В. Н. Каразіна Кафедра фундаментальної математики " затверджую " Проректор з науково педагогічної роботи Пантелеймонов А. В. " " 2018 р. Робоча програма

• Название: В. Н. Каразіна Кафедра фундаментальної математики " затверджую " Проректор з науково педагогічної роботи Пантелеймонов А. В. " " 2018 р. Робоча програма
• Анкор: falflafal
• Дата: 02.02.2020
• Размер: 115.5 Kb.
• Имя файла: d8d3a79b925617c9ad0f6367460584dc.doc
• Тип: Робоча програма; #106867

Міністерство освіти і науки України
Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна
Кафедра фундаментальної математики

“ЗАТВЕРДЖУЮ”
Проректор з науково- педагогічної роботи
Пантелеймонов А.В.
___________________________

“____”_______________2018 р.

2. Робоча програма навчальної дисципліни

Елементи алгебри і теорії чисел


спеціальність (напрям) 111 – математика, 113 – прикладна математика,

122 – комп’ютерні науки

спеціалізація ___________________________________________________________

(шифр, назва спеціалізації)

факультет математики і інформатики

2018 / 2019 навчальний рік

Програму рекомендовано до затвердження вченою радою факультету математики і інформатики
27 серпня 2018 року, протокол № 7

РОЗРОБНИК ПРОГРАМИ:
Каролинський Евген Олександрович, кандидат фізико-математичних наук,

доцент кафедри фундаментальної математики, доцент.

Програму схвалено на засіданні кафедри фундаментальної математики
від 27 серпня 2018 року, протокол № 1.


Завідувач кафедри Ямпольський О.Л.

Програму погоджено методично. комісією факультету математики і інформатики
від 27 серпня 2018 року, протокол № 1.

Голова методичної комісії Анощенко О.О.
Вступ

Програма навчальної дисципліни “Елементи алгебри і теорії чисел” складена відповідно до освітньо-професійної (освітньо-наукової) програми підготовки бакалавр
спеціальності (напряму) 111 - математика, 113 – прикладна математика,

122 - комп’ютерні науки
спеціалізації _____________________________________________________________
1. Опис навчальної дисципліни

1.1. Метою викладання навчальної дисципліни є навчання майбутніх спеціалістів основам теорії чисел, а також алгебрі комплексних чисел та многочленів однієї змінної.

1.2. Основними завданнями вивчення дисципліни є навчання студентів теоретичним основам і методам алгебри та теорії чисел та засто­су­ванню цих методів для розв’язання різноманітних задач теоретичного та практичного характе­ру.

1.3. Кількість кредитів – 6

1.4. Загальна кількість годин – 180

1.5. Характеристика навчальної дисципліни
Нормативна / за вибором
Денна форма навчання	Заочна (дистанційна) форма навчання
Рік підготовки
1-й
Семестр
1-й
Лекції
48 год.
Практичні, семінарські заняття
48 год.
Лабораторні заняття
Самостійна робота
84 год.
Індивідуальні завдання

1.6. Заплановані результати навчання

У результаті вивчення даного курсу студент повинен Знати:

• 
  Основні принципи арифметики цілих чисел: подільність, ділення з остачею, найбільший спільний дільник, прості числа, основна теорема арифметики, рівняння за модулем n та класи лишків, лінійні рівняння за модулем n, китайська теорема про лишки, мала теорема Ферма та теорема Ейлера.
  
• 
  Аксіоми поля та приклади полів.
  
• 
  Основні властивості комплексних чисел.
  
• 
  Аксіоми кільця та приклади кілець.
  
• 
  Основні властивості многочленів однієї змінної: подільність, ділення з остачею, найбільший спільний дільник, розкладення многочлена на незвідні множники, корені многочлена та теорема Безу, кратність кореня та похідна, основну теорема алгебри, інтерполяцію, теореми Штурма.
  
• 
  Поняття про раціональні функції однієї змінної, розкладення на найпростіші дроби.
  

Уміти:

• 
  Виконувати арифметичні дії з цілими числами, виконувати ділення з остачею, знаходити найбільший спільний дільник за допомогою алгоритму Евкліда, розкладати цілі числа на прості множники, виконувати арифметичні дії з класами лишків, розв’язувати лінійні рівняння за модулем n, користатись китайською теоремою про лишки.
  
• 
  Виконувати арифметичні дії з комплексними числами, знаходити модуль, аргумент та тригонометричну форму комплексного числа.
  
• 
  Розв’язувати рівняння третього та четвертого ступенів.
  
• 
  Виконувати арифметичні дії з многочленами однієї змінної, виконувати ділення з остачею, знаходити найбільший спільний дільник за допомогою алгоритму Евкліда, розкладати многочлени на незвідні множники, обчислювати кратність кореня многочлена, обчислювати інтерполяційний многочлен, приблизно обчислювати дійсні корені многочлена за до­помогою методу Штурма.
  
• 
  Розкладати раціональну функцію в суму найпростіших.
  

2. Тематичний план навчальної дисципліни
Розділ 1. Арифметика та комплексні числа

Тема 1. Елементи арифметики

1. 
   Подільність цілих чисел, ділення з остачею, найбільший спільний дільник.
   
2. 
   Прості числа, основна теорема арифметики.
   
3. 
   Рівняння за модулем n та класи лишків, лінійні рівняння за модулем n, китайська теорема про лишки.
   
4. 
   Мала теорема Ферма та теорема Ейлера.
   

Тема 2. Поле комплексних чисел

1. 
   Визначення поля. Приклади полів. Побудова поля комплексних чисел. Аксіоматичний опис поля комплексних чисел.
   
2. 
   Тригонометрична форма комплексного числа. Формула Муавра. Корені з одиниці та їх властивості.
   
3. 
   Рівняння третього та четвертого ступенів.
   

Розділ 2. Многочлени та раціональні функції однієї змінної

Тема 1. Кільце многочленів однієї змінної

1. 
   Визначення кільця. Приклади кілець. Побудова кільця многочленів однієї змінної.
   
2. 
   Подільність у кільці многочленів. Найбільший спільний дільник. Алгоритм Евкліда.
   
3. 
   Незвідні многочлени. Розкладання многочлену у добуток незвідних. Корені многочлену та теорема Безу.
   
4. 
   Кратність кореня многочлена. Похідна та кратні корені. Основна теорема алгебри (без доведення).
   
5. 
   Інтерполяційний многочлен. Формули Лагранжа та Ньютона.
   
6. 
   Відділення дійсних коренів дійсних многочленів. Метод Штурма.
   

Тема 2. Поле раціональних функцій однієї змінної

1. 
   Кільця без дільників нуля. Поле часток кільця без дільників нуля. Поле раціональних функцій однієї змінної.
   
2. 
   Розкладання раціональної функції в суму найпростіших.
   

3. 
   Структура навчальної дисципліни
   

Назви розділів і тем	Кількість годин
	денна форма						заочна форма
	усього	у тому числі					усього	у тому числі
		л	п	лаб.	інд.	с. р.		л	п	лаб.	інд.	с. р.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Розділ 1. Арифметика та комплексні числа
Тема 1. Елементи арифметики	45	12	12			21
Тема 2. Поле комплексних чисел	45	12	12			21
Разом за розділом 1	90	24	24			42
Розділ 2. Многочлени та раціональні функції однієї змінної
Тема 1. Кільце многочленів однієї змінної	60	16	16			28
Тема 2. Поле раціональних функцій однієї змінної	30	8	8			14
Разом за розділом 2	90	24	24			42
Усього годин	180	48	48			84

4.Теми семінарських (практичних, лабораторних) занять

№ з/п	Назва теми	Кількість годин
1	Елементи арифметики Ділення з остачею, найбільший спільний дільник, розкладання цілі числа на прості множники, дії з класами лишків, лінійні рівняння за модулем n, китайська теорема про лишки.	12
2	Поле комплекс­них чисел Дії з комплексними числами. Модуль, аргумент та тригонометрична форма комплексного числа, її застосування. Рівняння третього та четвертого ступенів.	12
3	Кільце много­членів однієї змінної Найбільший спільний дільник. Алгоритм Евкліда. Незвідні многочлени. Розкладання многочлену у добуток незвідних. Корені многочлена та теорема Безу. Кратність кореня многочлена. Похідна та кратні корені. Інтер­поляційний многочлен. Формули Лагранжа та Ньютона. Відділення дійс­них коре­нів дійсних многочленів. Метод Штурма.	16
4	Раціональні функції Розкладання раціональної функції в суму найпростіших.	8
	Разом	48

5.Завдання для самостійної роботи

№ з/п	Види, зміст самостійної роботи	Кількість годин
1	Елементи арифметики	21
2	Поле комплекс­них чисел	21
3	Кільце много­членів однієї змінної	28
4	Раціональні функції	14
	Разом	84

6. Індивідуальні завдання

Не передбачені навчальним планом.
7. Методи контролю

– поточний семестровий (контрольні роботи - 2);

– підсумковий семестровий (екзамен).
8. Схема нарахування балів

Контрольні роботи, передбачені навчальним планом	Екзамен	Сума
60	40	100

Шкала оцінювання

Сума балів за всі види навчальної діяльності протягом семестру	Оцінка
	для екзамену	для заліку
90–100	відмінно	зараховано
70–89	добре
50–69	задовільно
1–49	незадовільно	не зараховано

Критерії оцінювання

Оцінка		Пояснення
в балах	за національною шкалою
90–100	Відмінно	Теоретичний зміст курсу освоєний цілком, необхідні практичні навички роботи з освоєним матеріалом сформовані, всі навчальні завдання, які передбачені програмою навчання, виконані в повному обсязі, відмінна робота без помилок або з однією незначною помилкою.
70–89	Добре	Теоретичний зміст курсу освоєний цілком, практичні навички роботи з освоєним матеріалом в основному сформовані, всі навчальні завдання, які передбачені програмою навчання, виконані, якість виконання жодного з них не оцінено мінімальним числом балів, деякі види завдань виконані з помилками, робота з декількома незначними помилками, або з однією – двома значними помилками.
50–69	Задовільно	Теоретичний зміст курсу освоєний не повністю, але прогалини не носять істотного характеру, необхідні практичні навички роботи з освоєним матеріалом в основному сформовані, більшість передбачених програмою навчання навчальних завдань виконано, деякі з виконаних завдань містять помилки, робота з трьома значними помилками.
1–49	Незадовільно	Теоретичний зміст курсу не освоєно, необхідні практичні навички роботи не сформовані, всі виконані навчальні завдання містять грубі помилки, додаткова самостійна робота над матеріалом курсу не приведе до значимого підвищення якості виконання навчальних завдань, робота, що потребує повної переробки.

9. Рекомендована література
Основна література

1. 
   Н. Я. Виленкин (ред.). Алгебра и теория чисел. – М.: Просвещение, 1984.
   
2. 
   А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. – М.: Гостехиздат, 1956.
   
3. 
   Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977.
   

Допоміжна література

1. 
   А. А. Бухштаб. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966.
   
2. 
   К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. – М.: Мир, 1987.
   
3. 
   С. Ленг. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
   
4. 
   Э. Б. Винберг. Курс алгебры. – М.: Факториал, 2001.
   
5. 
   А. И. Кострикин. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.
   
6. 
   А. И. Кострикин (ред.). Сборник задач по алгебре. – М.: Факториал, 1995.
   

10. Посилання на інформаційні ресурси в Інтернеті, відео-лекції, інше методичне забезпечення

http://mathworld.wolfram.com/topics/Algebra.html