матанализ лекции. Лекция Натуральные числа
 Скачать 352.24 Kb.
|
|
Лекция 1. Натуральные числа N. операции над натуральными числами. Отношение порядка. Принцип математической индукции. Бином Ньютона. Кольца целых чисел Z. Поле рациональных чисел, его неполнота. Аксиома непрерывности. Поле действительных чисел R. Интервалы и окрестности в R. Модуль числа. 1.1. Множество натуральных чисел Множество N = {n} называется множеством натуральных чисел, если а) один из его элементов обозначен символом 1; б) каждому элементу n ∈ N поставлен в соответствие в точности один элемент этого множества, обозначаемый через n ∗ и называемый элементом, следующим за элементом n; в) ∀ n ∈ N имеет место n ∗ ̸= 1; г) из n ∗ = m ∗ , n ∈ N, m ∈ N, следует, что n = m; д) (аксиома индукции) пусть множество M = {m} ⊂ N обладает свойствами 1) 1 ∈ M; 2) если m ∈ M, то m ∗ ∈ M, тогда множество M содержит все натуральные числа, т.е. M = N. Приведенное аксиоматическое определение множества натуральных чисел принадлежит Пеано, поэтому свойства a)–д) называются аксиомами Пеано. Элементы множества N обозначаются через 1, 2, 3, 4, . . . (здесь после каждого натурального числа написано следующее за ним) Множество N является упорядоченным множеством, т.е. для любыхдвух натуральных чисел m и n имеет место одно из следующих соотношений: либо m = n (m равно n), либо m < n (m меньше n), либо n < m (n меньше m), Наименьшим натуральным числом является единица. На множестве натуральных чисел вводятся две основные арифметические операции — сложение и умножение. Для обозначения этих операций используются соответственно символы + и · (или ×). Для любых m, n ∈ N m + n = n + m — коммутативность (переместительность) сложения, m · n = n · m — коммутативность (переместительность) умножения, (m + n) + k = m + (n + k) — ассоциативность (сочетательность) сложения, (m · n) · k = m · (n · k) — ассоциативность (сочетательность) умножения, (m + n) · k = m · k + n · k — дистрибутивность. Сумма и произведение двух натуральных чисел опять будут натуральными числами. Поэтому говорят, что множество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. На аксиоме индукции основан метод математической индукции (ММИ), состоящий в следующем: для справедливости любого утверждения, высказанного для всех натуральных чисел n > 1, достаточно: 1) доказать это утверждение для n = 1; 2) предположить его справедливость при n = k, k > 1; 3) основываясь на утверждении 1 и предположении, доказать, что оно верно при n = k + 1. Методом математической индукции можно доказывать утверждения, справедливые и при n > m, где m > 1. В ходе доказательства надо заменить первый шаг: доказать утверждение при n = m, а все остальное оставить, как и прежде. при необходимости использовать то, что n > m. 1 1. Натуральные числа N. 2 ПРИМЕР. Докажем, что ∀ n ∈ N имеет место равенство n ∑ k=1 k 2 = 1 6 n(n + 1)(2n + 1) Пусть A = { n ∈ N n ∑ k=1 k 2 = 1 6 n(n + 1)(2n + 1) } . Заметим, что (n = 1) ⇒ ( 1 2 = 1 6 (1 · (1 + 1)(2 · 1 + 1)) ) , т.е. 1 ∈ A. Далее, если n ∈ A, то n ∑ k=1 k 2 + (n + 1) 2 = 1 6 n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1) 2 = = 1 6 (n + 1)(2n 2 + n + 6n + 6) = 1 6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) = = 1 6 (n + 1)[(n + 1) + 1][2(n + 1) + 1], откуда следует, что и (n + 1) ∈ A. В силу ММИ имеем A = N, т.е. наша формула справедлива ∀ n ∈ N. ПРИМЕР. При x > −1, x ̸= 0 и при целом n > 2 справедливо неравенство (неравенство Бернулли) (1 + x) n > 1 + xn. Доказательство проведем по индукции. Сначала убедимся, что при n = 2 оно верно. Действительно (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x. Предположим, что для номера n = k оказалось, что утверждение справедливо: (1 + x) k > 1 + kx, где k > 2. Докажем его при n = k + 1. Имеем (1 + x) k+1 = (1 + x) k (1 + x) > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x. ПРИМЕР. Доказать, что ∀ n ∈ N и ∀ a, b ∈ R справедлива формула бинома Ньютона (a + b) n = n ∑ k=0 C k n a k b n −k , (1) где C k n = n! k!(n −k)! — биномиальный коффициент, k! = 1 · 2 · · · k при k ∈ N и 0! = 1. Сначала докажем вспомогательное утверждение о свойствах биномиальных коэффи- циентов, а именно C k n = C n −k n , C k n + C k −1 n = C k n+1 . Действительно, C k n + C k −1 n = n! k!(n − k)! + n! (k − 1)!(n − k + 1)! = n! (k − 1)!(n − k)! ( 1 k + 1 (n − k + 1) ) = = n! (k − 1)!(n − k)! n + 1 k(n − k + 1) = (n + 1)! k!(n + 1 − k)! = C k n+1 . 1. Натуральные числа N. 3 Далее для n = 1 тождество (1) верно. Пусть оно верно для n. Покажем, что оно верно и для n + 1. Используя свойства биномиальных коэффициентов, получим (a + b) n+1 = (a + b) n (a + b) = ( n ∑ k=0 C k n a n −k b k ) (a + b) = = n ∑ k=0 C k n a k+1 b n −k + n ∑ k=0 C k n a k b n −k+1 = = n+1 ∑ k=0 C k −1 n a k b n −k+1 + n ∑ k=0 C k n a k b n −k+1 = = C n+1 n+1 a n+1 + n ∑ k=1 (C k −1 n + C k n ) | {z } a k b n −k+1 + C 0 n+1 b n+1 = n+1 ∑ k=0 C k n+1 a k b n −k+1 . 1.2. Кольца целых чисел Z. Поле рациональных чисел, его неполнота. Аксиома непрерывности. Поле действительных чисел R. Множество целых чисел Z есть множество , полученное в результате добавления к множееству натуральных чисел новых объектов — числа нуль и отрцательных целых чисел, т.е. IV. Аксиома непрерывности IV D (вариант принципа Дедекинда). Пусть A и B — непустые подмножества R такие, что a 6 b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B. Тогда ∃ c ∈ R такое, что a 6 c 6 b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B Замечание. Множество θ рациональных чисел удовлетворяет всем вышепере- численным аксиомам кроме аксимы (IV). Покажем последнее. Пусть A = {a : a ∈ θ, a > 0, a 2 < 2 }, B = {b : b ∈ θ, b > 0, b 2 > 2 }. Тогда во множестве θ не существует числа c со свойствами a 6 c 6 b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B Упорядоченное числовое поле с аксиомой отделимости называется множеством действительных чисел R. Конкретную реализацию расширения θ до R можно построить с помощью сечений (Дедекинд), пополнения (Кантор) или рассмотрения бесконечных десятичных (или двоичных) дробей. Определим модуль, или абсолютную величину числа x: |x| = { x, если x > 0, −x, если x 6 0 ( |x| выражает расстояние от нуля до точки x на вещественной оси). Отметим, что неравенство: |α| < β (β > 0) равносильно двойному неравенству: −α < β < α. Действительно, из |α| < β следует, что одновременно α < β и −α < β, т.е. α > −β. Обратно,если дано, что α < β и α > −β, то имеем одновременно: α < β и −α < β, но одно из этих чисел α, −α и есть |α|, так что наверное |α| < β. Докажем, далее, полезное неравенство: |α + β| 6 |α| + |β|. Складывая почленно очевидные неравенства −|α| 6 α 6 |α| и − |β| 6 β 6 |β|, 2. Поле комплексных чисел C. 4 получим −(|α| + |β|) 6 α + β 6 (|α| + |β|), откуда в силу сделанного выше замечания, и вытекает требуемое неравенство. Если заменить в доказанном неравенстве β на −β, то получим |α − β| 6 |α| + |β|. Так как α = (α + β) − β, то |α| 6 |α + β| + β, или |α + β| > |α| − |β|. Аналогично |α| − |β| 6 |α − β|. Так как одновременно и |β| − |α| 6 |α − β|, то, очевидно, ||α| − |β|| 6 |α − β|. Далее понадобятся следующие понятия и обозначения. Множество M точек x, удовлетворяющих неравенствам: a < x < b, называют интервалом (пишут M = (a, b)); a < x 6 b или a 6 x 6 b — полуинтервалом (M = (a, b] или M = [a, b)); a 6 x 6 b — отрезком (M = [a, b]). Каждое из этих множеств называется промежутком. С помощью интервалов определим окрестности точки a — открытую, замкнутую и проколотую: U δ (a) = {x ∈ R | |x − a| < δ} = (a − δ, a + δ) (a ∈ R, δ > 0) U δ (a) = {x ∈ R | |x − a| 6 δ} = [a − δ, a + δ] (a ∈ R, δ > 0) U δ (a) = {x ∈ R | |x − a| < δ, x ̸= a} = (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) (a ∈ R, δ > 0) и окрестности бесконечности: U M (+ ∞) = {x ∈ R | x > M} = (M, +∞) (M > 0), U M ( −∞) = {x ∈ R | x < −M} = (−∞, −M) (M > 0), U M ( ∞) = {x ∈ R | |x| > M} = (−∞, −M) ∪ (M, +∞) (M > 0), Лекция 2. Поле комплексных чисел C. Операции над комплексными числами в алгебраической форме. Модуль и аргумент комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах. Формулы Эйлера, Муавра. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (x, y), первое из которых x называется его действительной частью и обозначается x = Re x, а второе число y — мнимой частью и обозначается y = Im z. Символ i называется мнимой единицей. Если x = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым, если y = 0, то число x + i · 0 = x отождествляется с действительным числом x, а это означает, что множество R действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, т.е. R ⊂ C. 2. Поле комплексных чисел C. 5 Два комплексных числа z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т.е. z 1 = z 2 ⇐⇒ { x 1 = x 2 , y 1 = y 2 . Два комплексных числа z = x + iy и z = x − iy, отличающиеся только знаком мнимой части называются сопряженными. Запись числа z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа. Основные действия над комплексноыми числами z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 , заданные в алгебраической форме, определяются следующими равенствами (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ), (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i(y 1 − y 2 ), (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ), x 1 + iy 1 x 2 + iy 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 − iy 2 ) (x 2 + iy 2 )(x 2 − iy 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 + i y 1 x 2 − x 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 , ( при z 2 ̸= 0). Из третьего равенства следует, что i 2 = −1. Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M (x, y) плоскости Oxy такой, что x = Re z, y = Im z. И наоборот. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью (ее также обозначают C). Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат — мнимой. Комплексное число z = x + iy можно изобразить и с помощью радиус–вектора r = OM = (x, y). Длина вектора r, изображающего комплексное число z (рис) называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Модуль r = |z| определяется по формуле |z| = √ x 2 + y 2 . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого числа, обозначается Argz. Аргумент комплексного числа z ̸= 0 величина многозначная: Argz = argz + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . ., где argz = ϕ — главное значение аргумента, заключенное в промежутке ( −π, π], то есть −π < argz 6 π. Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа z = x + iy и его модулем и аргументом выражается формулами { x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (1) cos ϕ = x √ x 2 +y 2 , sin ϕ = y √ x 2 +y 2 . 2. Поле комплексных чисел C. 6 Аргумент комплексного числа можно найти, решив последнюю систему или же, используя формулу tg ϕ = y x , учитывая argz ∈ (−π, π], найдем ϕ = argz = arctg y x , при x > 0, arctg y x + π, при x < 0, y > 0 arctg y x − π, при x < 0, y < 0 Из равенств (1) следует, что любое комплексное число z = x + iy, представляется в виде z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Запись комплексного числа в таком виде называют тригонометрической формой записи комплексного числа. |