матанализ лекции. Лекция Натуральные числа
 Скачать 352.24 Kb.
|
|
f (x) 6 x 2 − x x 2 − x 1 f (x 1 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f (x 2 ) = y, (1) то есть хорда лежит не ниже графика функции. 24. Выпуклость и вогнутость функции. 58 Аналогичные рассуждения справедливы и для вогнутой функции. Теорема 85 Неравенства Йенсена. 1. Если функция f (x) выпуклая на интервале (a, b), то ∀ x 1 , . . . , x n ∈ (a, b), ∀ α 1 , . . . , α n > 0, α 1 + · · · + α n = 1: f (α 1 x 1 + · · · + α n x n ) 6 α 1 f (x 1 ) + · · · + α n f (x n ). 2. Если функция f (x) вогнутая на интервале (a, b), то ∀ x 1 , . . . , x n ∈ (a, b), ∀ α 1 , . . . , α n > 0, α 1 + · · · + α n = 1: f (α 1 x 1 + · · · + α n x n ) > α 1 f (x 1 ) + · · · + α n f (x n ). В обоих случаях линейная комбинация α 1 x 1 + · · · + α n x n при заданных условиях на числа α i называется выпуклой комбинацией точек x 1 , . . . , x n Доказательство. Докажем неравенство для выпуклых функций. Для вогнутых доказательство аналогично. Доказательство будем проводить индукцией по n. При n = 1 получаем тривиальное равенство, а при n = 2 — определение выпуклой функции. Пусть неравенство верно для n. Докажем его и для n + 1 точек и чисел α. Имеем для 0 < α n+1 < 1 Таким образом, неравенство верно и для n + 1. Здесь на шаге 1 пользовались определением выпуклой функции, а на шаге 2 — индуктивным предположением α 1 + · · · + α n 1 − α n+1 = 1 − α n+1 1 − α n+1 = 1. Теорема 86. Дифференцируемая функция f (x) — выпуклая (вогнутая) на (a, b) тогда и только тогда, когда f ′ (x) не убывает (не возрастает) на (a, b). Доказательство. Рассмотрим условие выпуклости. Для вогнутости доказательство аналогично. При доказательстве будем пользоваться следующим эквивалентным определением выпуклости: ∀ x, x 1 , x 2 ∈ (a, b), x 1 < x < x 2 : f (x) − f(x 1 ) x − x 1 6 f (x 2 ) − f(x) x 2 − x , (2) которое имеет геометрический смысл: при движении хорды слева направо углы наклона увеличиваются и вытекает из (1). Необходимость. Пусть f (x) выпуклая на (a, b). Тогда ∀ x, x 1 , x 2 ∈ (a, b), x 1 < x < x 2 : f (x) − f(x 1 ) x − x 1 6 f (x 2 ) − f(x) x 2 − x . Следовательно, f ′ (x 1 ) = f ′ + (x 1 ) = lim x →x 1 +0 x>x 1 f (x) − f(x 1 ) x − x 1 6 lim x →x 1 f (x 2 ) − f(x) x 2 − x = f (x 2 ) − f(x 1 ) x 2 − x 1 ; f ′ (x 2 ) = f ′ − (x 2 ) = lim x →x 2 −0 x 2 f (x 2 ) − f(x) x 2 − x > lim x →x 2 f (x) − f(x 1 ) x − x 1 = f (x 2 ) − f(x 1 ) x 2 − x 1 . Таким образом, ∀ x 1 < x 2 : f ′ (x 1 ) 6 f (x 2 ) − f(x 1 ) x 2 − x 1 6 f ′ (x 2 ), следовательно, f ′ (x) не убывает на (a, b) и по теореме 2 f ′′ (x) > 0 на (a, b). 25. Общая схема исследования функции и построения ее графика. 59 Достаточность. Пусть f ′ (x) не убывает на (a, b). Тогда, по теореме Лагранжа, ∀ x 1 < x < x 2 ∃ c 1 , c 2 : f (x) − f(x 1 ) x − x 1 = f ′ (c 1 ), x 1 < c 1 < x, f (x 2 ) − f(x) x 2 − x = f ′ (c 2 ), x < c 2 < x 2 . Следовательно, c 1 < c 2 и, в силу неубывания f ′ (x), f ′ (c 1 ) 6 f ′ (c 2 ), то есть f (x) − f(x 1 ) x − x 1 6 f (x 2 ) − f(x) x 2 − x , и f (x) — выпуклая на (a, b). Дважды дифференцируемая функция f (x) — выпуклая (вогнутая) на (a, b) тогда и только тогда, когда f ′′ (x) > 0 (f ′′ (x) 6 0) на (a, b). Теорема 87 Достаточное условие строгой выпуклости. Пусть f (x) дважды дифференцируема на (a, b). Тогда, если f ′′ (x) > 0 (f ′′ (x) < 0) на (a, b), то f (x) строго выпукла вниз (вверх) на (a, b). Заметим, что условие знакопостоянства второй производной, будучи достаточным для строгой выпуклости, не является необходимым. Так, например, функция y = x 4 строго выпукла вниз на R, но ее вторая производная обращается в нуль при x = 0. Теорема 88. Пусть f (x) дифференцируема на (a, b). Тогда f (x) — выпуклая (вогнутая) на (a, b) тогда и только тогда, когда график функции лежит выше (ниже) касательной в любой точке интервала (a, b). Необходимость. Пусть функция f (x) — дифференцируемая, выпуклая на интервале (a, b), x 0 ∈ (a, b), y = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) — уравнение касательной в точке (x 0 , f (x 0 )). Тогда по тереме 6 f ′ (x) не убывает на (a, b) и, согласно теореме Лагранжа, для любого x < x 0 f (x) − (f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 )) = f (x) − f(x 0 ) − f ′ (x 0 )(x − x 0 ) = (f ′ (c) − f ′ (x 0 ))(x − x 0 ) > 0 (x < c < x 0 ). Аналогично разбирается случай x > x 0 Достаточность. Пусть x 0 , x 1 , x 2 ∈ (a, b), x 1 < x 0 < x 2 . Предположим, что касательная в каждой точке лежит ниже графика функции, в частности, f (x 1 ) − f(x 0 ) − f ′ (x 0 )(x 1 − x 0 ) > 0, f (x 2 ) − f(x 0 ) − f ′ (x 0 )(x 2 − x 0 ) > 0. Отсюда f (x 0 ) − f(x 1 ) x 0 − x 1 6 f ′ (x 0 ) 6 f (x 2 ) − f(x 0 ) x 2 − x 0 , поэтому, согласно (1), f (x) — выпуклая на (a, b). Теорема доказана. Лекция 25. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построения ее графика Прямая x = x 0 называется вертикальной асимптотой для функции f (x), если хотя бы одно из значений f (x 0 −0) или f(x 0 +0) равны бесконечности. Прямая y = k 1 x + b 1 (y = k 2 x + b 2 ) называется наклонной асимптотой для функции f (x) при x → +∞ (x → −∞), если lim x →+∞ ρ((x, f (x)), {y = k 1 x + b 1 }) = 0 ( lim x →−∞ ρ((x, f (x)), {y = k 2 x + b 2 }) = 0), 26. Основные плоские кривые. 60 где ρ(( ·, ·), {·}) — расстояние от точки до прямой. Если k 1 = 0 (k 2 = 0), то асимптота горизонтальная. Так как lim x →+∞ ρ((x, f (x)), {y = k 1 x + b 1 }) = |f(x) − k 1 x − b 1 | √ ( −k 1 ) 2 + 1 , то эквивалентное условие существования асимптоты lim x →+∞ (f (x) − k 1 x − b 1 ) = 0. Из последнего равенства, разделив обе части на x, получаем выражение для вычисления k 1 : k 1 = lim x →+∞ f (x) x , а затем b 1 b 1 = lim x →+∞ (f (x) − k 1 x). Аналогично вычисляется асимптота при x → −∞. Полное исследование функции можно разделить на три этапа. 1. Общее исследование хода изменения функции На этом этапе: • выясняется область определения функции; • определяется возможная симметрия графика функции (четность, нечетность, периодичность); • исследуется поведение функции в граничных точках области определения. Здесь необходимо изучение поведения функции вблизи точек разрыва (вычисление односторонних пределов), а также отыскание асимптот графика при x → ±∞ (точки расширенной прямой ±∞ естественно также относить к граничным точкам области существования функции); • находятся нули функции и промежутки постоянного знака. В большинстве случаев после проведения общего исследования уже можно построить примерный график, который уточняется на последующих этапах. 2. Исследование функции по первой производной Исследование сводится к отысканию нулей и промежутков постоянного знака для производной. Тем самым устанавливаются промежутки монотонного возрастания и убывания функции и точки экстремума. 3. Исследование функции по второй производной Аналогичным образом это исследование сводится к отысканию нулей и промежутков постоянного знака для второй производной. Таким образом устанавливаются промежутки выпуклости определенного знака и точки перегиба. В точках перегиба, кроме вычисления значения функции, вычисляют значение производной и при построении графика показывают в виде небольшого отрезка касательную и переход графика через нее. Лекция 26. Основные плоские кривые: окружность, эллипс, гипербола, цепная линия, циклоида, эпициклоида, астроида, развертка круга, спирали, улитки, кардиоида, розы, лемнискаты. Классификация плоских кривых В этом параграфе рассмотрим классификацию плоских кривых. Так как характерные особенности формы кривой и её свойства определяются особенностями и свойствами соответствующего ей уравнения, то естественно положить в основу классификации кривых природу их уравнений – подразделение уравнений на алгебраические и трансцндентные. Здесь, однако, возникает затруднение, заключающееся в том, что природа уравнения кривой зависит не только от природы самой кривой, но и от той системы координат, к которой отнесена кривая. Одна и та же кривая в одной системе 26. Основные плоские кривые. 61 координат может выражаться алгебраическим уравнением, а в другой – трансцендентным. Более того иногда достаточно изменить положение системы и уравнение кривой, которое было алгебраическим, становится трансцендентным. Так, например, в полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе имеет вид и является, как видно, алгебраическим: но достаточно поместить полюс в какую-либо точку , как уравнение принимает вид и становится, таким образом, трансцендентным. Указанный недостаток отсутствует, однако, у прямоугольной декартовой системы координат. Параллельное смещение и поворот этой системы не меняют не только природу уравнения этой кривой, но и степень этого уравнения, если оно было алгебраическим. Естественно поэтому подразделить все кривые на алгебраические и трансцендентные соответственно тому, будут ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат. а) Алгебраические кривые Внутри обширного семейства алгебраических линий в свою очередь производят подразделение кривых, в основу которого полагается понятие порядка кривой, определяемого степенью её уравнения. Соответственно этому алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координатв виде Очевидно, число членов уравнения равно . Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты могут быть нулями. Если левая часть уравнения кривой разлагается на множители то такому уравнению будет соответствовать система кривых В этом случае кривую n-го порядка называют распадающейся или приводимой. В частности, когда левая часть уравнения кривой, которую мы обозначим через f (x, y), является однородной функцией n-го измерения, кривая вырождается в систему прямых линий. Действительно, по известному свойству однородных функций, мы, полагая , будем иметь , и если a1, a2, . . . ,an – корни уравнения , то Приравнивая к нулю каждый множитель, получим систему n прямых (среди которых могут быть и мнимые). Рассмотрим разновидности алгебраических кривых. Класс алгебраической кривой. Формулы Плюккера. Алгебраические кривые классифицируются не только по их порядку, но и по их классу и роду (жанру). Класс алгебраической кривой определяется степенью её уравнения в тангенциальных координатах – так называются коэффициенты u и v в уравнениях прямых , касающихся данной алгебраической кривой. класс кривой может быть также определён числом касательных, действительных и мнимых, которые можно провести к этой кривой из произвольной точки, не лежащей на ней. Для получения тангенциального уравнения кривой и, следовательно, для определения её класса, представим себе, что данная кривая пересечена прямой . Условие того. что две точки её пересечения с кривой совпадают между собой, записанное в форме равенства, связывающего u и v, и будет искомым тангенциальным уравнением кривой. Так, например, желая найти тангенциальное уравнение окружности x2+y2=1, пересечём её прямой . Исключая у из уравнения этой прямой и окружности, получим (u2+v2) x2+2ux+(1-v2)=0. Условием касания прямой и окружности будет совпадение корней этого квадратного уравнения, что приводит к равенству v2(1-u2-v2)=0. Подобным же образом получим равенство u2(1-u2-v2)=0. Очевидно, полученные равенства будут удовлетворяться, если 1-u2-v2=0. Это и есть тангенциальное уравнение заданной окружности. продолжение Эллиптические кривые Более сложными по своей природе являются кривые первого рода. Правые части их параметрических уравнений могут быть выражены эллиптическими функциями параметра, в силу чего такие кривые называют эллиптическими, и при изучении их широко пользуются свойствами эллиптических функций. Подобно тому, как рациональные кривые 4-го порядка могут быть получены квадратичным преобразованием кривых второго порядка, эллиптические кривые 4-го порядка получаются квадратичным преобразованием кривых третьего порядка, не имеющих двойных точек и проходящих через две вершины координатного треугольника. Циркулярные кривые Циркулярные 26. Основные плоские кривые. 62 кривые являются алгебраическими кривыми, проходящими через циклические точки плоскости. Уравнение окружности, записанное в однородных координатах, имеет вид Точки пересечения этой окружности с несобственной прямой х3=0 определяются системой . Полагая х1=1, находим эти точки J1 (1, i, 0) и J2 (1, – i, 0). Так как изменение коэффициентов А, В, С в уравнении окружности не изменяет найденных координат, то можно утверждать, что всякая окружность проходит через точки J1 и J2, которые являются несобственными и мнимыми точками этой окружности и называются круговыми или циклическими точками плоскости. Бициркулярные кривые Эти кривые получаются в результате стереографической проекции линии пересечения поверхности шара с поверхностью второго порядка, не проходящей через центр проекции. Интересными свойствами обладают бициркулярные кривые 4-го порядка, если они одновременно являются рациональными кривыми. Будучи рациональными, эти кривые должны иметь три двойные точки, но две двойные точки их должны совпадать с циклическими точками плоскости, и следовательно, они будут иметь только одну двойную точку, не являющуюся бесконечно удалённой. Общее уравнение таких кривых может быть записано в виде (x2 + y2) + (dx + ey) (x2 + y2) + ax2 + bxy + cy2 = 0. (1) Уравнение касательной в двойной точке имеет вид ax2 + bxy + cy2 =0. В зависимости от знака (или равенства нулю) дискриминанта b2 – 4ac двойная точка кривой окажется изолированной, точкой возврата или узловой. Рис. 9Рис. 10 Бициркулярные рациональные кривые 4-го порядка могут быть образованы инверсией кривой второго порядка, но при условии, что полюс инверсии не лежит на этой кривой [1]. Рис. 11Рис. 12 На рисунке 9 представлена инверсия эллипса, причём полюс инверсии находится в центре эллипса, который является изолированной точкой кривой. На рис. 10 и 11 приведена инверсия параболы, а на рис. 12 – инверсия гиперболы, причём полюс инверсии находится в фокусе гиперболы. б) трансцендентные кривые Трансцендентными называются кривые, уравнения которых, будучи записаны в прямоугольной системе координат, не являются алгебраическими. Разлагая в ряд правую часть уравнения такой, например, трансцендентной кривой, как y = sin x, мы получим уравнение, содержащее алгебраические функции, однако число членов в нём будет неограниченным, а степень – бесконечно большой. Это даёт основание рассматривать трансцендентные кривые как алгебраические линии бесконечно высокого порядка. Соответственно этому можно полагать, что характерные точки алгебраических кривых (точки пересечения с прямой, точки перегиба, особые точки и т.д.) у трансцендентных кривых могут встречаться в бесконечном количестве. И это на самом деле так: трансцендентная кривая может пересекать прямую в бесконечном числе точек, у неё может быть бесконечное множество вершин даже на сколь угодно малом интервале (например, у кривой вблизи начала координат), бесконечное количество точек перегиба, асимптот и т.д. Но помимо этой особенности, у трансцендентных кривых могут быть характерные точки особой природы, которые не существуют у алгебраических кривых. К ним относятся точки прекращения, обладающие той особенностью, что окружность достаточно малого радиуса, проведённая из такой точки как из центра, пересекает кривую только в одной точке (например, кривая y=xlnx, имеющая точку прекращения в начале координат). Сюда относятся также угловые точки, в которых прекращаются две ветви кривой, причём каждая из них имеет в этой точке свою касательную (например, кривая , имеющая угловую точку в начале координат). Трансцендентная кривая может иметь также ассимптотическую точку, к которой неограниченно приближается ветвь кривой, делая вокруг этой точки бесконечное количество оборотов (например, логарифмическая спираль r= аj, для которой ассимтотической кривой является полюс). Помимо указанных характерных точек, трансцендентные кривые могут обладать весьма своеобразными особенностями формы. Кривая может иметь, например, пунктирную ветвь, состоящую из бесконечного множества изолиованных точек (например, кривая имеет пунктирную ветвь, располагающуюся вдоль отрицательной части абцисс и состоящую из множества изолированных точек с абциссами -p, -2p, -3p,. . . ). |