
под корнем – числа, кратные семи:
Пример 7. Решение:
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:.
Для первого ряда, для второго ряда:
Ответ:
Пример 9. Решение:Методом неопределенных коэффициентов разложим общий
член ряда в сумму дробей:
приведём правую часть к общему знаменателю:
после чего получаем уравнение:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях:
Из 1-го уравнения выразим – подставим во 2-е уравнение:
Таким образом:
Составим частичную сумму n членов ряда:
Вычислим сумму ряда:
Ответ:
Пример 11. Решение: по формуле разложим знаменатель в произведение и
методом неопределённых коэффициентов получим сумму дробей:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и почленно сложим
уравнения полученной системы:
Таким образом:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
67
Составим «энную» частичную сумму и проведём сокращения:
Вычислим сумму ряда:
Ответ:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
68
Пример 13. Решение:
Делим числитель и знаменатель на:
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак
сходимости ряда.
Пример 15. Решение: сравним данный ряд со сходящимся рядом.
Так как синус ограничен:, то. Таким образом, для всех натуральных номеров
справедливо неравенство:
, значит, по признаку сравнения, исследуемый ряд сходится вместе с рядом.
Пример 17. Решение: сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом.
Для всех справедливо неравенство:
, а мЕньшим знаменателям соответствуют бОльшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится вместе с
гармоническим рядом.
Пример 19. Решение: сравним данный ряд с расходящимся рядом. Используем
предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится
вместе с рядом.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
69
Пример 21. Решение: эти 3 пункта выполняем мысленно или на черновике:
1) Старшая степень знаменателя:4
2) Старшая степень числителя: 1
3) 4 – 1 = 3
Сравним предложенный ряд со сходящимся рядом.
Используем предельный признак сравнения:
– получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится
вместе с рядом.
Пример 24. Решение: Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
Примечание:
здесь можно было использовать и «турбо»-метод решения: сразу
обвести карандашом отношение и указать, что оно стремится к единице с пометкой
«одного порядка роста».
Пример 26. Решение: Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
70
Пример 29. Решение: используем радикальный признак Коши.
, значит, исследуемый ряд сходится.
Пример 31. Решение: используем радикальный признак Коши.
, значит, ряд расходится.
Примечание:
здесь основание степени, поэтому
Пример 33. Решение: Используем интегральный признак Коши:
Подынтегральная функция непрерывна на
– конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим
несобственным интегралом.
Пример 35. Решение. Способ первый: используем интегральный признак:
Подынтегральная функция непрерывна на
Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим
несобственным интегралом
Способ второй: сравним данный ряд с расходящимся рядом. Используем
предельный признак сравнения
:
– конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе
с рядом.
Пример 39.
а) Решение: используем признак Лейбница:
1) Данный ряд является знакочередующимся:
2)
– члены ряда не убывают по модулю.
Вывод: ряд расходится.
б) Решение: используем признак Лейбница:
1) Ряд является знакочередующимся:
2) – члены ряда убывают по модулю.
3) Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:
, значит, убывание монотонно.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
71
Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Используем
предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с
гармоническим рядом.
Вывод: исследуемый ряд сходится условно.
Пример 41. Решение: по причине множителя ряд является знакочередующимся:
, и мы используем признак Лейбница:
– члены ряда убывают по модулю.
Найдём модуль -го члена:. Для любого номера n справедливо неравенство:
, т.е. члены убывают монотонно.
Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд, составленный из модулей членов:
Используем признак Даламбера:
, значит, ряд сходится.
Вывод: исследуемый ряд сходится абсолютно.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
72
Примечание:
возможно, не всем понятно, как разложены
факториалы
. Это
всегда можно установить опытным путём – возьмём и сравним какие-нибудь соседние
члены ряда:
и, следующий член ряда к предыдущему:
и, следующий член ряда к предыдущему:
…

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
73
Пример 43.
а) Решение: используем признак Лейбница.
– ряд является знакочередующимся.
– члены ряда монотонно убывают по модулю (так как более высокого порядка
роста, чем).
Таким образом, ряд сходится.
Исследуем сходимость ряда:
Используем признак Даламбера:
Таким образом, ряд сходится.
Вывод: исследуемый ряд сходится абсолютно.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
74