В. Б. Алексеев теорема абеля в задачах и решениях мцнмо, 2001
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
(1 − t)? 248. Пусть z 1 (t) и z 2 (t) — параметрические уравнения кривых и C 2 , и пусть z 1 (t) = z 2 (0). Какая кривая описывается уравнением z 3 (t), если z 3 (t) при 2 , z 2 (2t − при 2 < t 1? 249. Пусть z(t) = cos pt + i sin pt (рис. Найти все значения) в зависимости от t. 250. Пусть z(t) = cos pt + i sin pt. Как нужно выбрать одно из значений Arg z(t) при каждом t, чтобы выбранные ¡ ¢ Рис. значения изменялись непрерывно при изменении t от 0 допри условии, что z(0) выбран равным а) 0, б) в) −4 p, г) 2pk (k — фиксированное целое число). Следующее утверждение интуитивно кажется достаточно очевидными мы приведем его без доказательства. Т е орем а 6. Пусть непрерывная кривая C с параметрическим уравнением z(t) не проходит через начало координат те при 0 t 1), и пусть аргумент начальной точки кривой C те выбран равным Тогда можно так выбрать одно из значений аргумента для всех точек кривой C, чтобы при движении точки по кривой ее аргумент изменялся непрерывно, начиная со значения Другими словами, можно при каждом t выбрать f(t) — 74 одно из значений Arg z(t) так, чтобы функция f(t) была непрерывна при 0 t 1 и чтобы f(0) = f 0 *) 251. Пусть f(t) и f (t) — две функции, описывающие непрерывное изменение Arg z(t) вдоль кривой C. Доказать, что f(t) − f (t) = 2pk, где k — некоторое фиксированное целое число, независящее от t. 252. Доказать, что если выбрано некоторое значение f(0) = f 0 , то функция f(t), описывающая непрерывное изменение) вдоль кривой C, определяется однозначно. Пусть функция f(t) описывает непрерывное изменение. Доказать, что функция y(t) = f(t) − однозначно определяется функцией z(t) и не зависит от выбора Из утверждения задачи 253 вытекает, в частности, при t = 1, что для данной непрерывной кривой C, не проходящей через точку z = 0, величина f(1) − f(0) однозначно определяется условием непрерывного изменения Определение. Величину f(1) − f(0) будем называть изменением аргумента вдоль кривой C. 254. Чему равно изменение аргумента вдоль кривых со следующими параметрическими уравнениями) z(t) = cos pt + i sin б) z(t) = cos 2 pt + i sin в) z(t) = cos 4 pt + i sin 4pt, r) z(t) = (1 − t) + it? 255. Чему равно изменение аргумента вдоль кривых, изображенных на рис. 18 ? Если непрерывная кривая C замкнута, те то величина f(1) − f(0) имеет вид 2pk, где k — целое число. О пределен и е. Если для непрерывной замкнутой кривой C, не проходящей через точку z = 0, изменение аргумента равно 2 pk, то будем говорить, что кривая обходит k раз вокруг точки z = 0. 256. Сколько раз обходят вокруг точки z = 0 следующие кривые) В книге Ст и н род НЧ и н н У, Первые понятия топологии, Мир, 1967, §§ 20–23, строго и доступно определяется угол, заметаемый данной кривой. Используя это понятие, легко получить утверждение теоремы 6: достаточно положить f(t) = f 0 (t) +где f 1 (t) — угол, заметаемый частью данной кривой от z(0) до z(t). 75 Риса (рис. 19 ), б) z(t) = 1 2 cos 4 pt − 1 2 i sin 4 pt (рис. 20 ), в) кривая на рис. 21 , г) кривая на рис. 22 ? ¡ Рис. Рис. 20 257. Доказать, что число обходов непрерывной замкнутой кривой вокруг точки z = 0 не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления кривой. Пусть кривая C с уравнением z 1 (t) обходит k раз вокруг точки z = 0. Сколько раз обходит вокруг точки z = кривая с уравнением z 2 (t), если a) z 2 (t) = 2 · z 1 (t); б) z 2 (t) = = −z 1 (t); в) z 2 (t) = z 0 · z 1 (t), где z 0 = 0; г) z 2 (t) = где z — число сопряженное Определение. Пусть замкнутая непрерывная кривая с уравнением z 1 (t) не проходит через точку z = Тогда будем говорить, что кривая C обходит k раз вокруг точки z 0 , если кривая с уравнением z 2 (t) = z 1 (t) − обходит k раз вокруг точки z = 0 (рис Рис. Рис. 22 ¡ ¢ ¡ £ ¤ ¥ ¦ ¡ § ¤ ¥ ¦ ¨ ¡ £ ¤ Рис. Таким образом, для определения числа обходов кривой вокруг точки z = нужно следить за вращением вектора z 1 (t) − z 0 , который можно рассматривать как вектор, соединяющий точки и z 1 (t) (см. 221). 259. Сколько раз обходят вокруг точки z = 1 кривые, описанные в задаче 256? 260. Пусть z 1 (t) и z 2 (t) — уравнения кривых и C 2 , не проходящих через точку z = 0. Пусть изменения аргумента вдоль этих кривых равны соответственно и f 2 . Чему равно изменение аргумента вдоль кривой C с уравнением если a) z(t) = z 1 (t) · z 2 (t), б) z(t) = z 1 (t) z 2 (t) ? § 8. Отображение кривых. Основная теорема алгебры комплексных чисел Пусть даны две плоскости комплексных чисел — плоскость и плоскость w, и пусть задана функция w = f (z), которая каждому значению z ставит в соответствие однозначно определенное значение w. Если на плоскости z имеется непрерывная кривая C с уравнением z(t), топосредством функции w = f (z) каждая точка этой кривой отображается в некоторую точку плоскости w. Если при этом функция) непрерывна, тона плоскости w мы также получим непрерывную кривую с уравнением w 0 (t) = f (z(t)). Эту кривую мы будем обозначать f (C). 261. Что представляет собой кривая f (C), если w = = f (z) = z 2 , и кривая а) четверть окружности) = R cos pt 2 + i sin б) полуокружность z(t) = R(cos pt + i sin в) окружность z(t) = R(cos 2 pt + i sin 2pt)? 262. Пусть изменение аргумента вдоль кривой C равно. Чему равно изменение аргумента вдоль кривой если а) f (z) = z 2 , б) f (z) = z 3 , в) f (z) = z n , где n — произвольное натуральное число. Пусть кривая C обходит k раз вокруг точки z = Сколько раз обходит вокруг точки w = 0 кривая f (C), если f (z) = (z − z 0 ) n ? 264. Пусть кривая C обходит вокруг точек z = 0, z = 1, z = i, z = −i соответственно k 1 , k 2 , k 3 , раз. Сколько раз обходит вокруг точки w = 0 кривая f (C), если а) f (z) = = z 2 − z, б) f (z) = z 2 + 1, в) f (z) = (z 2 + iz) 4 , г) f (z) = = z 3 − z 2 + z − Рассмотрим уравнение a 0 z n + a 1 z n−1 + . . . + a n−1 z + a n = где все a i — произвольные комплексные числа, n 1 и a 0 = 0. Наша ближайшая цель — показать, что это уравнение имеет хотя бы один комплексный корень. Если a n = то уравнение имеет корень z = 0. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что a n = Обозначим наибольшее из чисел |a 0 |, |a 1 |, . . . , |a n | через. Так как a 0 = 0, то A > 0. Выберем положительные действительные числа и R 2 , причем выберем настолько малым, чтобы выполнялись два неравенства 1 и R 1 < |a n | 10An , а настолько большим, чтобы выполнялись два неравенства R 1 1 и R 2 > 10An |a 0 | 265. Пусть |z| = R 1 . Доказать, что n + . . . + a n−1 z| < |a n | 10 266. Пусть |z| = R 2 . Доказать, что a 1 z + . . . + a n z Кривую с уравнением z(t) = R(cos 2 pt + i sin 2pt) (т. е. окружность радиуса R, проходимую против часовой стрелки) обозначим C R . Так как кривая замкнута (z(1) = = z(0)), то и кривая f (C R ), где f (z) = a 0 z n + . . . + a n , также замкнута (f (z(1)) = f (z(0))). Пусть n(R) — число обходов кривой f (C R ) вокруг точки w = 0 (если f (C R ) не проходит через точку w = 0). 267. Чему равны значения n(R 1 ) и Будем теперь изменять радиус R непрерывно от до R 2 . При этом кривая f (C R ) будет непрерывно деформироваться от положения f (C R 1 ) до положения f (Если при некотором значении R кривая f (C R ) не проходит через точку w = 0, то при достаточно малых изменениях кривая f (C R ) будет деформироваться так мало, что число ее обходов вокруг точки w = 0 не изменится, те. приданном значении R функция n(R) непрерывна. Если бы кривые f (C R ) при всех значениях не проходили через точку w = 0, то n(R) было бы непрерывной функцией при всех R 1 R R 2 . Так как функция принимает только целочисленные значения, то она может быть непрерывна, только если n(R) при всех R из отрезка R 1 R R 2 принимает одно и тоже значение в частности, должно быть n(R 1 ) = n(R 2 ). Но из решения задачи следует, что n(R 1 ) = 0, a n(R 2 ) = n. Следовательно, предположение о том, что кривые f (C R ) при всех не проходят через точку w = 0, неверно. Значит, при некотором должно быть f (z) = 0. Тем самым мы получаем теорему) Наше рассуждение содержит некоторые нестрогости и должно рассматриваться, вообще говоря, как идея доказательства. Однако это рассуждение можно (хотя и непросто) сделать абсолютно строгим Теорема (основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякое уравнение a 0 z n + a 1 z n−1 + . . . + a n−1 z + a n = где все a i — произвольные комплексные числа, n 1 и a 0 = 0, имеет по крайней мере один комплексный корень. Доказать теорему Безу ***) : если z 0 — корень уравнения, то многочлен a 0 z n + . . . . . . + a n−1 z + a делится на двучлен z − без остатка. Доказать, что многочлен a 0 z n + . . . + a n−1 z + a где a 0 = 0, представим в виде a 0 z n + . . . + a n−1 z + a n = a 0 (z − z 1 )(z − z 2 ) · . . . · (z − z Замечание. Пусть многочлен P (z) разложен на множители Правая часть равна 0 тогда и только тогда, когда хотя бы одна из скобок равна 0 (см. 195, 197). Поэтому корнями уравнения P (z) = 0 являются числа z 1 , z 2 , . . . , z и только они. Пусть z 0 — корень уравнения a 0 z n + . . . + a n−1 z + a n = где все a i — действительные числа. Доказать, что число сопряженное z 0 , — также корень этого уравнения. Пусть уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z 0 , не являющийся действительным числом. Доказать, что многочлен a 0 z n + . . . + a n−1 z + a делится на некоторый многочлен второй степени с действительными коэффициентами. (см., например, Ст и н род НЧ и н н У, Первые понятия топологии, Мир, 1967). См. также Борисович ЮГ. и др, Введение в топологию, М, Физматлит, 1995. **) Эта теорема доказана в 1799 году немецким математиком К. Гауссом (1777–1855). ***) Безу (1730–1783) — французский математик 272. Доказать, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения многочленов первой и второй степени с действительными коэффициентами. З а меча ни е. Из результата задачи 272 вытекает, что неприводимыми многочленами (см. стр) над полем действительных чисел являются только многочлены первой степени и многочлены второй степени без действительных корней. Мы воспользовались этим в § 3 этой главы. Над полем комплексных чисел неприводимыми многочленами, как следует из результата задачи 269, являются только многочлены первой степени. Вернемся снова к многочленам с произвольными комплексными коэффициентами. О пределен и е. Пусть z 0 — корень уравнения a 0 z n + . . . + a n−1 z + a n = Говорят, что z 0 — корень кратности k, если многочлен a 0 z n + . . . + a n−1 z + a делится на (z − z 0 ) k и не делится на − z 0 ) k+1 273. Какова кратность корней z = 1 ив уравнении Определение. Производной многочлена (z) = a 0 z n + a 1 z n−1 + . . . + a k z n−k + . . . + a n−1 z + a называется многочлен (z) = a 0 nz n−1 + a 1 (n − 1)z n−2 + . . . . . . + a k (n − k)z n−k−1 + . . . + a Производная обычно обозначается штрихом. Пусть P (z) и Q(z) — два многочлена. Доказать равенства а) (P (z) + Q(z)) = P (z) + Q (z); б) (c · P (z)) = = c · P (z), где c — произвольное постоянное комплексное число в) (P (z) · Q(z)) = P (z) · Q(z) + P (z) · Q (z). 275. Пусть P (z) = (z − z 0 ) n (n 1 — целое. Доказать, что P (z) = n(z − z 0 ) n−1 276. Доказать, что если уравнение P (z) = 0 имеет корень кратности k > 1, то уравнение P (z) = 0 имеет корень кратности k − 1, если же уравнение P (z) = 0 имеет корень кратности 1, то P (z 0 ) = 0. 81 § 9. Риманова поверхность функции w Выше мы рассматривали однозначные функции, при которых каждому значению аргумента соответствуетединственное значение функции. Однако в дальнейшем нас будут особо интересовать многозначные функции, при которых некоторым значениям аргумента соответствует несколько значений функции. Наш интерес к таким функциям легко объясним. Действительно, конечной целью нашего изложения является доказательство теоремы Абеля о том, что функция, выражающая корни общего уравнения й степени через коэффициенты, не выражается в радикалах. Но эта функция является многозначной, так как уравнение 5-й степени при фиксированных коэффициентах имеет, вообще говоря, 5 корней. Также многозначными являются и функции, выражающиеся в радикалах. Общая идея доказательства теоремы Абеля состоит в следующем. Многозначной функции комплексного аргумента мы сопоставим некоторую группу — так называемую группу Галуа. При этом окажется, что группа Галуа для функции, выражающей корни некоторого уравнения й степени через параметр z, не может совпадать ни с какой группой Галуа для функций, выражающихся в радикалах, и, следовательно сама эта функция не может выражаться в радикалах. Для того чтобы ввести понятие группы Галуа, мы введем сначала другое очень важное в теории функций комплексного переменного понятие — понятие римановой *) поверхности многозначной функции. При этом мы начнем с построения римановой поверхности для одного из простейших примеров многозначной функции, а именно функции w Как мы знаем, функция w = √ z принимает одно значе- *) В тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, мы слово «многозначные» будем часто опускать) Эварист Галуа (1811–1832) — французский математик, установивший общие условия разрешимости уравнений в радикалах, заложивший основы теории групп. Советуем прочесть И н ф ель д Л., Эварист Галуа (Избранник богов, М, Молодая гвардия, 1958. См. также Галуа Э, Сочинения, М, ГИТТЛ, 1936. *) Названы по имени Б. Римана (1826–1866) — немецкого математика ние w = 0 при z = 0 и два значения при всех z = 0 (см. При этом, если w 0 — одно из значений, то другое значение равно −w 0 277. Найти все значения: а) √ 1, б, в, г + i √ 3 (здесь — положительное значение корня). Проведем на плоскости z разрез по отрицательной части действительной оси от 0 дои для всех z, не лежащих на разрезе, выберем то значение w = √ z, которое лежит в правой полуплоскости плоскости w. При этом мы получим некоторую функцию, однозначную и непрерывную на всей плоскости z, исключая разрез, которую мы обозначим 1 √ z. Эта функция задает однозначное и непрерывное отображение плоскости z, исключая разрез, на правую полуплоскость плоскости w (рис. 24 ). ¡ ¢ ¡ ¢ Рис. Замечание. Если мы выберем Arg z так, что − p < < Arg z < p то для функции получим Arg 1 √ z = 1 2 Arg см. 229). Поэтому при отображении w = 1 √ z плоскость z стягивается наподобие веера к положительной части действительной оси с уменьшением угла веера вдвое и некоторым изменением длин вдоль лучей «веера». Если мы теперь для всех z, не лежащих на разрезе, выберем то значение w = √ z, которое лежит в левой полуплоскости плоскости w, то получим другую функцию, также однозначную и непрерывную на всей плоскости исключая разрез. Эта функция, которую мы обозначим, задает однозначное и непрерывное отображение плоскости, исключая разрез, на левую полуплоскость плоскости (рис. Здесь = − 1 √ z. 83 Рис. Построенные нами функции и называются однозначными непрерывными ветвями функции w = √ z (приданном разрезе). Возьмем теперь два экземпляра плоскости z, которые мы будем называть листами, и на каждом проведем разрез по отрицательной части действительной оси от до −∞ (рис. Зададим на первом листе функцию, а ¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ Рис. на втором листе функцию 2 √ z. Тогда функции и мы можем рассматривать вместе как некоторую единую однозначную функцию, но заданную не на плоскости z, а на более сложной поверхности, состоящей из двух отдельных листов. При этом, если точка z движется непрерывно по первому листу (или по второму листу, не пересекая разреза, то построенная нами однозначная функция изменяется непрерывно. Если же точка z, двигаясь, например, попер- вому листу, переходит через разрез, то непрерывность нарушается. Это видно, например, из того, что близкие точки и B плоскости z переходят при отображении w = 1 √ z в далекие друг от друга точки A и B (см. рис. 24 ). С другой стороны, из рис. 24 и 25 легко заметить, что образ точки A при отображении w = 1 √ z (точка A ) оказывается близко с образом точки D при отображении w точка D Таким образом, если при пересечении разреза точка z 84 будет переходить с верхнего берега разрезана одном листе на нижний берег разрезана другом листе, то построенная нами однозначная функция будет изменяться непрерывно. Для того чтобы обеспечить нужное нам движение точки будем считать верхний берег разреза первого листа склеенным с нижним берегом разреза второго листа, а верхний Рис. берег разреза второго листа склеенным с нижним берегом разреза первого листа (рис. 9 ). При этом вовремя склейки мы будем между склеиваемыми берегами добавлять луч из точки 0 в Вовремя первой склейки для точек z, лежащих на этом луче, мы будем выбирать значения, лежащие на положительной части мнимой оси, а при второй склейке значения w = √ z, лежащие на отрицательной части мнимой оси. После проведения указанных склеек мы получим, что двузначная функция w = √ z заменилась некоторой другой функцией, которая однозначна и непрерывна, но только не на плоскости z, а на некоторой новой более сложной поверхности. Эта поверхность и называется римановой поверхностью функции w Попытки произвести указанные склейки без пересечений (не переворачивая плоскости) заканчиваются неудачей. Несмотря на это, мы будем считать, что рис. 9 является изображением римановой поверхности функции w принимая дополнительное соглашение, что пересечение по отрицательной части действительной оси является кажущимся. Для сравнения рассмотрим следующий пример. На рис. 7 (стр. 38 ) изображен остов куба. Хотя некоторые отрезки на рисунке пересекаются, номы легко соглашаемся стем, что это пересечение кажущееся, и это позволяет нам избегать ошибок. Риманову поверхность произвольной многозначной функции w(z) можно строить подобно тому, как мы построили риманову поверхность функции w = √ z. Для этого надо сначала выделить однозначные непрерывные ветви функции w(z), при этом некоторые точки z (разрезы) исключаются из рассмотрения. После этого полученные ветви надо склеить, восстанавливая разрезы, так чтобы получилась однозначная и непрерывная функция на построенной поверхности. Полученная поверхность и будет называться римановой поверхностью многозначной функции Таким образом, остается выяснить, как же выделять непрерывные однозначные ветви произвольной многозначной функции w(z) и как затем их склеивать. Для выяснения этих вопросов рассмотрим еще раз более подробно функцию w Пусть w(z) — многозначная функция, и пусть зафиксировано одно из значений функции w(z) в некоторой точке. Пусть w (z) — непрерывная однозначная ветвь функции, выделенная в некоторой области плоскости z (например, на всей плоскости, исключая какие-то разрезы, и такая, что w (z 0 ) = w 0 . Пусть, кроме того, C — непрерывная кривая, идущая из точки в некоторую точку и лежащая целиком в рассматриваемой нами области плоскости Тогда при движении точки z вдоль кривой C функция w (будет изменяться непрерывно от w (z 0 ) до w (Этим свойством можно воспользоваться ив обратную сторону, а именно для определения функции w (Действительно, пусть в некоторой точке зафиксировано одно из значений функции w(z), и пусть C непрерывная кривая, идущая из точки в некоторую точку z 1 . Будем двигаться по кривой C, выбирая для каждой точки z, лежащей на C, одно из значений функции) так, чтобы выбираемые значения изменялись непрерывно при движении z по кривой C, начиная со значения w 0 . При этом, когда мы достигнем точки z 1 , мы будем иметь вполне определенное значение w 1 = Мы будем говорить, что w 1 — значение w(z 1 ), определенное по непрерывности вдоль кривой C при условии w(z 0 ) = = w 0 . Если значения функции w(z), выбираемые для всех точек кривой C, изобразить на плоскости w, то должна получиться непрерывная кривая, которая начинается в) Такие построения можно провести не для каждой многозначной функции, однако для тех функций, которые будут рассматриваться в дальнейшем, такие построения провести действительно можно. См. Марку ш е в и ч АИ, Краткий курс теории аналитических функций, М, Наука, 1978. 86 точке и оканчивается в точке w 1 . Эта кривая является одним из непрерывных образов кривой C при отображении w = w(z). 278. Пусть для функции w(z) = √ z выбрано w(1) = = √ 1 = 1. Определить w(−1) = √ −1 по непрерывности вдоль а) верхней полуокружности радиуса 1 с центром вначале координат, б) нижней полуокружности (рис. 28 ). В действительности при определении функции по непрерывности вдоль некоторой кривой мы можем столкнуться с некоторыми неприятностями. Рассмотрим соответствующий пример. Найти все непрерывные образы w 0 (t) кривой C с параметрическим уравнением z(t) = 2t − 1 (рис) при отображении w = √ z, начинающиеся а) в точке i, б) в точке Рис. Рис. Из решения задачи 279 мы получаем, что даже при фиксировании образа начальной точки кривой C непрерывный образ кривой C при отображении w = √ z может определяться неоднозначно. Причем однозначность нарушается там, где кривая C проходит через точку z = 0. Оказывается, что только в этом случае и может нарушаться однозначность образа для функции w = √ z, так как только в этом случае оба образа точки z(t) подходят близко друг к другу, сливаясь в одну точку. Для того чтобы избежать неоднозначности непрерывных образов кривых при отображении w = √ z, можно выколоть точку z = 0 и запретить кривым проходить через эту точку. Но и это ограничение не дает нам пока возможности выделять однозначные непрерывные ветви функции w Действительно, если мы зафиксируем в некоторой точке одно из значений w 0 = w(z 0 ) и будем определять w(z 1 ) 87 в некоторой точке по непрерывности вдоль различных кривых, идущих изв, то мы можем получать разные значения w(z 1 ) (см, например, 278). Посмотрим, как можно избежать такой неоднозначности. Пусть изменение аргумента z(t) вдоль кривой равно f. Найти изменение аргумента w 0 (t) вдоль любого непрерывного образа кривой при отображении w(z) = √ z. 281. Пусть w(z) = √ z и пусть выбрано w(1) = √ 1 = Определить значение w(i) = √ i по непрерывности вдоль: а) отрезка, соединяющего точки z = 1 и z = i; б) кривой с параметрическим уравнением z(t) = cos 3 2 pt − i sin 3 в) кривой с параметрическим уравнением z(t) = cos 5 p 2 t + + i sin 5 p 2 t. 282. Пусть w(z) = √ z и пусть в начальной точке кривой выбрано w(1) = √ 1 = 1. Определить по непрерывности вдоль кривой C значение w(1) = √ 1 в конечной точке, если кривая C имеет уравнение а) z(t) = cos 2 pt + i sin б) z(t) = cos 4 pt − i sin 4pt, в) z(t) = 2 − cos 2pt − i sin 2pt. 283. Пусть C — замкнутая кривая на плоскости z те. Доказать, что значение функции в конечной точке кривой C, определенное по непрерывности, будет совпадать со значением в начальной точке тогда и только тогда, когда кривая C обходит вокруг точки z = 0 четное число раз. Для дальнейшего удобно ввести следующую символику. О пределен и е. Пусть C — непрерывная кривая с параметрическим уравнением z(t). Через будет обозначаться кривая, геометрически совпадающая с C, но проходимая в противоположном направлении ее уравнение (см. 247) z 1 (t) = z(1 − Определение. Пусть начальная точка кривой совпадает с конечной точкой кривой C 1 . Тогда под будет пониматься кривая, которая получится, если сначала пройти и затем см. 248). 284. Пусть и C 2 — две кривые, соединяющие точку сточкой, и пусть выбрано одно из значений Доказать, что значения, определенные по непрерывности вдоль кривых и C 2 , будут одинаковыми тогда и только тогда, когда кривая C −1 рис) обходит вокруг точки z = 0 четное число раз. Из утверждения последней задачи следует, в частности, что если кривая C −1 обходит 0 раз вокруг точки z = Рис. то значения функции в конечных точках кривых и C 2 , определенные по непрерывности, будут одинаковы, если одинаковы значения в начальных точках. Таким образом, для того чтобы выделялись однозначные непрерывные ветви функции w = √ z, достаточно сделать так, чтобы кривая не могла обойти ни разу вокруг точки z = 0. Для этого достаточно провести какой- нибудь разрез из точки z = 0 в бесконечность и запретить кривым пересекать этот разрез. Именно так мы и поступили выше, проведя разрез из точки z = 0 в −∞ по отрицательной части действительной оси. Если после проведения разреза зафиксировать в некоторой точке одно из значений w 0 = √ z 0 , а значение в любой другой точке определить по непрерывности вдоль какой- нибудь кривой C, идущей изв и не проходящей через разрез, тона всей плоскости, исключая разрез, определится некоторая однозначная непрерывная ветвь функции w = √ z. Если в точке зафиксировать другое значение w 0 = √ z 0 , то этим определится другая ветвь функции w = √ z. 285. Доказать, что для любой точки z, не лежащей на разрезе = 2 √ z. 286. Зафиксируем в некоторой точке значение w = 1 √ z и определим значения функции w = √ z в остальных точках плоскости z (исключая разрез) по непрерывности вдоль кривых, идущих из точки z и не проходящих через разрез. Доказать, что получающаяся однозначная непрерывная ветвь, совпадает с функцией (определенной из точки Из результата задачи 286 вытекает, что, выбирая в качестве начальной точки при выделении однозначных непрерывных ветвей различные точки плоскости z, мы будем получать один и тот же набор однозначных непрерывных ветвей, который зависит, таким образом, только от того, как проведены разрезы. Пусть точки и не лежат на разрезе и пусть ¡ ¢ Рис. кривая C, соединяющая точку с один раз пересекает разрез (рис. 31 ). Пусть выбрано значение и по непрерывности вдоль кривой определено значение w 1 = √ z 1 . Доказать, что значения и соответствуют разным ветвям функции w Таким образом, пересекая разрез, мы с одной ветви функции w = √ z переходим на другую ветвь, те. ветви соединяются между собой именно так, как мы соединили их раньше (см. рис. 9 ). При этом образуется риманова поверхность функции w Будем говорить, что некоторое свойство выполняется при обходе вокруг точки z 0 , если оно выполняется при однократном обходе против часовой стрелки по всем окружностям с центром в точке z 0 , имеющим достаточно малый радиус. Доказать, что при обходе вокруг точки мы остаемся на том же листе римановой поверхности функции w = = √ z, если z 0 = 0, и переходим на другой лист, если z 0 = Следующее понятие очень важно для дальнейшего. О пределен и е. Точки, при обходе которых может происходить переход с одних листов на другие теизме- няться значение функции, называются точками разветвления данной многозначной функции. Риманову поверхность функции w = √ z можно изобразить в виде схемы (рис. Эта схема показывает, что Рис. риманова поверхность функции w = √ z имеет листа, что точка z = 0 является точкой разветвления функции w = √ z и что при об) Более строго это означает следующее найдется такое действительное число d > 0, что указанное свойство выполняется при обходе по всем окружностям с центром z 0 , радиус которых меньше d. *) В математической литературе встречаются два названия этого понятия — точка разветвления и точка ветвления ходе вокруг точки z = 0 мыс любого листа переходим на противоположный лист. При этом стрелки в точке z = 0 показывают переходы с листа на лист не только при обходе точки z = 0, но и при пересечении в любом месте разреза, идущего из точки z = 0 в бесконечность. Ниже мы увидим, что такая связь между точками разветвления и разрезами, проведенными из них, не случайна. В дальнейшем мы в основном будем изображать не саму риманову поверхность некоторой многозначной функции, а ее схему 10. Римановы поверхности более сложных функций Рассмотрим многозначную функцию w = 3 √ z. 289. Пусть изменение аргумента вдоль кривой z(t) равно, и пусть w 0 (t) — непрерывный образ кривой z(t) при отображении w = 3 √ z. Найти изменение аргумента вдоль кривой w 0 (t). 290. Найти точки разветвления функции w = 3 √ z. 291. Пусть разрез проведен из точки z = 0 в −∞ по отрицательной части действительной оси, и пусть непрерывные однозначные ветви функции w = 3 √ z заданы условиями) = 1, f 2 (1) = cos(2 p/3) + i sin(2p/3) = −1/2 + i √ 3/2, f 3 (1) = cos(4 p/3) + i sin(4p/3) = −1/2 − Найти а) f 1 (i), б) f 2 (i), в) f 1 (8), г) f 3 (8), д) f 3 (−i). 292. Построить риманову поверхность и ее схему для функции w = 3 √ z. 293. Пусть C — непрерывная кривая с параметрическим уравнением z(t), и пусть w 0 — одно из значений n √ z(0). Доказать, что имеется хотя бы один непрерывный образ кривой при отображении w(z) = n √ z, начинающийся в точке. Пусть изменение аргумента вдоль кривой z(t) равно, и пусть w 0 (t) — непрерывный образ кривой z(t) при отображении w(z) = n √ z. Найти изменение аргумента вдоль кривой w 0 (t). 91 295. Найти точки разветвления функции Ранее (см. стр) мы ввели обозначение n = cos(2 p/n) + i Там же рассмотрены некоторые свойства этого комплексного числа. Пусть кривая z(t) не проходит через точку z = и пусть w 0 (t) — один из непрерывных образов кривой при отображении w = n √ z. Найти все непрерывные образы кривой z(t) при отображении w Пусть две непрерывные кривые и идут из некоторой точки в некоторую точку z 1 . Также, как для функции w = √ z (см. 284), доказывается, что если кривая ни разу не обходит вокруг точки z = 0, то функция w = n √ z определяется по непрерывности одинаково вдоль кривых и C 2 . Поэтому, также как для функции w если мы проведем какой-нибудь разрез из точки z = 0 в бесконечность, то функция w = n √ z распадается на непрерывные однозначные ветви. Проведем какой-либо разрез из точки z = 0 вне проходящий через точку z = 1, и определим непрерывные однозначные ветви функции n √ z условиями f i (1) = e где i пробегает значения от 0 до n − 1. Как выражаются ветви f i (z) через f 0 (z)? 298. Построить схему римановой поверхности функции. Для функции − 1 найти точки разветвления и построить схему римановой поверхности. Найти точки разветвления и построить схему римановой поверхности для функции n √ z + В тех случаях, когда многозначная функция будет иметь несколько точек разветвления, мы будем для выделения непрерывных однозначных ветвей проводить разрезы из каждой точки разветвления в бесконечность по каким-либо непересекающимся линиям. При этом схема римановой поверхности данной функции может существенно зависеть оттого, по каким именно линиям проведены разрезы из точек разветвления в бесконечность (соответствующий пример будет рассмотрен ниже в задачах 327 и 328). В тех случаях, когда такая ситуация имеет место, мы будем указывать, как проводятся разрезы Если же это несущественно, то указывать их не будем. Схемы римановых поверхностей, построенные читателем при решении предлагаемых ниже задач, могут отличаться от схем, приведенных в решениях, за счет различной нумерации листов. При соответствующей перенумерации листов эти схемы должны совпадать. Пусть f (z) — однозначная непрерывная функция и C — непрерывная кривая на плоскости z, начинающаяся в точке z 0 . Пусть w 0 — одно из значений n √ f (z 0 ). Доказать, что существует хотя бы один непрерывный образ кривой при отображении w = n √ f (z) начинающийся в точке Из результата задачи 301 вытекает возможность определения функции w = n √ f (z) по непрерывности вдоль любой кривой, не проходящей через точки, в которых нарушается однозначность непрерывных образов. Пусть f (z) — однозначная непрерывная функция и w 0 (z) — одна из непрерывных однозначных ветвей (при соответствующих разрезах) функции w(z) = n √ f (z). Найти все однозначные непрерывные ветви (при тех же разрезах) функции w(z). 303. Найти все точки разветвления и построить схемы римановых поверхностей для функций а − б+ 1. 304. Построить схемы римановых поверхностей следующих функций: а) 3 √ z 2 − 1, б − 1) 2 z, в+ 1) 2 305. Выделить непрерывные однозначные ветви и построить схему римановой поверхности для функции √ z 2 З а меча ни е. Из решения задачи 305 мы получаем, что точка z = 0 не является точкой разветвления функции √ z 2 В тоже время образы кривых, проходящих через точку z = 0, определяются неоднозначно. Например, непрерывными образами ломаной (рис) при отображении w являются ломаные COD, COF , EOD и EOF (рис. 33 ). Проходя через точку z = 0, мы можем остаться на том же листе (ломаные COD и EOF ) или перейти на другой лист (ломаные COF и EOD). Риманова поверхность функции w(z) имеет вид, показанный на рис. 34 О пределен и е. Точки, в которых нарушается однозначность непрерывных образов кривых, но которые не Рис. Рис. являются точками разветвления, мы будем называть точками неоднозначности данной функции. При построении схем римановых поверхностей из точек неоднозначности можно не проводить разрезы в бесконечность, достаточно эти точки выколоть, т. е. не проводить через них кривые. 306. Построить схемы римановых поверхностей следующих функций а+ 2, б) 4 √ z 2 , в) 4 (z − 1) 2 (z + 1) 3 , г 1) 3 (z + 1) 3 , д Ниже мы будем рассматривать и такие функции, которые не определены в некоторых точках. При этом такие точки могут оказаться точками разветвления. Построить схему римановой поверхности функции. Построить схемы римановых поверхностей следующих функций а − i , б − 1 z + 1 , в + i) 2 z(z − При решении задач этого параграфа мы везде получали, что после проведения непересекающихся разрезов из всех точек разветвления в бесконечность рассматриваемая функция распадается на однозначные непрерывные ветви, которые затем определенным образом соединяются по разрезам. Оказывается, что этим свойством обладает довольно широкий класс многозначных функций. В частности, таким свойством обладают все рассматриваемые ниже функции, а именно функции, выражающиеся в радикалах (§ и алгебраические функции (§ 14) (и те, и другие функции являются частными случаями более широкого класса так называемых аналитических функций, также обладающих указанным свойством). Доказательство этого утверждения выходит за рамки данной книги. Поэтому мы могли бы просто сослаться на существующую поэтому вопросу литературу *) и принять сформулированное выше утверждение без доказательства. (Читатель может таки поступить, перейдя сразу к чтению Однако при этому читателя может остаться некоторое чувство неудовлетворенности. И хотя мы не сможем полностью избавить читателя от этого чувства, мы все же покажем, что сформулированное выше свойство вытекает из другого свойства — так называемого свойства монодромии, которое выглядит более очевидным. Мы знаем, что для выделения однозначных непрерывных ветвей многозначной функции w(z) (в некоторой области плоскости z) необходимо, чтобы функция w(z) определялась по непрерывности одинаково, вдоль любых двух кривых и C 2 , лежащих в этой области и идущих из произвольной точки в некоторую другую точку z 1 . Свойство монодромии и связано с этим условием. Пусть многозначная функция w(z) такова, что при фиксировании любого ее значения в произвольной точке функция w(z) может быть определена по непрерывности (возможно, неоднозначно) вдоль любой непрерывной кривой, выходящей из точки и не проходящей через точки, в которых функция w(z) не определена. Скажем, что многозначная функция w(z) обладает свойством монодромии, если для нее справедливо следующее утверждение. С вой ст во м оно др ом и и. Пусть и C 2 — непрерывные кривые на плоскости z, начинающиеся в некоторой точке z 0 , кончающиеся в некоторой точке и не проходящие через точки разветвления и неоднозначности многозначной функции w(z). Пусть, кроме того, кривую можно непрерывно деформировать в кривую так, чтобы кривые, получающиеся при деформации, не проходили через точки разветвления функции w(z) и чтобы концы их оставались неподвижными (рис, a, b — точки разветв- *) См, например, Спр и н г ер Дж, Введение в теорию римановых поверхностей, ИЛа также Гур в и ц А, Курант Р., Теория функций, М, Наука, 1968. 95 ления). Тогда значение w(z 1 ) одинаково определяется по непрерывности вдоль кривых и если зафиксировано некоторое значение w 0 = Выясним, какие следствия вытекают из свойства моно- дромии. 309. Пусть функция w(z) обладает свойством монодро- мии. Проведем на плоскости z непересекающиеся разрезы ¡ ¢ £ ¤ ¥ ¡ ¥ ¦ Рис. из всех точек разветвления функции w(z) в бесконечность и выколем точки неоднозначности функции w(z). Доказать, что при этом функция распадается на однозначные непрерывные ветви. Пусть при условиях предыдущей задачи разрезы не проходят через точки неоднозначности функции w(z) и у w(z) конечное число точек разветвления. Доказать, что при пересечении некоторого разрезав определенную сторону) мыс любой фиксированной ветви функции будем переходить на одну и туже ветвь независимо оттого, в каком именно месте мы пересекаем разрез. З а меча ни е 1. При обходе вокруг точки разветвления мы один раз пересекаем разрез, идущий из этой точки в бесконечность. Поэтому в силу результата задачи 310 переходы с одних ветвей на другие при пересечении некоторого разрезав произвольном месте совпадают с переходами, получающимися при обходе (в соответствующую сторону) точки разветвления, из которой проведен разрез, и, следовательно, совпадают с переходами, указанными в этой точке в схеме римановой поверхности. З а меча ни е 2. Из результатов задачи вытекает, что если многозначная функция w(z) обладает свойством монодромии, то для w(z) можно построить риманову поверхность. Причем для выяснения структуры этой поверхности достаточно найти точки разветвления функции w(z) и установить переходы между ветвями функции w(z) при обходе этих точек. Все функции, которые будут рассматриваться ниже, обладают свойством монодромии. Строго доказать это утверждение мы здесь не сможем, так как для этого требуется привлечение понятия аналитической функции. Однако мы дадим идею доказательства того, что некоторая многозначная функция w(z) обладает свойством монодромии, предполагая, что эта функция является достаточно хорошей». Что это означает — будет видно из идеи доказательства. Итак, пусть выполняются условия из свойства монодро- мии. Пусть и C 2 — непрерывные образы кривых и при отображении w(z), начинающиеся в точке w 0 = Надо доказать, что кривые и оканчиваются водной и той же точке. Предположим сначала, что кривые, получающиеся при деформации вне проходят не только через точки разветвления, но и через точки неоднозначности функции) (см. стр. Пусть C — любая из таких кривых. Тогда существует единственный непрерывный образ кривой C при отображении w(z), начинающийся в точке w 0 = w(z 0 ). Если функция w(z) достаточно хорошая, то при непрерывной деформации кривой C от положения до положения кривые C непрерывно деформируются от положения до положения C 2 . При этом конечная точка кривой C также должна деформироваться непрерывно. Но кривая C оканчивается в точке z 1 , поэтому конечная точка кривой должна совпадать с одним из образов точки z 1 . Если функция w(z) принимает при каждом z (в частности, при z 1 ) лишь конечное число значений (а мы рассматриваем только такие функции, то конечная точка кривой C не может перескочить из одного образа точки в другой образ, так как при этом нарушится непрерывность деформации. Следовательно, конечные точки всех кривых C ив частности, кривых и C 2 , совпадают. Посмотрим теперь, что происходит, когда кривая переходит через точку неоднозначности функции которая не является точкой разветвления. Рассмотрим только частный случай, когда кривая изменяется лишь вблизи точки неоднозначности a (рис. Если в точке зафиксировано значение w 0 = w(z 0 ), то по непрерывно) Обычно теорема монодромии доказывается для произвольных аналитических функций. См, например, Спр и н г ер Дж, Введение в теорию римановых поверхностей, ИЛ, 1960, стр. 97. 97 сти однозначно определится значение w(z) в точке Рис. После этого одинаково определятся по непрерывности вдоль кривых и ABE значения w(z) в точке E, так как иначе при обходе по кривой изменялось бы значение функции и точка a была бы точкой разветвления функции w(z). После того как значения w(z) в точке E определились одинаково по обеим кривым, одинаково определяются по непрерывности вдоль кривой и значения w(z) в точке Таким образом, темным местом в нашем изложении осталось утверждение о том, что все рассматриваемые ниже функции являются достаточно хорошими». Здесь уж читателю придется либо принять это утверждение на веру, либо обратиться к более глубокому изучению аналитических функций 11. Функции, выражающиеся в радикалах О пределен и е. Пусть f (z) и g(z) — две многозначные функции. Под f (z) + g(z) будет пониматься многозначная функция, все значения которой в точке получатся, если каждое значение f (z 0 ) сложить с каждым значением Также определяются функции f (z) − g(z), f (z) · g(z), f (Под [f (z)] n , где n — натуральное число, будет пониматься функция, все значения которой в точке z 0 получатся, если каждое значение f (z 0 ) возвестив степень Под n √ f (z), где n — натуральное число, будет пониматься функция, все значения которой в точке z 0 получатся, если для каждого значения f (z 0 ) вычислить все n значений. Найти все значения а + √ 2i, б в + √ − 1, г) ( 4 (1 + i) 2 ), д) ( √ i + √ i) 2 *) См, например, Ша б ат Б. В, Введение в комплексный анализ, М, Наука, 1985 и Марку ш е в и ч АИ, Краткий курс теории аналитических функций, М, Наука, 1978. 98 Определение. Будем говорить, что многозначная функция h(z) выражается в радикалах, если она может быть получена из функции f (z) = z и постоянных функций g(z) = a (a — произвольное фиксированное комплексное число) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень и извлечения корней натуральной степени. Например, функция h(z) = 3 √ z + выражена в радикалах. Некоторые функции, выражающиеся в радикалах, мы уже рассматривали выше. Пусть функция h(z) выражается в радикалах, и пусть C — непрерывная кривая на плоскости z, начинающаяся в точке и не проходящая через точки, в которых функция h(z) не определена. Доказать, что если w 0 — одно из значений h(z 0 ), то имеется хотя бы один непрерывный образ кривой C при отображении w = h(z), начинающийся в точке w 0 . (Считаем, что параметрическое уравнение w(t) = a, где a — фиксированное комплексное число, задает непрерывную кривую, вырождающуюся в точку.) Из результата задачи 312 получаем, что произвольная функция h(z), выражающаяся в радикалах, может быть определена по непрерывности вдоль любой непрерывной кривой C, не проходящей через точки, в которых функция h(z) не определена. Если при этом кривая не проходит через точки разветвления и неоднозначности (см. стр) функции h(z), то функция h(z) определяется по непрерывности вдоль кривой C однозначно. Мы уже отмечали в предыдущем параграфе, что функции, выражающиеся в радикалах, являются достаточно хорошими, те. они обладают свойством монодромии. Поэтому для любой функции, выражающейся в радикалах, можно построить риманову поверхность (см. 309 и Выясним структуру этих римановых поверхностей. В дальнейшем всюду в этом параграфе можно предполагать, что речь идет о функциях, выражающихся в радикалах) Функции, выражающиеся в радикалах, являются аналитическими) Любая функция, выражающаяся в радикалах, имеет конечное число точек разветвления 313. Пусть h(z) = f (z) + g(z). Выколем из плоскости все точки неоднозначности функции h(z) и проведем непересе- кающиеся разрезы в бесконечность из всех точек, которые являются точками разветвления хотя бы одной из функций) или g(z). Пусть f 1 (z), . . . , f n (z) и g 1 (z), . . . , g n (z) непрерывные однозначные ветви функций f (z) и g(z) на полученной плоскости с разрезами. Найти непрерывные однозначные ветви функции Если при обходе точки мыс ветви f i 1 (z) переходим на ветвь f i 2 (z) и с ветви g j 1 (z) на ветвь g j 2 (z), то, очевидно, с ветви h i 1 ,j 1 (z) = f i 1 (z) + g j 1 (z) мы перейдем на ветвь h i 2 ,j 2 (z) = f i 2 (z) + g j 2 (z). Это подсказывает нам следующий формальный метод построения схемы римановой поверхности функции h(z) = f (z) + g(z) при условии, что построены (при тех же разрезах) схемы римановых поверхностей функций f (z) и g(z). Каждой паре ветвей f i (z) и g ставим в соответствие лист, на котором считаем заданной ветвь h i,j (z) = f i (z) + g j (z). Если в схемах римановых поверхностей функции f (z) ив точке указаны переходы с ветви f i 1 (z) на ветвь f i 2 (z) и с ветви g на ветвь g j 2 (z), тов схеме римановой поверхности функции) указываем в точке переход с ветви h i 1 ,j 1 (z) на ветвь h i 2 ,j 2 (z). 314. Построить схемы римановых поверхностей следующих функций а + √ z − 1, б 1 + √ 1/z, в + + 3 √ z, г 1 + 4 √ z − Описанный выше формальный метод построения схемы римановой поверхности функции h(z) = f (z) + g(z) не всегда дает правильный результат, так как он не учитывает, что некоторые из ветвей h i,j (z) могут оказаться равными. Для простоты будем считать, что разрезы не проходят через точки неоднозначности функции h(z). В таком случае при пересечении любого разреза мыс листов, соответствующих равным ветвям функции h(z), будем переходить, в силу однозначности, на листы, также соответствующие равным ветвям. Следовательно, если мы склеим листы, соответствующие одинаковым ветвям функции h(z), теза- меним каждое множество таких листов одним листом, то однозначно определятся переходы между полученными листами при обходе любой точки разветвления z 0 100 315. Найти все значения f (1), если а) f (z) = √ z +б) f (z) = √ z + 4 √ z 2 , в) f (z) = 3 √ z + 3 √ z. 316. Для указанных функций построить схему римановой поверхности формальным методом и истинную схему римановой поверхности а + √ z, б +в +Окончательно получаем, что для построения схемы римановой поверхности функции h(z) = f (z) + g(z) по схемам римановых поверхностей функций f (z) и g(z) (построенным при тех же разрезах) достаточно построить схему описанным выше формальным методом и затем произвести соответствующие склейки. Легко видеть, что этот алгоритм можно применять и при построении схемы римановой поверхности функций h(z) = f (z) − g(z), h(z) = f (z) · g(z), h(z) = f (z)/g(z). 317. Построить схемы римановых поверхностен следующих функций: а) i √ z − 4 √ z 2 , б − 1 · 4 √ z, в 1 4 √ z + 1 , г + √ z 3 √ z(z − 1) 318. Пусть f 1 (z), f 2 (z), . . . , f m (z) — все непрерывные однозначные ветви функции f (z). Найти при тех же разрезах все непрерывные однозначные ветви функции h(z) = = [f (z)] n , где n — некоторое натуральное число. Из результата последней задачи легко вытекает, что схема римановой поверхности функции h(z) = [f (z)] n совпадала бы со схемой римановой поверхности функции f (если бы все ветви h i (z) = [f i (z)] n были различными. Однако это не всегда так. Если получатся равные ветви, то при переходе через разрезы, мы в силу однозначности будем с равных ветвей переходить на равные ветви. Окончательно получаем, что для построения схемы римановой поверхности функции h(z) = [f (z)] n достаточно на схеме римановой поверхности функции f (z) рассмотреть вместо ветвей f i (z) ветви h i (z) = [f i (z)] n . Если при этом появятся одинаковые ветви, то нужно склеить соответствующие листы. Построить схемы римановых поверхностей следующих функций а) ( 4 √ z) 2 , б) ( √ z + √ z) 2 , в) ( √ z · 3 √ z − Изучим теперь, как связана схема римановой поверхности функции n √ f (z) со схемой римановой поверхности функции f (z). 320. Какие точки могут быть точками разветвления функции n √ f (Проведем на плоскости z разрезы из точек разветвления функции f (z) в бесконечность так, чтобы они не проходили через точки, в которых одно из значений функции f (равно 0, и выделим непрерывные однозначные ветви функции. Пусть это будут (однозначные) функции f 1 (z), f 2 (z), . . . , f m (z). Проведем дополнительно разрезы в бесконечность из точек, в которых одно из значений функции) равно 0. Пусть g(z) — одна из непрерывных однозначных ветвей функции n √ f (z) при этих разрезах. Доказать, что функция [g(z)] n совпадает с одной из функций f i (z) всюду, кроме разрезов. Из результата предыдущей задачи вытекает, что каждая ветвь функции n √ f (z) соответствует некоторой ветви функции f (z). 322. Пусть g(z) — непрерывная однозначная ветвь функции, соответствующая ветви f i (z) функции f (Найти все соответствующие ветви f i (z) непрерывные однозначные ветви функции n √ f (Из результата последней задачи мы получаем, что каждой ветви f i (z) функции f (z) соответствует пачка, состоящая из n ветвей функции n √ f (z). Мы занумеруем ветви в этой пачке f i,0 (z), f i,1 (z), . . . , f i,n−1 (z) причем так, чтобы для любого k выполнялось равенство f i,k (z) = f i,0 (z) · e Пусть z 0 — точка разветвления функции f (z), и пусть при обходе вокруг точки мыс ветви f i (z) переходим на ветвь f j (z). Тогда, очевидно, для функции n √ f (z) мы получим следующее со всех листов пачки, соответствующей ветви f i (z), мы при обходе вокруг точки будем переходить на листы пачки, соответствующей ветви f j (z). 323. Пусть C — кривая на плоскости z с параметрическим уравнением z(t), и пусть кривая на плоскости w с уравнением w 0 (t) является непрерывным образом кривой при отображении w = n √ f (z). Доказать, что кривая с уравнением также является непрерывным образом кривой C при отображении w = n √ f (z). 324. Пусть кривая C на плоскости z не проходит через точки разветвления и точки неоднозначности функции. Доказать, что если мы при движении вдоль кривой C переходим с ветви f i,s (z) на ветвь f j,r (z), то с ветви f i,s+k (z) мы перейдем на ветвь f j,r+k (z), где суммы s + k и r + k вычисляются по модулю n (см. Таким образом, для определения того, куда мы перейдем с листов данной пачки при обходе данной точки разветвления функции n √ f (z) достаточно определить, куда мы перейдем с одного из листов данной пачки, а для других листов этой пачки переходы определятся автоматически в силу результата задачи 324. 325. Построить схему римановой поверхности функции − 1. 326. Построить схемы римановых поверхностей следующих функций а − 2, б − В следующих двух задачах рассматривается пример, когда схема римановой поверхности функции зависит от того, как проведены разрезы. Построить схему римановой поверхности функции f (z) = √ z 2 + 1 − 2 при разрезах, изображенных а) на рис, б) на рис. В обоих случаях определить, на одном или на разных листах лежат точки z такие, что f (z) = 0. 328. Построить схему римановой поверхности функции h(z) = √ z 2 + 1 − 2 при разрезах, изображенных а) на рис, б) на рис. 40 Сформулируем еще раз те результаты этого параграфа, которые потребуются нам в дальнейшем. ¡ ¢ £ ¡ ¢ £ Рис. Рис. 38 103 Теорема. Для построения схемы римановой поверхности функций) = f (z) + g(z), h(z) = f (z) − g(z), h(z) = f (z) · g(z), h(z) = f (z)/g(z)no схемам римановых поверхностей функций f (z) и g(z), построенных при тех же разрезах, достаточно а) каждой паре ветвей f i (z) u g j (z) сопоставить лист, на котором считать заданной ветвь h i,j (z), равную соответственно f i (z) + g j (z), f i (z) − g j (z), f i (z) · g j (z), f i (z)/g Рис. Рис. б) если при обходе вокруг точки имеется переход с ветви f i 1 (z) на ветвь f i 2 (z) и с ветви g j 1 (z) на ветвь g j 2 (z), то для функции h(z) притом же обходе указать переход с ветви h i 1 ,j 1 (z) на ветвь h в) листы, на которых заданы одинаковые ветви h i,j (z), склеить. Т е орем а 9. Для построения схемы римановой поверхности функции h(z) = [f (z)] n по схеме римановой поверхности функции f (z), построенной при тех же разрезах, достаточно: а) на схеме римановой поверхности функции f (z) считать заданными вместо f i (z) ветви h i (z) = [f б) листы, на которых оказываются заданными одинаковые ветви h i (z), склеить. Т е орем а 10. При построении схемы римановой поверхности функции h(z) = n √ f (z) по схеме римановой поверхности функции f (z), построенной при тех же разрезах а) каждый лист схемы римановой поверхности функции) заменяется пачкой из n листов; б) при обходе вокруг любой точки разветвления функции) мыс листов одной пачки переходим на листы одной и той же пачки; в) эти переходы с одной пачки на другую совпадают с переходами между соответствующими листами римановой поверхности функции f (г) если листы в пачках перенумерованы так, что f i,k (z) = f i,0 (z) · e k n , то переходы с одной пачки на другую происходят без перемешивания листов, а только с циклическим сдвигом (см. 324). § 12. Группы Галуа многозначных функций Свяжем теперь с каждой схемой римановой поверхности некоторую группу подстановок. Пусть кривая C на плоскости z не проходит через точки разветвления и точки неоднозначности функции. Доказать, что при движении вдоль кривой мыс разных листов схемы римановой поверхности функции) будем переходить на разные листы. Таким образом, в силу результата задачи 329, обходу (против часовой стрелки) вокруг любой точки разветвления функции w(z) соответствует подстановка листов схемы римановой поверхности функции w(z), которая указывает, на какой лист мы переходим с каждого листа. Пусть схемы римановых поверхностей для функций, перечисленных в задаче 314, построены так, как это сделано в Указаниях, решениях, ответах (стр, и пусть листы на этих схемах занумерованы снизу вверх числами. Записать для каждой функции подстановки листов, соответствующие обходам вокруг каждой точки разветвления. Пусть g 1 , . . . , g s — некоторые элементы произвольной группы G. Рассмотрим все элементы группы G, которые могут быть получены из g 1 , . . . , g путем многократного применения операций умножения и взятия обратного элемента. Доказать, что полученное множество элементов образует подгруппу в группе Определение. Подгруппа, полученная в задаче называется подгруппой, порожденной элементами g 1 , 105 . . . . . . , g Определение. Пусть g 1 , . . . , g s — подстановки листов некоторой схемы римановой поверхности, соответствующие обходам (против часовой стрелки) вокруг всех точек разветвления. Подгруппу, порожденную элементами g 1 , . . . , g будем называть группой подстановок листов данной схемы римановой поверхности. З а меча ни е 1. Если число листов в схеме конечно (а мы рассматриваем только такие схемы, то при построении группы подстановок листов этой схемы достаточно использовать операцию умножения подстановок, а операцию взятия обратной подстановки можно исключить. Действительно, в этом случае любая подстановка листов g имеет некоторый конечный порядок k: g k = e, поэтому g −1 = g k−1 = g · g · . . . · g Замечание. Группы подстановок листов, которые будут строиться ниже, будут рассматриваться, как обычно, с точностью до изоморфизма. Поэтому нумерация листов будет не важна,так как при разных нумерациях получаются хотя и различные, но изоморфные подгруппы группы. Каким из известных вам групп изоморфны группы подстановок листов схем римановых поверхностей следующих функций а, б, в, г 1) (см. д − 1) 2 (z + см. 306). 333. Каким из известных вам групп изоморфны группы подстановок листов схем римановых поверхностей функций, перечисленных в задачах 1) 314, 2) 317, 3) 319? 334. Описать группу подстановок листов для обеих схем римановой поверхности функции h(z) = √ z 2 + 1 − 2, построенных при решении задачи Пусть точка не является точкой разветвления и неоднозначности многозначной функции w(z), и пусть w 1 , w 2 , . . . , w n — все значения функции w(z) в точке Рассмотрим некоторую непрерывную кривую C, начинающуюся и кончающуюся в точке и не проходящую через точки разветвления и неоднозначности функции w(z). Если мы выберем некоторое значение w i = w(z 0 ) и определим новое значение w(z 0 ) по непрерывности вдоль кривой то получим некоторое новое значение w j = w(z 0 ). При этом, начиная с разных значений w i , мы будем получать различные значения w иначе по кривой нарушилась бы однозначность. Следовательно, кривой C соответствует некоторая подстановка значений w 1 , w 2 , . . . w n . При этом, если кривой C соответствует подстановка g, то кривой соответствует подстановка и если кривыми с концами в точке z 0 ) соответствуют подстановки и g 2 , то кривой соответствует подстановка g 2 g 1 (напомним, что подстановки выполняются справа налево). Таким образом, если мы рассмотрим всевозможные кривые, начинающиеся и кончающиеся в точке z 0 , то соответствующие им подстановки будут образовывать некоторую группу подстановок значений w(z 0 ). 335. Пусть G 1 — группа подстановок значений и G 2 — группа подстановок листов некоторой схемы римановой поверхности функции w(z). Доказать, что группы и G 2 изоморфны. Заметим, что при определении группы подстановок значений) не использовалась никакая схема римановой поверхности функции w(z). Поэтому из результата задачи вытекает, что группа подстановок значений для произвольной точки и группа подстановок листов произвольной схемы римановой поверхности функции изоморфны. Следовательно, группы подстановок значений) для всех точек и группы подстановок листов всех схем римановых поверхностей функции w(z) изоморфны, те. являются фактически одной и той же группой. Эту группу будем называть группой Галуа многозначной функции w(z) *) § 13. Группы Галуа функций, выражающихся в радикалах Перейдем теперь к доказательству одного из основных утверждений этой книги, а именно следующей теоремы. Т е орем а 11. Если многозначная функция h(z) выражается в радикалах, то группа Галуа функции h(z) раз) Эту группу называют также группой монодромии. 107 решима (см. главу I, § Доказательство теоремы 11 заключено в решениях следующих задач. Пусть h(z) = f (z) + g(z), или h(z) = f (z) − или h(z) = f (z) · g(z), или h(z) = f (z)/g(z), и пусть схема римановой поверхности функции h(z) построена из схем римановых поверхностей функций f (z) и g(z) формальным методом (теорема 8, пункты а, б, стр. Доказать, что если F и G — группы подстановок листов исходных схем, то группа подстановок листов построенной схемы изоморфна некоторой подгруппе в прямом произведении F × G (см. главу I, § 7). 337. Пусть при условиях предыдущей задачи H 1 — группа подстановок листов схемы, построенной формальным методом, a H 2 — группа подстановок листов истинной схемы римановой поверхности функции h(z). Доказать, что существует гомоморфизм (см. главу I, § 13) группы на группу H 2 338. Пусть группы Галуа функций f (z) и g(z) разрешимы. Доказать, что тогда разрешимы группы Галуа следующих функций) = f (z) + g(z), h(z) = f (z) − g(z), h(z) = f (z) · g(z), h(z) = f (z)/g(z). 339. Пусть группа Галуа функции f (z) разрешима. Доказать, что группа Галуа функции h(z) = [f (z)] n также разрешима. Пусть H — группа подстановок листов схемы римановой поверхности функции h(z) = n √ f (z), а F — группа подстановок листов схемы римановой поверхности функции, построенной при тех же разрезах. Построить гомоморфизм группы H на группу F . 341. Доказать, что ядро гомоморфизма (см. главу I, § 13), построенного в решении предыдущей задачи, коммутативно. Пусть группа Галуа функции f (z) разрешима. Доказать, что группа Галуа функции h(z) = n √ f (z) также раз- решима. Функции константы h(z) = a и функция h(z) = z являются функциями однозначными и непрерывными во всей плоскости z. Поэтому их римановы поверхности состоят только из одного листа, и, следовательно, соответствующие им группы Галуа состоят только из одного элемента {e} и, значит, разрешимы. Отсюда, учитывая определение функций, выражающихся в радикалах (стр, и результаты задачи, получаем утверждение теоремы Замечание. Для читателей, знакомых с теорией аналитических функций, отметим следующее. Если группу Галуа функции h(z) определять как группу подстановок значений функции h(z) в некоторой точке см. стр. 107 ), то теорема 11 будет справедливой и для более широкого класса функций. Например, при построении функции кроме констант, тождественной функции, арифметических операций и радикалов, можно разрешить использовать любые однозначные аналитические функции (например z , sin z и т. д, многозначную функцию Ln z и некоторые другие функции. При этом группа Галуа функции h(z) будет разрешимой, хотя уже необязательно будет конечной 14. Теорема Абеля Рассмотрим уравнение 25w 3 + 60w − z = Мы будем считать z параметром и для каждого комплексного значения z будем искать все комплексные корни w этого уравнения. В силу результата задачи 269 данное уравнение при каждом z имеет 5 корней (с учетом кратности), некоторые из которых могут совпадать. Какие значения w могут быть кратными корнями (кратности больше 1, см. стр) уравнения 25w 3 |