В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
−1 = f и bf b −1 = d. Поэтому если один из элементов d, f входит в нормальную подгруппу, то и второй также входит. Так как df = a, тов этом случае элемент a также входит в нормальную подгруппу. Получаем нормальную подгруппу {e, a, d, f } (см. 102), факторгруппа по которой Так как bgb −1 = h, bhb −1 = g и hg = a, то также, как выше, получаем нормальную подгруппу {e, a, g, h}, факторгруппа по которой Если же нормальная подгруппа не содержит элементов b, c, d, f , g, h, то она совпадает с нормальной подгруппой {e, a}, факторгруппа по которой изоморфна группе Z 2 × см. 100, Ответ. Нормальные подгруппы 1) {e, a, b, }, 2) {e, a, d, f }, 3) {e, 129 a, g, h}, 4) {e, a}. Факторгруппа в случаях 1 — 3 изоморфна в случае 4 изоморфна Z 2 × г) Пусть {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} данная группа. Если h — любой элемент, отличный от 1 и −1, то h 2 = −1. Поэтому любая нормальная подгруппа (отличная от {1}) содержит элемент −1. Первую нормальную подгруппу получаем, если ограничимся элементами {1 − Разложение по ней показано в табл. Так как i 2 = j 2 = k 2 = Таблица то A 2 = B 2 = C 2 = E и следовательно, фак- торгруппа в этом случае изоморфна Z 2 × Так как элемент −1 входит в любую (нетривиальную) нормальную подгруппу, то элементы и −i либо оба входят, либо оба не входят в нормальную подгруппу. Тоже верно для j и −j, k и −k. Так как (нетривиальная) нормальная подгруппа в группе кватернионов может содержать только 2 или 4 элемента (см. теорему Лагранжа, то мы получаем еще только 3 нормальные подгруппы (см. 102): {1, −1, i, −i}, {1, −1, j, −j}, {1, −1, k, −k}. Факторгруппа в этих случаях изоморфна Ответ. Нормальные подгруппы 1) {1, −1}, 2) {1, −1, i, −i}, 3) {1, −1, j, −j}, 4) {1, −1, k, −k}. Факторгруппа в случае 1 изоморфна Z 2 , в случаях 2–4 изоморфна Z 2 112. a) См. 99, 60. Пусть n = dk. В табл. 13 показано разложение группы Z n = {e, a, a 2 , . . . , a n−1 } по подгруппе {e, a d , a 2d , . . . . . . , a (k−1)d } (l пробегает все значения от 0 до k − 1). Элемент a принадлежит классу и наименьшее положительное m такое, что a принадлежит классу E, равно d. Поэтому порядок элемента в факторгруппе равен d и, следовательно, факторгруппа изоморфна б) См. 99, 61. Табл. 13 дает разложение группы Z = {. . . , a −2 , a −1 , a, a 2 , . . . } по подгруппе {. . . , a −2d , a −d , e, a d , a 2d , . . . } (l = 0, ±1, ±2, . . . ). Также как в случае а) получаем, что факторгруппа изоморфна Таблица. См. 97. Некоторое множество вращений будет нормальной подгруппой группы вращений тетраэдра тогда и только тогда, когда оно состоит из нескольких классов, построенных при решении задачи (для группы вращений, и является подгруппой. Если нормальная подгруппа содержит вращение (на или 240 ◦ ) относительно некоторой высоты тетраэдра, то она содержит и второе вращение вокруг этой высоты и, следовательно, содержит все вращения вокруг всех высот тетраэдра. Если a = A B C D A C D и b = A B C D C B D вращения вокруг высот, опущенных соответственно из вершин A и то ab = A B C D D C B A — вращение на вокруг оси, проходящей через середины ребер AD и . Поэтому в этом случае нормальная подгруппа содержит также все вращения на вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер и, следовательно, совпадает со всей группой вращений тетраэдра. Таким образом, в группе вращений тетраэдра имеется только одна (нетривиальная) нормальная подгруппа, состоящая из тождественного преобразования и трех вращений на вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер. Факторгруппа по этой нормальной подгруппе содержит 3 элемента и, следовательно, изоморфна см. 50). 114. Пусть (g 1 , g 2 ) — произвольный элемент из G 1 × и (g 3 , e 2 ) произвольный элемент подгруппы G 1 × {e 2 }. Тогда элемент (g 1 , g 2 ) × × (g 3 , e 2 ) · (g 1 , g 2 ) −1 = (см. решение 69)= (g 1 g 3 , g 2 ) · (g −1 1 , g −1 2 ) = = (g 1 g 3 g −1 1 , e 2 ) содержится в G 1 × {e}. Поэтому G 1 × {e} — нормальная подгруппа в G 1 × Пусть (g 1 , a) — произвольный элемент группы G 1 × G 2 . Посмотрим, какой смежный класс по нормальной подгруппе G 1 × порождается этим элементом. Если умножать элемент (g 1 , a) на все элементы нормальной подгруппы G 1 × { 2 } (например, справа), то получим все элементы вида (g, a), где g пробегает все элементы из Обозначим этот смежный класс T a . Таким образом, смежные классы по нормальной подгруппе G 1 × { 2 } — это классы вида T a , где a пробегает все элементы из группы G 2 . Так как (e 1 , a), (e 1 , b) и (e 1 , содержатся соответственно в классах T a , T b , T ab и (e 1 , a) · (e 1 , b) = = (e 1 , ab), то T a · T b = T ab . Взаимно однозначное отображение f группы на построенную факторгруппу такое, что f(a) = T a для любого из G 2 , является изоморфизмом, так как f(ab) = T ab = T a · Таким образом, факторгруппа группы G 1 × по нормальной подгруппе G 1 × {e 2 } изоморфна группе G 2 115. См. 57. Свойство 1 из задачи 57, очевидно, выполняется) eee −1 e −1 = e, поэтому e входит в коммутант. 3) Если k — коммутатор, то k −1 = (aba −1 b −1 ) −1 = (см. 23) = bab −1 a −1 , т. е. k −1 является коммутатором. По определению коммутанта любой его элемент a представляется в виде a = k 1 · k 2 · . . . · k n , где все k коммутаторы. Тогда a −1 = (k 1 · k 2 · . . . · k n ) −1 = k −1 n · . . . · k −1 2 · k −1 но все k −1 i — коммутаторы, поэтому принадлежит коммутанту. 116. Если g — произвольный элемент группы, k — коммутатор aba −1 b −1 , то и является коммутатором. Действительно gaba −1 b −1 g −1 = ga(g −1 g)b(g −1 g)a −1 (g −1 g)b −1 g −1 = = (Если a — любой элемент коммутанта, то a = k 1 · k 2 · . . . · k n , где все k i — коммутаторы. Поэтому gag −1 = g(k 1 · k 2 · . . . · k n )g −1 = = gk 1 (g −1 g)k 2 (g −1 g) · . . . · (g −1 g) · k n g −1 = (gk 1 g −1 )(gk 2 g −1 ) · . . . . . . · (gk n g −1 ) является произведением коммутаторов и, следовательно, содержится в коммутанте. Так как g — произвольный элемент группы, то получаем, что коммутант является нормальной подгруппой группы. Указание. Докажите, что aba −1 b −1 = e тогда и только тогда, когда ab = ba. 118. а) Так как группа симметрий треугольника не коммутативна, то коммутант в ней отличен от {e}. Если g — произвольное преобразование треугольника, то преобразования g и либо оба переворачивают треугольник, либо оба его не переворачивают. Поэтому в произведении g 1 g 2 g −1 1 g −1 либо 0, либо 2, либо 4 сомножителя, переворачивающих треугольники, следовательно, всегда элемент g 1 g 2 g −1 1 g −1 не переворачивает треугольник, те. является вращением. Поэтому в коммутант могут входить только вращения треугольника. Так как коммутант отличен от {e} и является подгруппой, то получаем (см. 58), что коммутант в группе симметрий треугольника совпадает с подгруппой всех вращений треугольника. б) Также как в случае а, получаем, что коммутант отличен от и содержит только вращения квадрата. Если g — произвольное преобразование квадрата, то g и либо оба меняют местами диагонали квадрата, либо оба переводят каждую диагональ в себя. Поэтому всегда элемент g 1 g 2 g −1 1 g −1 переводит обе диагонали в себя. Так как, кроме того, любой коммутатор является вращением квадрата, то он совпадает либо с e, либо с центральной симметрией a. Поэтому ком- мутант может содержать только элементы e и a, атак как он отличен от {e}, то он совпадает с подгруппой центральных симметрий {e, в) Элементы 1 и −1 перестановочны со всеми остальными элементами группы кватернионов. Поэтому если один из элементов g 1 , совпадает с 1 или −1, то g 1 g 2 g −1 1 g −1 2 = 1. Если g — любой элемент, ¡ ¢ £ Рис. отличный от 1 и −1, тот. е. g −1 = −g. Поэтому, если и g 2 — элементы, отличные от 1 и −1, то g 1 g 2 g −1 1 g −1 2 = = g 1 g 2 (−g 1 )(−g 2 ) = g 1 g 2 g 1 g 2 = (g 1 g 2 ) 2 . Но квадрат любого элемента в группе кватернионов равен или −1. Поэтому коммутант может содержать только элементы 1 и −1, атак как группа кватернионов не коммутативна, то коммутант отличен от {1}. Следовательно, коммутант — {1, −1}. 119. Также как при решении задачи 118 а, б), получаем, что коммутант в группе симметрий правильного угольника содержит только вращения. Пусть n нечетно, и пусть a — отражение угольника относительно оси l (рис, b — вращение угольника на угол p − p/n против часовой стрелки (переводящее вершину A в B). Тогда вращение угольника, переводящее (проверьте) вершину B в C, т. е. врашение против часовой стрелки на угол 2 p/n. Так как коммутант подгруппа, то получаем, что при n нечетном он содержит вращения на все углы, кратные 2 p/n. Так как коммутант содержит только вращения угольника, то при n нечетном он совпадает с подгруппой всех вращений правильного угольника, изоморфной см. Пусть теперь n = 2k. Впишем в правильный угольник угольник, соединив вершины через одну. Соединив через одну оставшиеся вершины, получим второй правильный угольник. Если g — любая симметрия правильного угольника, то преобразования g и либо оба меняют местами построенные 2 правильных угольника, либо ¡ ¢ £ Рис. оба переводят каждый угольник в себя. Поэтому любой коммутатор g 1 g 2 g −1 1 g −1 переводит каждый угольник в себя. Таким образом, при n = 2k коммутант может содержать только вращения на углы, кратные 2 p/k. Пусть c — вращение угольника против часовой стрелки на угол 2 p/nd, d отражение относительно оси m (рис. Тогда является вращением, переводящим (проверьте) вершину C в B, те. вращением против часовой стрелки на угол 4 p/n = 2p/k. Поэтому ком- мутант содержит все вращения на углы, кратные, и только их. Это подгруппа вращений плоскости, переводящих правильный угольник в себя. Она изоморфна см. 31). 120. Пусть k, l, m — оси, проходящие через середины противоположных ребер тетраэдра. Сопоставим им соответственно вершины K, L и M правильного треугольника KLM . При любом вращении тетраэдра либо все оси k, l и m переходят в себя, либо ни одна ось в себя не переходит (проверьте. Сопоставив подстановке осей k, l и m подстановку вершин K, L и треугольника KLM , получим, что каждому вращению тетраэдра будет соответствовать преобразование правильного треугольника KLM , которое обязательно будет вращением треугольника. Каждому коммутатору в группе вращений тетраэдра будет при этом соответствовать коммутатор в группе вращений треугольника KLM . Так как группа вращений треугольника коммутативна, то любой коммутатор в ней равен e. Поэтому любой коммутатор в группе вращений тетраэдра должен переводить каждую из осей k, l, m в себя. Следовательно, коммутант в группе вращений тетраэдра может содержать только тождественное преобразование и вращения на вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер. Так как группа вращений тетраэдра некоммутатив- на, то коммутант в ней отличен от {e}, атак как коммутант является нормальной подгруппой, то (см. 113) он совпадает с подгруппой, содержащей тождественное преобразование и все вращения на вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер. См. решение 113. 122. Симметрии тетраэдра g и либо обе меняют ориентацию тетраэдра, либо обе не меняют (см. решение 67). Поэтому любой коммутатор сохраняет ориентацию тетраадра. Таким образом, коммутант в группе симметрий тетраэдра содержит только вращения тетраэдра. Если a = A B C D A C D и b = A B C D A B D C — две симметрии тетраэдра, то aba −1 b −1 = A B C D A D B вращение вокруг оси, проходящей через вершину A. Так как коммутант является нормальной подгруппой (см. 116), то (см. 121) коммутант в группе симметрий тетраэдра совпадает с подгруппой вращений тетраэдра 123. Ответ. 24. Для куба 1) тождественное преобразование) вращения (их 9) на 90 ◦ , и вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней 3) вращения (их 6) на вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер) вращения (их 8) на и вокруг осей, проходящих через противоположные вершины. Если соединить центры соседних граней куба, то получим октаэдр. Тогда каждому вращению куба будет соответствовать вращение октаэдра и наоборот. При этом композиции вращений куба будет соответствовать композиция вращений октаэдра и мы получаем изоморфизм группы вращений куба на группу вращений октаэдра. Если зафиксировать положение куба и различными считать раскраски, при которых хотя бы одна грань окрашена по-разному, то всего раскрасок будет 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 720, так как первой краской можно закрасить любую из 6 граней, второй краской — любую из оставшихся и т. д. Так как из одной раскраски можно с помощью вращений получить 24 раскраски (см. 123), то для куба ответ 720/24 = 30 способов. Так как существует лишь 4 вращения, переводящих спичечный коробок в себя (тождественное преобразование и 3 вращения на вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней, то для спичечного коробка ответ 720/4 = 180 способов. Ответ. Группе симметрий ромба и группе Z 2 × Z 2 127. Указание. а) см. 57. б) Воспользуйтесь тем, что g и либо оба меняют тетраэдры местами, либо оба переводят каждый тетраэдр в себя. Вращения куба g и либо оба меняют местами тетраэдры ACB 1 D 1 и A 1 C 1 BD (см. рис, либо оба переводят каждый тетраэдр в себя. Поэтому любой коммутатор переводит оба тетраэдра в себя. Отсюда любому элементу коммутанта группы вращений куба соответствует вращение тетраэдра Пусть a — вращение куба на вокруг оси, проходящей через центры граней ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , и такое, что вершина B переходит в A. И пусть b — вращение куба на вокруг оси, проходящей через вершины и C, и такое, что вершина A переходит в Тогда вращение переводит (проверьте) вершину A в себя, а вершину A 1 , в D, те. является нетождественным вращением куба вокруг оси, проходящей через вершины A и C 1 . Это вращение является также вращением тетраэдра вокруг оси, проходящей через вершину A. Отсюда легко показать (см. 121), что коммутант в группе вращений куба содержит все вращения, переводящие тетраэдр в себя. Атак как он содержит только такие вращения, получаем, что коммутант в группе вращений куба изоморфен группе вращений тетраэдра. Пусть A, B — два произвольных смежных класса и a, b — их представители. Так как элемент содержится в коммутанте, то ABA −1 B −1 = E. Отсюда AB = BA. 130. Пусть a, b — произвольные злементы группы и A, B — смежные классы, в которые они входят. Так как AB = BA, то ABA −1 B −1 = E. Поэтому коммутатор содержится в нормальной подгруппе. Таким образом, N содержит все коммутаторы, а значит, и весь коммутант. 131. Пусть h 1 , h 2 — произвольные элементы из N и g — произвольный элемент группы G. Так как N — нормальная подгруппа, то элементы и принадлежат N . Поэтому g(h 1 h 2 h −1 1 h −1 2 )g −1 = = gh 1 (g −1 g)h 2 (g −1 g)h −1 1 (g −1 g)h −1 2 g −1 = (gh 1 g −1 )(gh 2 g −1 )(gh 1 g −1 ) −1 × × (gh 2 g −1 ) −1 — коммутатор в нормальной подгруппе N , те. содержится в K(N ). Произвольный элемент a из K(N ) представим в виде, где все k i — коммутаторы в N . Ноте. содержится в K(N ) и, следовательно, K(N ) — нормальная подгруппа группы G. 132. Пусть и f 2 — произвольные элементы группы F . Так как f — гомоморфизм группы G на группу F , то найдутся элементы и группы G такие, что f(g 1 ) = и f(g 2 ) = f 2 . Тогда f 1 f 2 = f(g 1 ) f(g 2 ) = f(g 1 g 2 ) = f(g 2 g 1 ) = f(g 2 ) f(g 1 ) = f 2 f 1 . Значит, группа F коммутативна. Обратное утверждение неверно. См. пример 12 (стр. 39 ). 133. Пусть f(e G ) = x. Тогда x·x = f(e G ) f(e G ) = f(e G e G ) = f(e G ) = = x. Отсюда x · x = x и x = e F 134. f(a)f(a −1 ) = f(aa −1 ) = f(e G ) = (см. 133) = Отсюда f(a −1 ) = [ f(a)] −1 135. Пусть a и b — произвольные элементы группы G. Тогда) = f 2 ( f 1 (ab)) = f 2 ( f 1 (a) · f 1 (b)) = f 2 ( f 1 (a)) · f 2 ( f 1 (b)) = = (( f 2 f 1 )(a)) · (( f 2 f 1 )(b)). 136. Если f(a) = A и f(b) = B, то f(a) · f(b) = A · B = (по определению умножения смежных классов) = f(ab). 137. см. 57. 1) Если a и b содержатся в Ker f, то f(a) = e F , f(b) = и f(ab) = f(a)f(b) = e F e F = и, следовательно, ab также содержится в Ker f. 2) f(e G ) = (см. 133) = e F . Поэтому содержится в Ker f. 3) Если f(a) = e F , то f(a −1 ) = (см. 134) = [ f(a)] −1 = e −1 F = e F . Поэтому, если a содержится в Ker f, то и содержится в Ker f. 138. Пусть a — произвольный элемент из ядра Ker f и g — произвольный элемент группы G. Тогда f(a) = и f(gag −1 ) = f(g)f(a)f(g −1 ) см. 134) = f(g) · e F · [ f(g)] −1 = e F . Поэтому элемент также содержится в Ker f и, следовательно, Ker f — нормальная подгруппа группы G. 139. Пусть элементы и лежат водном и том же смежном классе g Ker f. Тогда найдутся элементы ив такие, что g 1 = и g 2 = gr 2 . Тогда f(g 1 |