В цифровую обработку

• Название: В цифровую обработку
• Дата: 01.03.2020
• Размер: 0.7 Mb.
• Имя файла: 010828.docx
• Тип: Документы; #110381
• страница: 3 из 23

Решение.

Z - изображение сигнала согласно (1.8)

X(Z) =x(nT) Z^-n = x(0T) Z^-0 + x(1T) Z^-1 = a + bZ^-1

Отсюда подстановкой (1.9) определяем спектр сигнала

X(jw) = a + be^-jwT.

Графики модуля и аргумента спектральной плотности приведены на рисунке 1.6, а, б на интервале частот [0 ; w_д].



Вне интервала частот [0 ; w_д] частотные зависимости повторяются с периодом w_д.

5. 
   Основные теоремы Z - преобразования.
   

Перечислим без доказательства теоремы z - преобразования, которые потребуются в последующих разделах.

1. Теорема линейности.

Если x(nT) = ax₁(nT) + bx₂(nT) ,

то X(Z) = a X₁(Z) + bX₂(Z).

2. 
   Теорема запаздывания.
   

Если x(nT) = x₁(nT - QT) ,

то X(Z) = X₁(Z) Z^-Q.

3. 
   Теорема о свертке сигналов.
   

Если X(nT) = x₁(kT) x₂(nT - kT) ,

то X(Z) = X₁(Z) X₂(Z).

4. 
   Теорема об умножении сигналов.
   

Если x(nT) = x₁(nT) x₂(nT) ,

то X(Z) = X₁(V) X₂() V^-1 dV,

где V, Z - переменные на плоскости Z.

5. 
   Теорема энергий (равенство Парсеваля).
   

x²(nT) =X(Z) X(Z^-1) Z^-1 dZ.

Z - преобразование дискретных сигналов имеет значение равное значению преобразования Лапласа непрерывных сигналов.

6. 
   Дискретное преобразование Фурье.
   

Если сигнал ограничен во времени значением t_u , а его спектр - частотой w_в , то он полностью характеризуется конечным числом отсчетов N как во временной, так и в частотной областях (Рис. 1.7, а, б) :

N = t_u/T - во временной области, где T = 1/f_д ,

N = f_д/f₁ - в частотной области, где f₁ = 1/t_u .



Дискретному сигналу соответствует периодический спектр, дискретному спектру будет соответствовать периодический сигнал. В этом случае отсчеты X(nT) = {X₀ ; X₁ ; … X_N-1} являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(jkw₁), период, который равен w_д. Соответственно, отчеты X(jkw₁) = {X₀ ; X₁ ; … X_N-1} являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(nT), период, который равен t_u.

Связь отсчетов сигнала и спектра устанавливается формулами дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Формулы ДПФ следуют из формул Фурье для дискретных сигналов (1.5), если непрерывную переменную w заменить дискретной переменной kw₁, то есть

w ® kw₁ , dw ® w₁.

После замены переменной в (1.5) получим

X(jkw₁) = x(nT),

x(nT) =X(jkw₁).

Отсюда после подстановки w₁ = w_д/N, T = 2p/w_д формулы ДПФ принимают окончательный вид

X(jkw₁) =