Исправленная контрольная по ОТМО. В. Г. Карташевский Основы теории массового обслуживания
![]()
|
Пусть имеется стационарный поток Пальма и точка S, занимающая на оси t любое положение (см. рис.1.5).![]() Рис.1.5. К определению закона распределения . Плотность распределения интервала T* отличается от плотности распределения ![]() ![]() Для этого рассмотрим гипотезу: интервал T* принял значение на участке (t* , t* + dt*). Вероятность справедливости этой гипотезы запишется как![]() Будем искать плотность распределения при условии справедливости сформулированной гипотезы. Эту условную плотность обозначим ![]() Нет оснований считать какой-то участок интервалаt*, на который упала точка S, более вероятным для положения этой точки, чем другой. Поэтому точка S на интервалеt* будет распределена равномерно и условная плотность ![]() ![]() Совместная плотность и T* имеет вид: ![]() Безусловная плотность: ![]() С учетом (1.19) подынтегральная функция отлична от нуля при 0 ![]() ![]() ![]() где F(x) - функция распределения случайной величины T. ![]() Итак: ![]() Здесь ![]() ![]() Найдем числовые характеристики случайной величины через её характеристическую функцию ![]() ![]() Интеграл в (1.24) можно вычислить по частям. Обозначая ![]() ![]() имеем ![]() ![]() Теперь ![]() где g(x) – характеристическая функция случайной величины T (как преобразование Фурье w(t)). Напомним, что согласно (1.11) ![]() ![]() поэтому: ![]() Найдем ![]() ![]() ![]() Если в последнем выражении подставить ![]() ![]() ![]() Согласно формуле (1.14) ![]() поэтому ![]() (после третьего знака равенства учтена формула (1.17)). Следовательно, математическое ожидание остатка ![]() Поступая аналогично, найдем дисперсию ![]() ![]() В заключение параграфа заметим, что случайные величиныН и зависимы (вследствие соотношения ![]() 1.4. Пуассоновский поток событий. Пуассоновский поток – это поток обладающий двумя свойствами – ординарностью и отсутствием последействия. Понятие ординарности было объяснено выше, а свойство отсутствия последействия можно сформулировать следующим образом: для двух неперекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих в один интервал, не зависит от того, сколько событий попало в другой. Пусть дан стационарный поток с интенсивностью ![]() - вероятность наступления одного события за время ![]() ![]() - вероятность ненаступления события ![]() Рассмотрим интервал ![]() ![]() где число сочетаний ![]() ![]() Рис. 1.6. К определению пуассоновского потока событий. Для вычисления факториалов используем формулу Стирлинга ![]() (при m=1 ошибка вычислений по (1.29) составляет 8%, при m=100 ошибка - 0,08%), а для вычисления ![]() ![]() ![]() С учетом сделанных замечаний формула (1.28) преобразуется к виду ![]() ![]() Рис.1.7. Распределение Пуассона Заметим, что распределение Пуассона удовлетворяет ус-ловию нормировки ![]() В случае нестационарного потока распределение Пуассо-на записывается в виде: ![]() где ![]() ![]() а ![]() В стационарном случае ![]() Найдем среднее и дисперсию распределения Пуассона. Среднее: ![]() Вычисление (1.32) иллюстрируется следующими соотношения-ми (с учетом условия нормировки) ![]() Дисперсия: ![]() Здесь необходимо отметить, что распределение Пуассона обладает уникальным свойством – равенством среднего и дисперсии, - что отличает его от всех известных распределений и может служить признаком при идентификации распределения на практике. Из отношения ![]() следует, что при больших ![]() ![]() Стационарный пуассоновский поток событий называет-ся простейшим потоком. Рассмотрим теперь интервалы времени (см. рис.1.8) между событиями в стационарном пуассоновском потоке, которые представляют собой непрерывные случайные величины. Возьмем начальный интервал времени (он ничем не отличается от всех остальных), и отметим после 0 некоторую точку x. На интервале (0, x) не будет ни одного события, если ![]() ![]() Рис.1.8. Анализ интервалов времени в пуассоновском потоке Вероятность выполнения этого неравенства может быть вычислена по формуле (1.30) для ![]() ![]() Далее: ![]() Последнее выражение - это (по определению) функция распределения случайной величины , т.е. ![]() ![]() т.е. для пуассоновского потока имеет экспоненциальное расп-ределение для ![]() ![]() Рис.1.9. Экспоненциальное распределение. Характеристики экспоненциального распределения: среднее - ![]() дисперсия - ![]() Если случайная точка S попадает на интервал ![]() ![]() Формула (1.35) – это распределение Эрланга 1-го порядка. При этом согласно формулам (1.17), (1.18) получим ![]() ![]() ![]() Сравнивая ![]() ![]() ![]() ![]() Теперь найдем ![]() ![]() что совпадает с экспоненциальным распределением, спра-ведливым для интервала времени между событиями в пуассоновском потоке, т.е. случайная величина распределена так же, как и T. Это является формой проявления свойства отсутствия последействия. Любая информация о том, как вел себя поток до точки S, не дает нам сведений о том, что произойдет после точки S. Вычислим характеристическую функцию интервала между соседними событиями в простейшем потоке. ![]() Итак, поток Пальма является простейшим, если характеристическая функция интервала между соседними событиями равна ![]() В заключение отметим одно важное свойство пуассоновского процесса. Пусть есть m пуассоновских потоков с интенсивностями ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Аналогично: ![]() 1.5. Вывод формулы Пуассона через производящую функцию. Рассмотрим поток событий, обладающий свойствами ординарности и отсутствия последействия. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Множитель ![]() ![]() ![]() ![]() Из последнего выражения легко получить ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() Это - дифференциально-разностные уравнения, которые удоб-но решать, используя производящую функцию. По определению производящая функция является Z – преобразованием распре-деления вероятностей и записывается в виде: ![]() гдеz – любое комплексное число, котороедает сходимость сум-мы в (1.40). Из (1.40) следует, что если ![]() ![]() ![]() При решении уравнений начало отсчета времени можно выбирать произвольно, даже после того, как произойдет некоторое число событий. Возможно, что при t=0 уже произошлоi событий. Тогда: ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом ![]() Из определения ![]() ![]() и ![]() Умножим систему (1.39) на ![]() ![]() ![]() Слева от знака равенства согласно (1.44) записана производная ![]() ![]() ![]() В итоге получаем дифференциальное уравнение ![]() которое, как известно, имеет решение: ![]() Константа C определяется из начальных условий. Пусть при t=0 не было ни одного события. Тогда из (1.42) следует, что ![]() ![]() Теперь воспользуемся формулой (1.41) : ![]() ![]() ![]() ![]() Последняя формула совпадает с распределением Пуассона, гдеt интерпретируется как интервал (0,t). |