Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать

• Название: Ряды рядом! Экспресскурс по числовым и степенным рядам Научитесь решать
• Дата: 26.01.2022
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: ryady_demo.pdf
• Тип: Документы; #342516
• страница: 2 из 10

Часть первая:
Рассмотрим два положительных числовых ряда


1
n
n
a
и


1
n
n
b
. Если известно, что ряд


1
n
n
b
– сходится, и, начиная с некоторого номера
n , выполнено неравенство
n
n
b
a 
, то ряд


1
n
n
a
тоже сходится.
Иными словами, из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость
ряда с меньшими членами. На практике неравенство
n
n
b
a 
часто выполнено вообще для всех значений
,
3
,
2
,
1

n

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
15
Пример 14
Исследовать сходимость ряда





1 2
2 1
n
n
n
Во-первых,
проверяем (мысленно либо на черновике) необходимый признак
:
0 2
1
lim lim
2








n
n
a
n
n
n
, а значит, «отделаться малой кровью» не удалось.
Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень многочлена
2 2

 n
n
, находим похожий ряд


1 2
1
n
n
, который сходится.
Для всех натуральных номеров
,
3
,
2
,
1

n
справедливо очевидное неравенство: а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения, исследуемый ряд сходится вместе с «эталонным» рядом


1 2
1
n
n
Если у вас есть какие-то сомнения, то
неравенство всегда можно расписать
подробно!
Распишем последнее неравенство для нескольких номеров «эн»:
9 1
14 1
3 4
1 8
1 2
1 4
1 1









n
n
n
и теперь-то уж совершенно понятно, что неравенство
2 2
1 2
1
n
n
n



выполнено и для всех натуральных номеров «эн».
Проанализируем признак сравнения и прорешанный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд





1 2
2 1
n
n
n
сходится? А вот почему. В теории доказано, что ряд


1 2
1
n
n
сходится, значит, он имеет некоторую конечную сумму S :
S
n
n









16 1
9 1
4 1
1 1
1 2
Если все члены ряда





1 2
2 1
n
n
n
меньше соответствующих членов ряда


1 2
1
n
n
, то ясен пень, что его сумма ряда





1 2
2 1
n
n
n
не может быть больше числа S , и тем более, не может равняться бесконечности!

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
16
Аналогично легко доказать сходимость «похожих» рядов:





1 2
3 5
1
n
n
n
,




1 3
3 1
n
n
,






1 2
4 7
3 2
1
n
n
n
n
и т.п.
Но, обратите внимание
, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся
«плюсы». Если есть минусы, то признак с неравенствомможет и не дать результата.
Например, рассмотрим ряд




2 2
1
n
n
n
. Попробуйте аналогично сравнить его со сходящимся рядом


2 2
1
n
n
– выпишите несколько неравенств для первых членов. Вы увидите, что неравенство
n
n
b
a 
не выполняется и признак не дает нам ответа.
Придется использовать другой признак, чтобы выяснить, сходится этот ряд или нет.
Для самостоятельного решения:
Пример 15


1 3
2
sin
n
n
n
– исследовать на сходимость
Указание:
использовать
ограниченность синуса
Теперь
вторая часть
признака:
Если известно, что ряд


1
n
n
b
расходится, и, начиная с некоторого номера
n
(часто с
1

n
), выполнено неравенство
n
n
b
a 
, то ряд


1
n
n
a
тоже расходится.
Иными словами, из расходимости ряда с меньшими членами следует
расходимость ряда с бОльшими членами. Неформальный смысл здесь тоже очень прост: сумма расходящегося ряда равна бесконечности




1
n
n
b
, и коль скоро, члены ряда


1
n
n
a
ещё больше, то его сумма и подавно бесконечна:




1
n
n
a
Пример 16
Исследовать сходимость ряда


2
ln
n
n
n
Так как n более высокого порядка роста, чем n
ln , то:
…, и необходимый признак сходимости нам опять не помогает. Как оно, впрочем, бывает почти всегда .

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
17
Для наглядности последующих объяснений запишу несколько значений натурального логарифма:
1,61 5
ln
1,39,
4
ln
1,10,
3
ln
0,69,
2
ln




, и так далее – при


n
логарифм медленно растёт до бесконечности.
Анализируя «начинку» ряда


2
ln
n
n
n
, напрашивается его сравнение с расходящимся
«эталонным» рядом


2 1
n
n
. Для
2

n
нужное нам неравенство не выполнено: но вот для бОльших номеров всё в ажуре:
5 1
5 5
ln
5 4
1 4
4
ln
4 3
1 3
3
ln
3









n
n
n
и вообще: …, значит, по признаку сравнения, исследуемый ряд расходится вместе с рядом


2 1
n
n
Пример 17


3
ln
1
n
n
, когда слова излишни :)
Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, с каким рядом удобно провести сравнение, порасписывайте неравенства для лучшего понимания.
Как я уже отмечал, рассмотренный признак сравнения помогает далеко не всегда – по той причине, что не удаётся построить желаемое неравенство при сравнении с
«эталонными» интегралами. Например:
– при сравнении ряда




2 2
1
n
n
n
со сходящимся рядом


2 2
1
n
n
, или:
– при сравнении ряда




1 1
1
n
n
с расходящимся рядом


1 1
n
n
И тогда на помощь приходит «старший брат»:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
18
1.6. Предельный признак сравнения
Это более мощный признак и самая настоящая «рабочая лошадка»:
Рассмотрим два положительных числовых ряда


1
n
n
a
и


1
n
n
b
. Если предел отношения общих членов этого ряда равен конечному, отличному от нуля числу:
k
b
a
n
n
n



lim
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Сразу рассмотрим ряд, для которого не сработал предыдущий признак сравнения:
Пример 18
Исследовать сходимость ряда




2 2
1
n
n
n
Сравним данный ряд со сходящимся рядом


2 2
1
n
n
. Используем предельный признак сравнения:
1 1
1
lim lim
2 2







n
n
n
b
a
n
n
n
n
– получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с n рядом


1 2
1
n
n
Почему для сравнения был выбран именно ряд


1 2
1
n
n
? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда
, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).
Примечание:
при использовании предельного признака не имеет значения, в каком
порядке составлять отношение общих членов, так, в рассмотренном примере отношение
можно было составить и наоборот:
2 2
1 1
lim
n
n
n
n



– это не изменило бы сути дела.
Аналогично доказывается расходимость ряда




1 1
1
n
n
при его предельном сравнении с гармоническим рядом. Решение приводить не буду – уж слишком оно элементарно. Лучше что-нибудь поинтереснее…, так, самостоятельно:
Пример 19
Исследовать сходимость ряда




1 1
3 1
n
n
–
обязательно решаем письменно!

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
19
Большим достоинством предельного признака является то, что он применим не только для многих рядов предыдущего параграфа:





1 2
2 1
n
n
n
,





1 2
3 5
1
n
n
n
,




1 3
3 1
n
n
,






1 2
4 7
3 2
1
n
n
n
n
и др., но и похожих рядов, где есть знаки «минус», например:





1 2
2 1
n
n
n
– при этом нам не надо расписывать и с чем-то сравнивать сами члены ряда. Просто берём соответствующие «эталонные» ряды


1 2
1
n
n
,


1 3
1
n
n
,


1 3
1
n
n
,


1 4
1
n
n
и по трафаретной схеме составляем и решаем пределы!
Более того, предельный признак работает и в более сложных случаях – когда многочлены есть на обоих этажах, при этом они могут находиться и под корнями.
Алгоритм решения почти такой же – нам нужно подобрать для сравнения подходящий ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда
Пример 20
Исследовать сходимость ряда






1 4
5 2
1
n
n
n
n
Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Как подобрать подходящий «эталон»


1
?
1
n
n
для сравнения?
1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего:
4 2n .
Если есть константа, её тоже отбрасываем:
4
n . Теперь извлекаем корень:
2 4
n
n 
Таким образом, старшая степень знаменателя равна двум.
2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, она равна единице.
3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1
Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом







1 1
1 1
1
n
n
n
n
, то есть, с расходящимся гармоническим рядом.
На чистовике эти рассуждения, как правило, не нужны, и очень скоро вы научитесь выполнять такой подбор устно.
Само оформление решения должно выглядеть примерно так, закомментирую ниже каждый шаг:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
20
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом


1 1
n
n
. Используем предельный признак сравнения:
)
7
(
)
5
(
2 4
2 2
)
4
(
4 2
)
3
(
4
)
2
(
4
)
1
(
5 2
lim
5 2
lim
5 2
)
1
(
lim
1 5
2 1
lim lim
































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
n
n
n
n
n
n
n
2 1
5 1
2 1
1
lim
0 4
0 3
0










n
n
n
n
– получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом


1 1
n
n
(1) Составляем отношение общих членов.
(2) Избавляемся от четырехэтажности.
(3) Раскрываем в числителе скобки.
(4) Неопределенность


устраняем стандартным способом деления числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(5) В самой нижней строке подготавливаем
2
n
для внесения под корень:
4 2
n
n 
(6) В знаменателе организуем общий корень.
Примечание:
на практике пункты 5, 6 можно пропустить, я их подробно
разжевал для тех, кто не очень понимает, как обращаться с корнями.
(7) Почленно делим числители на знаменатели и помечаем члены, которые стремятся к нулю.
Пример 21






1 2
4 7
2 3
1 5
n
n
n
n
– исследовать ряд на сходимость.
Это пример для самостоятельного решения.
По мере накопления опыта, вы будете сразу видеть, сходятся такие ряды или нет.
Например, рассмотрим ряд






1 2
3 5
4 2
n
n
n
n
n
. Ага, 3 – 1 = 2, значит, ряд нужно сравнить со сходящимся рядом


1 2
1
n
n
, и сразу можно сказать, что наш «пациент» тоже сходится.
Осталось аккуратно оформить стандартное рутинное решение.

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
21
1.7. Признак Даламбера
Работайте, работайте – а понимание придёт потом. Ж.Л. Даламбер
Запрягаем вторую «рабочую лошадку» числовых рядов. И, прежде всего, о предпосылках её эксплуатации. Если предельный признак срабатывает для многочленов и корней, то
признак Даламбера применяется в тех случаях, когда:
1) В общий член ряда входит какое-нибудь число в степени, например,
n
2 ,
n
3
,
n
5
и т.д. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.
2) В общий член ряда входит
факториал
. Что такое факториал? Ничего особенного, факториал – это всего лишь свёрнутая запись произведения:
1
!
0 
1
!
1 
2 1
!
2


3 2
1
!
3



4 3
2 1
!
4




…
n
n





3 2
1
!
)
1
(
3 2
1
)!
1
(








n
n
n
…
Как и в пункте 1, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.
3) Если в общем члене ряда есть «цепочка» множителей, например,
)
1 2
(
5 3
1





n
. Этот случай встречается редко, но при исследовании такого ряда часто допускают ошибку, и я обязательно разберу соответствующий пример!
Кроме того, в «начинке» ряда может встретиться одновременно и степень и факториал, или два факториала, или две степени – важно чтобы там находилось хоть что-
то из рассмотренных пунктов. К перечисленным весёлостям могут прилагаться многочлены, но это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера:
Рассмотрим положительный числовой ряд


1
n
n
a
. Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему:
D
a
a
n
n
n




1
lim
, то:
1) При
1

D
ряд сходится. В частности, ряд сходится, если
0

D
2) При
1

D
ряд расходится. В частности, ряд расходится, если


D
3) При
1

D
признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.
Чаще всего
1

D
получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения
. Можете попробовать взять любой ряд предыдущего параграфа, самое простое




1 1
1
n
n
, и убедиться в этом самостоятельно.
И, наконец, долгожданные задачи:

© Емелин А., Полную и свежую версию книги можно найти на странице http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
22