матанализ лекции. Лекция Натуральные числа
 Скачать 352.24 Kb.
|
|
n (x, a) (x − a) n+1 , c = a + θ(x − a). 1 Джузеппе Пеано (1858–1932), итал. матем. 23. Условия монотонности функции. 54 Осталось вычислить ϕ ′ (t) и ψ ′ (t) при t = c: ϕ ′ t (t) t=c = − n ∑ k=0 f (k+1) (t)(x − t) k − f (k) (t)k(x − t) k −1 k! t=c = = − (( f ′ (t) + f ′′ (t)(x − t) 1! + · · · + f (n) (t)(x − t) n −1 (n − 1)! + f (n+1) (t)(x − t) n n! ) + + ( f ′ (t) 1! + f ′′ (t)2(x − t) 2! + · · · + f (n) (t)n(x − t) n −1 n! )) t=c = = − f (n+1) (t)(x − t) n n! t=c = − f (n+1) (c)(x − c) n n! , ψ ′ t (t) t=c = −(n + 1)(x − c) n . Поэтому r n (x, a) (x − a) n+1 = f (n+1) (c)(x − c) n n!(n + 1)(x − c) n = f (n+1) (c) (n + 1)! и r n (x, a) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x − a) n+1 . Теорема 76 Остаточный член в форме Коши. Если в некоторой окрестности точки a существует f (n+1) (x), то для любой точки x из этой окрестности существует число c = a + θ(x − a) (0 < θ < 1) такое, что r n (x, a) = f (n+1) (c)(1 − θ) n n! (x − a) n+1 . Теорема 77 Общая форма остаточного члена (форма Шлeмильха - Роша). Если в некоторой окрестности точки a существует f (n+1) (x), то для любой точки x из этой окрестности существует число c = a + θ(x − a) (0 < θ < 1) такое, что r n (x, a) = (x − c) n+1 n!p ( x − a x − c ) p f (n+1) (c), p > 1. Из общей формы, в частности, при p = n + 1 получаем форму Лагранжа, а при p = 1 — форму Коши. Лекция 23. Условия монотонности функции. Локальные экстремумы функции. Необходимое условие.Достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой на отрезке функции Пусть функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b). Теорема 78. f (x) = const на (a, b) ⇐⇒ f ′ (x) = 0 ∀ x ∈ (a, b). Доказательство. Необходимость. Тривиально. Достаточность. Действительно, по теореме Лагранжа, ∀ x 1 , x 2 ∈ (a, b) : f(x 1 ) − f(x 2 ) = f ′ (c)(x 1 − x 2 ) = 0 = ⇒ = ⇒ f(x 1 ) = f (x 2 ) = ⇒ f(x) = const, x ∈ (a, b). 23. Условия монотонности функции. 55 Теорема 79. f (x) ↗ на (a, b) ⇐⇒ f ′ (x) > 0 ∀ x ∈ (a, b); f (x) ↘ на (a, b) ⇐⇒ f ′ (x) 6 0 ∀ x ∈ (a, b). Доказательство. Достаточность. Пусть f ′ (x) > 0 на (a, b). Тогда ∀ x 1 , x 2 ∈ (a, b) таких, что x 2 > x 1 по теореме Лагранжа существует c ∈ (x 1 , x 2 ): f (x 2 ) − f(x 1 ) = f ′ (c)(x 2 − x 1 ) > 0. Следовательно, f(x) не убывает на (a, b). Необходимость. Предположим, что f (x) не убывает на (a, b). Тогда ∀ x 1 , x 2 ∈ (a, b) таких, что x 2 > x 1 : f (x 2 ) − f(x 1 ) > 0. Следовательно, f ′ (x 1 ) = lim x 2 →x 1 x 2 >x 1 f (x 2 ) − f(x 1 ) x 2 − x 1 > 0, ∀ x 1 ∈ (a, b). Доказательство для невозрастающей функции аналогично. Заметим, что условия f ′ (x) > 0 и f ′ (x) < 0 не являются необходимыми для строгого возрастания и убывания дифференцируемой на интервале функции. Например, функция x 3 строго возрастает на R, а ее производная в нуле обращается в нуль. Теорема 80. f (x) ↑ на (a, b) ⇐⇒ f ′ (x) > 0, x ∈ (a, b) и нет интервалов (α, β) ⊂ (a, b), на которых f ′ (x) = 0; f (x) ↓ на (a, b) ⇐⇒ f ′ (x) 6 0, x ∈ (a, b) и нет интервалов (α, β) ⊂ (a, b), на которых f ′ (x) = 0. Доказательство. Доказательство следует из теорем 1 и 2. Точка, в которой производная функции обращается в 0 называется стационарной точкой функции. Точка, в которой производная функции обращается в 0 или не существует называется критической точкой функции. Теорема 81 Необходимые условия локального экстремума функции (теорема Ферма). В точке локального экстремума производная либо не существует, либо равна нулю. (Точка локального экстремума является критической точкой). Обратное утверждение неверно. Например, для функции f (x) = x 3 , f ′ (0) = 0, но точка 0 не является локальным экстремумом. Теорема 82 Достаточные условия строгого локального экстремума функции. Пусть функция f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 ∈ (a, b), кроме, может быть самой точки x 0 (тогда множество U (x 0 ) \ {x 0 } называется проколотой окрестностью точки x 0 ), в которой, однако, она является непрерывной. Если f ′ (x) меняет знак при прохождении через x 0 слева направо с «+» на « −», то x 0 — точка строгого локального максимума. Если f ′ (x) меняет знак при прохождении через x 0 слева направо с « −» на «+», то x 0 — точка строгого локального минимума. Теорема 83. Пусть для функции f (x) ∃ f ′′ (x 0 ) и f ′ (x 0 ) = 0, x 0 ∈ (a, b). Тогда, если f ′′ (x 0 ) > 0, то x 0 — точка строгого локального минимума, а если f ′′ (x 0 ) < 0, то x 0 — точка строгого локального максимума. Если f ′′ (x 0 ) = 0, то ничего определенного о существовании и типе экстремума в точке x 0 сказать нельзя. 23. Условия монотонности функции. 56 Доказательство. Пусть f ′ (x 0 ) = 0, f ′′ (x 0 ) > 0. Тогда по формуле Тейлора для функции f (x) в окрестности точки x 0 (при x → x 0 ) f (x) − f(x 0 ) = f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 ) 2 (x − x 0 ) 2 + o((x − x 0 ) 2 ) = (x − x 0 ) 2 2 (f ′′ (x 0 ) + 2ε(x)), где ε(x) → 0 при x → x 0 . Следовательно, ∃ δ > 0 ∀ x |x − x 0 | < δ : 2|ε(x)| < f ′′ (x 0 ) 2 и f (x) − f(x 0 ) > (x − x 0 ) 2 2 (f ′′ (x 0 ) − 2|ε(x)|) > (x − x 0 ) 2 2 f ′′ (x 0 ) 2 > 0, x ̸= x 0 . Таким образом, x 0 — точка строгого локального минимума. Аналогично разбирается случай, когда f ′′ (x 0 ) < 0. Если f ′′ (x 0 ) = 0, то x 0 может быть точкой локального экстремума (f (x) = ±x 4 , x 0 = 0), или не быть ею (f (x) = x 3 , x 0 = 0). Очевидно, что необходимы дополнительные исследования. Теорема 84. Пусть существует f (n) (x 0 ) и f ′ (x 0 ) = · · · = f (n −1) (x 0 ) = 0, а f (n) (x 0 ) ̸= 0. Тогда, (1) если n — четное и f (n) (x 0 ) > 0, то x 0 — точка строгого локального минимума; (2) если n — четное и f (n) (x 0 ) < 0, то x 0 — точка строгого локального максимума; (3) если n — нечетное, то x 0 — не является точкой локального экстремума. Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 4. По формуле Тейлора для функции f (x) в окрестности точки x 0 (при x → x 0 ) f (x) − f(x 0 ) = f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 ) 2 (x − x 0 ) 2 + · · · + + f (n −1) (x 0 ) (n − 1)! (x − x 0 ) n −1 + f (n) (x 0 ) n! (x − x 0 ) n + o((x − x 0 ) n ) = (x − x 0 ) n n! (f (n) (x 0 ) + n!ε(x)), где ε(x) → 0 при x → x 0 . Пусть n = 2k — четное и f (2k) (x 0 ) > 0. Тогда ∃ δ > 0 ∀ x |x − x 0 | < δ : n!|ε(x)| < f (n) (x 0 ) 2n! и f (x) − f(x 0 ) > (x − x 0 ) n (n)! (f (n) (x 0 ) − n!|ε(x)|) > (x − x 0 ) 2k (2k)! f (2k) (x 0 ) 2 > 0, x ̸= x 0 и x 0 — точка строгого локального минимума. Аналогично разбирается случай, когда f (n) (x 0 ) < 0. Пусть теперь n = 2k + 1 и f (n) (x 0 ) ̸= 0. Тогда учитывая, что f (x) − f(x 0 ) = (x − x 0 ) 2k+1 (2k + 1)! (f (2k+1) (x 0 ) + (2k + 1)!ε(x)), то sgn(f (x) − f(x 0 )) = sgn(f (2k+1) (x 0 )(x − x 0 ) 2k+1 ), а (x − x 0 ) 2k+1 ни в какой окрестности точки x 0 не сохраняет постоянный знак, следовательно, точка x 0 не является точкой локального экстремума. Самая «плохая» функция с точки зрения теоремы 5 та, у которой все производные в данной точке равны нулю. Показать, что для функции f (x) = { e − 1 x2 , x ̸= 0, 0, x = 0, 24. Выпуклость и вогнутость функции. 57 f (n) (0) = 0 для любого n ∈ Z + При вычислении производных в нуле пользоваться определением производных и правилом Лопиталя. Пусть f (x) ∈ C[a, b]. Тогда, по теореме Вейерштрасса, существуют x 1 , x 2 ∈ [a, b] такие, что f (x 1 ) = inf x ∈[a,b] f (x) = m, f (x 2 ) = sup x ∈[a,b] f (x) = M. Точки x 1 , x 2 могут попасть на концы отрезка [a, b] или быть внутренними. Если точка внутренняя, то она принадлежит (a, b) вместе с некоторой окрестностью, следовательно это точка локального экстремума. Значит — это критическая точка. Таким образом, имеем алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. 1. Найти критические точки f (x) на (a, b). 2. Вычислить значения f (x) во всех найденных критических точках, а также значения на концах отрезка: f (a) и f (b). 3. Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Лекция 24. Выпуклость и вогнутость функции. Условия выпуклости и вогнутости. Неравенства Йенсена. Точки перегиба функции. Необходимые условия. Достаточные условия Функция f (x) называется выпуклой (выпуклой вниз) на интервале (a, b), если ∀ x 1 , x 2 ∈ (a, b) и ∀ α ∈ [0, 1] f (αx 1 + (1 − α)x 2 ) 6 αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 ). Функция f (x) называется вогнутой (выпуклой вверх) на интервале (a, b), если ∀ x 1 , x 2 ∈ (a, b) и ∀ α ∈ [0, 1] f (αx 1 + (1 − α)x 2 ) > αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 ). Для выпуклой функции любая хорда лежит не ниже графика функции, а для вогнутой — не выше. Действительно, пусть x 1 < x 2 и x 1 , x 2 ∈ (a, b), x 1 < x < x 2 . Тогда ∃ α ∈ [0, 1]: x = αx 1 + (1 − α)x 2 или x = αx 1 + x 2 − αx 2 , так как α = x − x 2 x 1 − x 2 = x 2 − x x 2 − x 1 > 0 и 1 − α = 1 − x 2 − x x 2 − x 1 = x − x 1 x 2 − x 1 > 0. Уравнение хорды для функции f (x) на [x 1 , x 2 ] будет иметь вид: x − x 1 x 2 − x 1 = y − f(x 1 ) f (x 2 ) − f(x 1 ) . Отсюда ордината хорды y = f (x 1 ) + (f (x 2 ) − f(x 1 ))(x − x 1 ) x 2 − x 1 = = ( 1 − x − x 1 x 2 − x 1 ) f (x 1 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f (x 2 ) = x 2 − x x 2 − x 1 f (x 1 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f (x 2 ). Таким образом, для выпуклой функции неравенство f (αx 1 + (1 − α)x 2 ) 6 αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 ) выполняется тогда и только тогда, когда |