Исправленная контрольная по ОТМО. В. Г. Карташевский Основы теории массового обслуживания
![]()
|
Потоки бывают однородными и неоднородными (просто самолёты или самолёты по маркам). Обычно используют однородные потоки.Регулярный поток – события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. ![]() Рис.1.2. Поток событий при независимых ![]() Рассмотрим поток событий, представленный на рис.1.2, где Т1, Т2… - случайные интервалы времени (случайные величины), независимые между собой. Такой поток называется потоком Пальма или потоком с ограниченным после-действием. Поток называется ординарным, если для малого Δt выполняется условие: ![]() где ![]() ![]() Таким образом, поток можно считать ординарным, если за малый промежуток времени может произойти не более одного события (или ни одного события, вероятность чего обозначим ![]() Для любого Δtочевидно справедливо: ![]() т.к. составляющие формулы (1.2) определяют полную группу несовместных событий. Для ординарного потока: ![]() потому что ![]() ![]() ![]() В качестве примера ординарного потока можно привести ситуацию на автостраде, когда машины пересекают линию «Стоп», даже при многорядном движении. Пример неординарного потока – поток пассажиров, прибывающих в лифте на данный этаж. Стационарный поток определяется следующим образом. Для стационарного потока вероятность появления некоторого числа событий за интервал τ, зависит только от τ (длины интервала) и не зависит от расположения τ на оси t. Регулярный поток и поток Пальма с одинаково распределёнными интервалами Ti являются стационарными потоками. Возьмём ординарный поток. Среднее число событий, произошедших за время Δt (вычисляется по формуле математического ожидания): ![]() Если существует предел ![]() то ![]() ![]()
Пусть дан стационарный поток Пальма (см. рис.1.3). Все случайные интервалы времени между событиями независимы и имеют одинаковую функцию распределения F(t), которой соответствует плотность вероятности w(t). Здесь в соответствии с принятыми в теории вероятностей правилами записи формул, если случайная величина обозначена большой буквой Т, то аргумент плотности вероятности этой случайной величины обозначается малой буквой t. Это не должно приводить к путанице в обозначениях и ни в коем случае не означает, что w(t) рассматривается как функция текущего времени. На ось времени случайным образом «падает» точка S, и её положение никак не связано с моментами появления событий. Требуется найти закон распределения того участка T*, на который упала точка (см. рис.1.3). Описанная модельная ситуация возникает, когда пассажир (точка S) приходит на остановку, а автобус уже ушёл (предполагается, что поток автобусов – стационарный поток Пальма). ![]() Рис.1.3. Интервал времени, на который падает точка. Закон распределения ![]() ![]() Рис.1.4. К определению закона распределения ![]() ПустьT принимает два значения с вероятностью 0,5: t1=0,8 и t2=0,2. На остановку приходит пассажир. Более вероятно, что он попадёт на участок длины 0,8. Хотя в среднем число интервалов t1 и t2 одинаково, но t1 в четыре раза длиннее t2. Поэтому вероятность попадания в отрезок длиной 0,8 в четыре раза больше вероятности попадания в отрезок 0,2. Получается, что эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,2. Итак, закон распределения, на который упала точка, отличается от априорного. Найдём в общем виде плотность w*(t) того интервалаT*, на который случайным образом упала точка. Возьмём интервал (t, t+dt). Тогда: ![]() - вероятность того, что S попадёт на интервал, длина которого заключена в промежутке (t,t+dt). Эту вероятность можно определить как отношение суммарной длины таких промежутков на очень большом интервале к длине этого большого интервала. Пусть общее число промежутков (больших и маленьких) на большом интервале равно N. Среднее число промежутков, длина которых лежит в интервале (t, t+dt), по закону больших чисел равно ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ( ![]() Следовательно: ![]() При ![]() ![]() Как следует из (1.8) ![]() По определению характеристическая функция g(x)определяется как: ![]() и представляет собой прямое преобразование Фурье плотности вероятности. Характеристическая функция безразмерна, а перемен-ная x имеет размерность обратную размерности случайной величины T. Соответственно плотность вероятности по известной характеристической функции может быть найдена с помощью обратного преобразования Фурье ![]() Свойства характеристической функции:
Если все Ti распределены одинаково, то ![]()
![]() ![]() ![]() Поэтому ![]() ![]() где ![]() 4) Если случайная величинаT имеет характе-ристическую функцию ![]() ![]() ![]() Найдём характеристическую функцию случайной величины T* - интервала, на который случайным образом упала точка S. ![]() Заметим справедливость соотношения ![]() ![]() С использованием выражения (1.13) ( ![]() ![]() На основе выражений (1.16), (1.13) и (1.14) найдём числовые характеристики случайной величины T*. Среднее значение ![]() Из (1.17) следует, что всегда ![]() ![]() Найдём дисперсию случайной величины T*: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из (1.18) видно, что дисперсия ![]() ![]() 1.3. Закон распределения времени до наступления очередного события |