Исправленная контрольная по ОТМО. В. Г. Карташевский Основы теории массового обслуживания
![]()
|
1.6 Другие стационарные потоки Пальма. Регулярный поток: Здесь ![]() ![]() Рис.1.10. Регулярный поток. Поэтому для постоянного интервала ![]() ![]() Напомним здесь основные свойства дельта-функции. 1. Фильтрующее свойство. Если ![]() ![]() 2. При ![]() ![]() 3. ![]() ![]() 4. ![]() Вернемся к регулярному потоку. Для него очевидно ![]() ![]() Как видно из (1.47) случайная точка S никак не изменяет вероятностные свойства интервала, на который она попадает. Найдём закон распределения времени от случайной точки до очередного события ![]() Получился равномерный закон для плотности вероятности. В этом нет ничего удивительного, если вспомнить, что при падении точки S было предположено, что она с равной вероятностью может попасть в любой бесконечно малый промежуток интервала Т*. Найдём числовые характеристики распределения (1.48). Из формулы (1.26) ![]() Из формулы (1.27) ![]() Характеристическая функция: ![]() Регулярный поток для моделирования потока событий используется редко, так как он обладает неограниченным последействием, т.е., зная лишь один момент наступления события в регулярном потоке, можно восстановить всё прошлое и предсказать всё будущее потока. Нормальный поток. По определению одномерная нормальная плотность вероятности имеет вид (формула записана применительно к случайной величине Т ): ![]() В (1.50) ![]() ![]() ![]() Рис.1.11. График нормальной плотности вероятности. Строго говоря, интервал времени не может быть распределён по нормальному закону, так как область определения нормального закона ![]() ![]() Устремим ![]() ![]() Плотность распределения интервала, на который случайным образом упала точка S: ![]() Соответственно плотность вероятности интервала от точки S до наступления очередного события имеет вид ![]() где ![]() Характеристическая функция нормального распределения ![]() Поток Эрланга Поток Эрланга получается путём особого преобразования («разрежения») простейшего потока. Это преобразование осуществляется путём выбрасывания некоторых событий из простейшего потока. Процесс «разрежения» потока поясняется на рис.1.12, где буквой П обозначен простейший поток. Если выбрасывается каждая вторая точка, то получается Э1 – поток Эрланга первого порядка. Если выбрасывается два события подряд и оставляется каждое третье, то получается Э2 – поток Эрланга второго порядка и т.д. Потоком Эрланга k-го порядка называется поток Пальма, у которого интервалы между событиями представляют собой сумму (k+1) независимых случайных величин, распределённых одинаково по экспоненциальному закону с параметром ![]() ![]() ![]() ![]() Рис.1.12. «Разрежение» простейшего потока. При ![]() Для простейшего потока характеристическая функция интервала времени между соседними событиями определяется в виде ![]() ![]() ![]() ![]() Совершая обратный переход от характеристической функции к плотности вероятности, получим для Эk: ![]() Функция распределения для этой плотности имеет вид ![]() Соответственно числовые характеристики определяются как ![]() ![]() При достаточно большом k (k>5) поток Эk можно считать приближённо нормальным. Это следует из того, что в Эk суммируется k+1 независимых величин (интервалов), распределённых одинаково, а такая сумма согласно центральной предельной теореме теории вероятностей (ЦПТ) при ![]() Предельная теорема для суммарного потока. Суммарный поток получается в результате «сложения» потоков. Для простейших потоков П1 и П2 «сложение» состоит в том, что все моменты появления событий в этих потоках относятся к одной оси времени, на которой отмечаются моменты появления событий в суммарном потоке П1+П2=П. ![]() Рис.1.13. Сложение простейших потоков. Как было установлено выше, для интенсивности суммарного потока справедливо: ![]() ![]() Предельная теорема для суммарного потока утверждает сходимость суммы независимых, ординарных, стационарных потоков к простейшему потоку. При этом условия, налагаемые на суммируемые потоки, приблизительно такие же, как и условия ЦПТ:
Сходимость к простейшему потоку осуществляется очень быстро (уже при ![]() Сложение нестационарных потоков даёт нестаци-онарный пуассоновский поток с интенсивностью ![]() Пуассоновский поток, как было показано выше, обладает устойчивостью (то есть при суммировании пуассоновских потоков вновь получается пуассоновский поток). Предельная теорема для редеющего потока. Рассмотрим специфическую операцию «разрежения» потока, когда событие переносится в разреженный поток с вероятностью p и, следовательно, отбрасывается с вероят-ностью ![]() Исследуем характеристики потока Пр. Для Тр справед-ливо: ![]() Найдем вероятность того, что случайное число z равно некоторому фиксированному k. ![]() Рис.1.14. Вероятностное разрежение потока. Очевидно: ![]() Предположим z=k. Тогда при справедливости этой гипотезы характеристическая функция (условная) случайной величины Тр определяется как: ![]() где g(x) - характеристическая функция случайной величины Тр. Безусловная характеристическая функция: ![]() Результат получен в предположении ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдём числовые характеристики случайной величины Тр, но предварительно вычислим ![]() ![]() ![]() ![]() Среднее ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Итак ![]() ![]() ![]() Рассуждая аналогично, можно получить: ![]() Очевидно, что интенсивность простейшего потока мож-но определить как ![]() ![]() Теперь можно перейти к предельной теореме для редеющих потоков. Смысл её состоит в том, что если последовательно разрежать ординарный стационарный поток Пальма достаточно большое число, то такой многократно разрежённый поток будет близок к простейшему. На практике уже ![]() |